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《高等代数》试题库
一、选择题
1•在F[x]里能整除任意多项式的多项式是（）。
x6k2x44kx2x4的一个因式，贝Uk
A.1B.2C.3D.4
3.以下命题不正确的是（）。
{abi|a,bQ}是数域;
A.若f（x）|g（x）,则f（x）|g（x）；B.集合F
C.若（f（x）,f'（x））1,则f（x）没有重因式;
D•设p（x）是f'（x）的k1重因式，贝Up（x）是f（x）的k重因式
4.整系数多项式f（x）在Z不可约是f（x）在Q上不可约的（）条件。
A.充分B.充分必要C.必要D•既不充分也不必要
5.下列对于多项式的结论不正确的是（）。
A.如果f（x）g（x）,g（x）f（x），那么f（x）g（x）
B.如果f（x）g（x）,f（x）h（x），那么f（x）（g（x）h（x））
C.如果f（x）g（x），那么h（x）F[x]，有f（x）g（x）h（x）
D.如果f（x）g（x）,g（x）h（x），那么f（x）h（x）
D;命题
乙均不成立
6.对于“命题甲：
将n
（1）级行列式D的主对角线上元素反号，则行列式变为乙：
对换行列式中两行的位置，则行列式反号”有（）。
A.甲成立，乙不成立；B.甲不成立，乙成立；C.甲，乙均成立；D.甲，
7.下面论述中，错误的是（）。
A.奇数次实系数多项式必有实根；B.代数基本定理适用于复数域；
h（x）
C•任一数域包含Q；D.在P[x]中，f（x）g（x）f（x）h（x）g（x）
A.DB.DC.D/D.
（1）nD
i2.设代B均为n阶矩阵，则正确的为
i6.设A,B为数域F上的n阶方阵，下列等式成立的是（
A.det（AB）det（A）det（B）；B.det（kA）kdet（A）；
C•det（kA）knidet（A）；D.det（AB）det（A）det（B）
i7.设A*为n阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是（）
A.（A*）*|A|niAB.（A*）*|A|niA
**n2
C•（A）|A|A
**n2
D.（A）|A|A
18.如果AA1A1AI，那么矩阵A的行列式A应该有（
A.A0;
B.A0；
1;D.Ak,k
19.设A,B为n级方阵，m
N,则“命题甲:
AA;命题乙:
mm_m
（AB）AB
中正确的是（）°
A.甲成立，乙不成立；B.
甲不成立，乙成立;
C•甲，乙均成立;
D.甲，乙均不成立
20.设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则
A*A
A.A
n2
B.A
n2n
D.A
n2n
21.若矩阵A,B满足ABO，则（
A.AO或BO；B.AO且BO；C•
22.如果矩阵A的秩等于r，贝U
A.至多有一个r阶子式不为零；而至少有一个r阶子式不为零；
O；D.以上结论都不正确
B.所有r阶子式都不为零；
D.所有低于r阶子式都不为零
1阶子式全为零,
23.设n阶矩阵A可逆（n2）,
A*是矩阵A的伴随矩阵,
则结论正确的是（
A.
n1
A；B.A
AAn2A
24.
设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则
IIA|A|=（
A.
22
|A|nB.|A|nC•|A|nn
2
D.|A|n
25.任n级矩阵
A与A,下述判断成立的是
A.|A|A
；B.AX
O与（A）X
O同解;
C.若A可逆,
则（A）1
1）nA1;D•
A反对称,-
A反对称
26.如果矩阵rankAr,则
A.至多有一个r阶子式不为零;而至少有一个r阶子式不为零；
）
B.所有r阶子式都不为零C•所有rD•所有低于r阶子式都不为零
1阶子式全为零,
27.
设A为方阵，满足AA1
A1A
I，则A的行列式|A|应该有（
A.
|A|0B.
|A|0
|A|k,k
1D.
|A|k,k
28.
A是n阶矩阵,
k是非零常数,
A.kA；
knA
D.|k|nA
29.
A.
设A、B为n阶方阵，则有（A,B可逆，则AB可逆
B.
）.
A,B不可逆，则A
B不可逆
C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆
30.设A为数域F上的n阶方阵，满足A22A0,则下列矩阵哪个可逆（）。
A.AB.AIC.AIDA2I
31.代B为n阶方阵，AO，且R（AB）0,则（）。
A.BO;B.R（B）0;C.BAO;D.R（A）R（B）n
32.A,B,C是同阶方阵，且ABCI，则必有（）。
A.ACBI；B.BACI；C.CABID.CBAI
33.设A为3阶方阵，且R（A）1，则（）。
A.R（A*）3；B.R（A*）2；C.R（A*）1；D.R（A*）0
34.设代B为n阶方阵，AO，且ABO，则（）.
A.BOB.B0或A0C.BAOD.AB2A2B2
0
0
4
0
0
0
0
0
35.
设矩阵A
1
0
0
0,
则秩A=（
）。
0
0
0
0
0
2
0
0
A
.1B.
2
c.
3
D.4
36.
设A是m
n矩
阵,
若（
），则AX
O有非零解。
A.mn；
B.
R（A）
n;C
.mnD.R（A）m
37.A,B是n阶方阵，则下列结论成立得是（）。
A.ABOAO且BO；B.A0AO；
C.AB0AO或BO；D.AI|A|1
38.设A为n阶方阵，且RArvn，则A中（）.
A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示
39.设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是
（）°
A.BCtAtB.ACBtC.BACD.ABC
40.设A是n阶方阵，那么AA是（）
A.对称矩阵；B.反对称矩阵；C.可逆矩阵；D.对角矩阵
41.若由ABAC必能推出BC（A,B,C均为n阶方阵），贝UA满足（）。
A.
A
0
B.
AOC
.AOD.AB0
42.设A为任意阶
（n
3）可逆矩阵，
k为任意常数，且k0,则必有（kA）1（）
A.
kn
A1
B.
kn1A1C•
111
kA1D.—A1
43.
A,B都是n阶方阵，且
A与B有相同的特征值，则（
）
A.
A相似于
B；B.A
B
；C.A合同于B；D.A
B
44.
设A-
（BI），则A2
A的充要条件是（）
2
A.
BI；
（B）B
I；
C.B2ID.B2I
45.
设n阶矩阵A满足A2
A
2I0,则下列矩阵哪个可能不可逆
（）
A.
A2I
B.
AIC.AI
D.A
46.
设n阶方阵A满足A2
2A
0,则下列矩阵哪个一定可逆（
）
A.A
2I；
B.
AI；C.AI
D.A
47.
设A为n
阶方阵，且R
A
rvn，则A中（）.
A.必有r个列向量线性无关；B.任意r个列向量线性无关；C•任意r个行向量构成一个
极大无关组；D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示
48.设A是mn矩阵，若（），则n元线性方程组AX0有非零解。
A.mnB.A的秩等于nC.mnD.A的秩等于m
49.设矩阵Aajmn,AX0仅有零解的充分必要条件是（）.
A.A的行向量组线性相关B.A的行向量组线性无关
C.A的列向量组线性相关D.A的列向量组线性无关
50.设A,B均为P上矩阵，则由（）不能断言AB;
A.R（A）R（B）；B.存在可逆阵P与Q使APBQ
C.A与B均为n级可逆；D.A可经初等变换变成B
51.对于非齐次线性方程组AXB其中A（aij）nn,B（bi）n1,X（xjn1，则以下结论不
正确的是（）。
A.若方程组无解，则系数行列式A0；B.若方程组有解，则系数行列式A0。
C•若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；
D.系数行列式A0是方程组有惟一解的充分必要条件
1
0
7
2
1
52.
设线性方程组的增广矩阵是
0
1
2
1
1
，则这个方程组解的情况是（
0
2
4
2
2
0
0
0
1
5
A.
.有唯一解
B.无解
C.有四个解
D.
有无穷多个解
53.
代B为n
阶方阵，AO
，且AB0
，则
（
）°
A.A0；B.
R（B）n；C•齐次线性方程组
（BA）XO有非0解；D.A0
）时，方程组
X1X2X31
，有无穷多解。
54.
当（
2为2x22x3
A
.1B.2
:
C.3
D.4
bx1ax2
2ab
55.
设线性方程组
2cx23bx3
be，则（
）
cx1ax3
0
A.当a,b,c取任意实数时，方程组均有解。
B.当a0时，方程组无解。
C.当b0时，方程组无解。
D.当c0时，方程组无解。
56.设原方程组为AXb，且RARA,br,则和原方程组同解的方程组为（）。
A.AtXb；B.QAXb（Q为初等矩阵）；C.PAXPb（P为可逆矩阵）；
D.原方程组前r个方程组成的方程组
57.设线性方程组AXb及相应的齐次线性方程组AX0,则下列命题成立的是（）。
A.AX0只有零解时，AXb有唯一解；B.AX0有非零解时，AXb有无穷多个解；C.AXb有唯一解时，AX0只有零解；D.AXb解时，AX0也无解
58.设n元齐次线性方程组AX0的系数矩阵A的秩为r，则AX0有非零解的充分必要
条件是（）。
A.rnB.rnC.rnD.rn
59.n维向量组i,2,,s（3sn）线性无关的充分必要条件是（）
A.存在一组不全为零的数k1,k2,,ks，使k11k22kss0
B.1,2,,s中任意两个向量组都线性无关
C.1,2,,s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
D.1,2,,s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
60.若向量组中含有零向量，则此向量组（）
A.线性相关；B.线性无关；C•线性相关或线性无关；D.不一定61•设为任意非零向量，则（）。
A.线性相关；B.线性无关；C．线性相关或线性无关；D．不一定
62.n维向量组1,2,...s线性无关，为一n维向量，则（）.
A.1,2,...,s，线性相关；B.一定能被1,2,...,s线性表出；
C．一定不能被1,2,...,s线性表出；
D.当sn时，一定能被i,2，…，s线性表出
63.
（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；
（2）若向量组{1，2，，r}线性无关，r1可由1,2,r线性表出，则向量组{1,2,,rl}也线性无关；（3）
设{1，2，，r}线性无关，则{1，2，，r1}也线性无关；（4）{1，2，，r}
线性相关,则r一定可由1,2,r1线性表出；以上说法正确的有（）个。
A.1个B.2个C．3个D.4个
64.
（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；
（2）设1,2,n
A.R（A）R（B）；B.R（A）n且R（B）m；C.R（A）R（B）R（A,B）；D.mn
68．向量组1,2,L,r线性无关（）。
A.不含零向量；B.存在向量不能由其余向量线性表出；
C•每个向量均不能由其余向量表出；D•与单位向量等价
69.已知5（1,0,1）
（1,0,2）
（2,3,1）则
AG1,2）;
B.
22
七，2）;D.（“，J.
70.设向量组
3线性无关。
4线性相关，则（
A.1必可由
4线性表示;
B.
4必可由
3线性表示;
C.4必可由
2,
3线性表示;
D.4必不可由
3线性表示
F列集合中，是
（X1,X2,X3）
A
X3
0B.
N2x2
3x30C.
X31D
72.
下列集合有（
°个是
Rn的子空间；
w1
{
（x1,x2,
Xn）丨N
R,x-i
X2
Xn0}；
w2
{
（X1,X2,
Xn）丨Xi
R,X1
X2
xn}；
W3
{
（a,b,a,
b,,a,b）|a,b
R};
w4
{
（x1,x2,
Xn）|Xi为整数｝
;
°，其中
R3的子空间的为（
x12x23%1
73.设
是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（
A.
A.1
74.,
A.
75.
B.2
A是n阶实方阵,
AA1I;B.
B.
D.
D.4个
C.
A是正交矩阵的充要条件是（
AA;C.A1A;
D.A2
（1°线性变换的特征向量之和仍为的特征向量;
（2）属于线性变换的同一特征值
0的特征向量的任一线性组合仍是
的特征向量;
（3）
相似矩阵有相同的特征多项式;
（4°（0lA）X0的非零解向量都是A的属于0的特征向量；以上说法正确的有（°
个。
A.1个B.2个C.3个D.4个
75.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（°°
A.充要条件；B.充分而非必要条件；C•必要而非充分条件；D.既非充分也非必要条件
76.对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（°°
A.一定有n个不同的特征根；B.正交矩阵P，使PAP成对角形；C.它的特征根一定是整数；D.属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交
77•设1,2,3与1,2,3都是三维向量空间V的基，且
1
1
1
1
a1,212,31
23,则矩阵P
1
0
1是由基1,2,3到
0
0
1
（
）的过渡矩阵。
A.
2,1,3B.1,2,3
C.2,3,1
D.
3,
2,1
78.设，是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（
）。
D.
二、填空题
1•最小的数环是，最小的数域是。
2•一非空数集P,包含0和1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为
3•设f是实数域上的映射，f:
xkx（xR），若f（4）12，则f（5）=
4•设f（x）,g（x）F[x]，若（f（x））0,（g（x））m，则（f（x）g（x））=
5.求用x2除f（x）x42x3x5的商式为，余式为
6.设a0,用g（x）axb除f（x）所得的余式是函数值。
7•设a,b是两个不相等的常数，则多项式f（x）除以（xa）（xb）所得的余式为__
&把f（x）x45表成x1的多项式是。
32
9•把f（x）2xx3x5表成x1的多项式是。
10.设f（x）Q[x]使得0（f（x））2，且f
（1）1,f
（1）3,f
（2）3，则
f（x）。
11.设f（x）R[x]使得degf（x）3且f
（1）1,f（-1）3,f
（2）3,则f（x）=。
12•设f（x）R[x]使得degf（x）3且f
（1）1,f（-1）2,f
（2）0,则f（x）=___。
13.若g（x）f（x）,h（x）f（x），并且，则g（x）h（x）f（x）。
14.设g（x）f（x），则f（x）与g（x）的最大公因式为。
15.多项式f（x）、g（x）互素的充要条件是存在多项式u（x）、v（x）使得。
16.设d（x）为f（x），g（x）的一个最大公因式，则d（x）与（f（x）,g（x））的关系
17.多项式f（x）x4x33x24x1与g（x）x3x2x1的最大公因式
（f（x）,g（x））。
18・设f（x）x4x2axb。
g（x）x2x2，若（f（x）,g（x））g（x），贝U
a,b。
19•在有理数域上将多项式f（x）x3x22x2分解为不可约因式的乘积
20•在实数域上将多项式f（x）x3x22x2分解为不可约因式的乘积
21.当a,b满足条件
时，多项式f（x）x33axb才能有重因式。
22.设p（x）是多项式f（x）的一个k（k
1）重因式，那么p（x）是f（x）的导数的一个
23.多项式
f（x）没有重因式的充要条件是
互素。
24.设
2,
3为方程x3px2qx
r0的根，其中
0,则
25.设
3为方程x3px2qx
0的根，其中
0,则
26.设
2,
3为方程x3px2qx
0的根，其中
0，则
27.设
3为方程x3px2qx
0的根，其中r
2431的反序数为
4132的反序数为
28.按自然数从小到大为标准次序，排列
29.按自然数从小到大为标准次序，排列
30.排列451362的反序数为
31.排列542163的反序数为
32.排列523146879的反序数为
排列n,n1,...,2,1的反序数为。
若9元排列1274i56k9是奇排列，则i,k。
设n级排列i1i2in的反数的反序数为k，贝U（inin1Li2i1）=
设{i1，i2，，in}{1,2,,n},则（i」2in）（inin1i1）_
当k_,l时，5阶行列式D的项a12a2ka31a4la53取“负”号。
3215332053
7228472184
123
101202303
102030
aa1
ab1。
ba1
abc
bca
cab
201
141
183
124
221
342
0000x
0002x0
003x00
04000
50000
15,x
f（x）
x123
3x12
23x1
123x
则f（4）
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46•设n2,a1,a2,
xa1
a2x
an两两不同，则
ai
a2
的不同根为
47.Dn
00
00
0n1
n0
01
20
00
00
anan・・・x
10
01，贝HAB=
45
a
3中，余子式A
9
12
49.设行列式20
36
12
50.设行列式20
36
a
3中，余子式M22
9
1013
51.设A
1112
，则A]4A24A34A44
1110
2214
1
1
1
52行列式
1
2
3
的余子式M21
1
4
9
M22M23的值为
1
1
1
1
2
3
53.设A
1
1
1
B
1
2
4,则AB
1
1
1
0
5
1
1
2
1
1
2
3
54.设A
1
2
2
B
1
2
4,则3AB2B
1
1
1
3
1
1
1
2
3
0
4
3
55.设A
0
4
1
B
1
2
0,则A3B
1
0
1
5
9
1
1
01
1
1
1
设A
0
20
B
1
2
3，则（AB）'=
1
11
1
0
2
1
1
1
1
01
设A
1
2
3
B
0
20
，则（AB）'=
1
0
2
1
01
设矩阵
A可逆，且
A
1,
则
A的伴随矩阵A的逆矩阵为
设A、
B为
n阶方阵,
则
（A
B）2
22
A2ABB的充要条件
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
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