空间点线面的位置关系及四个公理4.docx

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空间点线面的位置关系及四个公理4

高考专题：

空间点、直线、平面的位置尖系及四个公理

-・空间点、直线、平面的位置矢系

1・空间点、直线、平面之间的位置矢系

直线与直线

直线与平面

平而与平面

平行

关系

图形

z—刃

a

kzzzz

/7

7

符号

a〃b

alla

allB

相交

关系

图形

XJ

IV

I

符号:

aAb=A

aAa=A

aAB=l

异面或

在内

关系

图形

/b

符号i

a,b是异面直线

a?

a

2•异面直线所成的角

⑴定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'||a，b'||b，把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）•即，异面直线的平行线的夹角就是两异面直线所成的角。

3・异面直线判定定理：

经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个平面内不经过该点的直线是异面直线•即，若A,B,I,BI则AB与I异面。

4•异面直线所成的角的求解方法：

方法一，定义法：

异面直线所成的角，根据定义，以“运动”观点，用“平移转化”的方法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为90°，也是不可忽视的方法。

其求解步骤为：

做平移找出或做出有矢的角----证明它符合定义即认定・通过解三角形求角。

简言之，“一做，二证，三算”注意：

第二步认定的表述为：

或其补角就是异面直线「与…所成的角。

方法二，三弦公式法：

如图，已知PA与PB分别是平面的垂线和斜线，在平面内过斜

足B任意引一肓线BC,设PBA15ABC2,PBCwcoscos1cos2

P

【真题再现】1.（2014全国二）：

正方体ABCDA1B1C1D1中，若E、F分别为和BB】的中点，则AE与CF所成角的余弦值是

2.（2017理科全国三）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

1当直线AB与a成60°角时、AB与b成30°角；

2当直线AB与a成60°角时、AB与b成60°角；

3直线AB与a所成角的最小值为45°；

4直线AB与a所成角的最大值为60°；其中正确的是.（填写

所有正确结论的编号）

推论：

最小角定理：

平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。

【真题再现】（2018浙江8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为01，SE与平面ABCD所成的角为02，二面角S-AB-C的平面角为03，则（）

A・0l<02<03B・03<02<01C.01<03<02D・02<03<01

方法三，空间向量法：

建立恰当的空间直角坐标系，并设异面直线AB与CD所成的角为0,

AB?

CD

则COS

AB?

CD

【考点专练】

1.（09天津卷）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、

F分别是CCi、AD的中点，那么异面直线OE和F）所成的角的余弦值等于）

10

15

4

2

A.

R.

cn

5

5

5

3

2在空间四边形

AD=1BC=3，且AD

13‘AC=

ABCD中，已知

BC，对角线BDp

3，求AC和BD所成的角。

2

3.

已知异面直线a,b所成的角为60，在过空间一定点P的直线

中，与a,,b所成的角均为60

的直线有多少条？

过P与a,b所成角均为50’，与均为70。

的直

线又各有多少呢?

4.

已知两异面直线所成的角为，直线I与两异

面直线均成等角，则这个角

的取值范围是

3

5.线段AB夹在直二面角I内，A,B，如果AB与平面、所成的角分别为、，那么应满

A.大于90’B.小于90°C.等于90°D.小于或等于90'

6.（08全国理）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1八侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线EQ与BG所成的角为（）A.9OB.60。

C.40P.12CT7•如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线BiC与EF所成的角的大小为（）A•30°B・45°C・60°D・90°

解析：

C[连接B1D1»DiC（图略），则BQi||EF，故ZD1B1C为所求的角，又BiDi=BiC=

DiC‘/.ZDiBiC=60°.]8.（2018全•国II卷理科）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，AAi=3，则异面直线

A）与DB〔所成角的余弦值为（）

9•如图'在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AAi=2AB=2‘

D2p34

则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A.g55D.S

10.（2018全•国U卷文科）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的则异面直线AE

中占，

D.27

与CD所成角的正切值为（）A.22

B.23C.25

解析：

C［如图，因为AB||CD，所以AE与CD所成的角为ZEAB在RtAABE中，设AB=

AB

则BE=5，则tanZEAB=abeb=25'所以异面直线AE与CD所成角的正切值为25。

11・（2017全•国U卷理科）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZABC=120°，AB=2，

BC=CCi=1，则异面直线ABi与BC所成角的余弦值为（

12.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中?

AAi=2AB‘

解析：

D［连BAi，则在正四棱柱中可得BAi||CDi?

•・ZAiBE即为异面直线BE与CDi所角（或其补角）•设AAi=2AB=2，则在ZXAiBE中，BE=2，EAi=1，BA2=5，由余弦定理得cosZAiBE=%匕严寸J%",.・・异面直线BE与CD所成角的余弦值为3io10.

2x2x51010

13•如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10、AB=6，EF=7，则

异面直线AB与PC所成的角为•答案：

60“

解析：

取AC的中点D，连接DE、

则DE||PC‘DF||AB‘ZEDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角‘利用余弦定

14.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中。

已知AB=4，AD=3，AAi=2，E、F分别是线段

AB、BC上的点，且EB=FB=1

e求二砸CDECi的正切值；

（2）求直线EG与FD所成角的余弦值

17•（2016全•国I卷）平面a过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点平面

ABCD=m‘afl平面ABBiAi=n，则m，n所成角的正弦值为（）A.23B.22C.33D.13解析：

A[如图所示，设平面CB1D1A平面ABCD=mi，

因为a〃平面CB1D1，所以g||m，又平面ABCD||平面A1B1C1D1，且平面BiDiCA平面A1B1C1D1=B1D1‘所以B1D1||rm»故B1D1||m.

因为平面ABB1A1||平面DCC1D1‘且平面CBiDiA平面DCCiDi=CD1，同理可证CDi||n.

故m，n所成角即直线BQ与CDi所成角，在正方体ABCD-A1B1C1D1中‘△CBQ是正三角形，故直线BQi与CD沖斤成角为60°，其正弦值为23.]

18・一个正方体纸盒展幵后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

（DAB丄EF；②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；④MN||CD.以上四个命题中‘正确命题的序号是解析：

如图，①AB丄EF，正确；②显然AB||CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所

以正确；④MN与CD异面，并且垂直‘所以不正确，则正确的是①③

A

答案：

①③

19・如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA丄底面ABC，点E，F分别是棱CCi，BB1上的点，点M是线段AC上的动点'EC=2FB=2.

（1）当点M在何位置时，BM||平面AEF?

（2）若BM||平面AEF，判断BM与EF的位置矢系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值•

解：

⑴法一：

如图所示'取AE的中点O，连接OF，过点O作OM丄AC于点M.

因为侧棱AiA丄底面ABC，所以侧面A1ACC1丄底面ABC.

1

又因为EC=2FB=2，所以OM||FB||EC且OM=2EC=FB，

所以四边形OMBF为矩形，BM||OF.

因为OF?

平面AEF‘BM?

平面AEF，故BM||平面AEF‘此时点M为AC的中点•

法二：

如图所示'取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQPB，BQ.

因为EC=2FB=2，所以PQ||AE，PB||EF，

所以PQ||平面AFE，PB||平面AEF，

因为PBAPQ=P，PB，PQ?

平面PBQ，所以平面PBQ||平面AEF.又因为BQ?

平面

PBQ，所以BQ||平面AEF.

故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点•

（2）由

（1）知，BM与EF异面，ZOFE（或ZMBP）就是异面直线BM与EF所成的角或其补

角•易求AF=EF=5，MB=OF=3，OF丄AE，

所以cosZOFE=of=3=15,所以BM与EF所成的角的余弦值为15.

EF555

四个公理及其应用：

1•公理〔、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理的应

（1）证明直线在平面内:

（2）证明点在平面内：

2.公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1、两条平行直线确定唯一一个平面。

推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。

推论3、两条相交直线确定唯一一个平面。

公理的应用：

确定平面或证明多点共面。

3•公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

简言之，“面面相交成一线”。

公理的应用：

（1）判断两平面是否相交：

（2）画相交两平面的交线:

（3）证明多点共线：

（4）证明三线共点：

4.公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。

推论：

等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补•公理的应用：

证明两直线平行或证明角相等。

【考点专练】1•判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“厂”，错误的打“x”•

（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分・（）

⑵两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（）

（3）已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那

么c与b不可能是平行直线•（）

（4）没有公共点的两条直线是异面直线•（）

（5）如果两个平面有三个公共点，则这两

个平面重合・（）

答案：

（1）x

（2）x（3）Z（4）x（5）x

2・在下列命题中，不是公理的是（）A-平行于同一个平面的两个平面相互平行B•过不在同一

条直线上的三点，有且只有一个平面

C•如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D・如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：

A[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质

公理•]

3-（2019贵•阳调研）a是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?

a,n?

a,且

AEm，AWa,则m，n的位置矢系不可能是（）A•垂直B•相交C•异面D・平行

解析：

D[依题意，mAa=A，n?

a,Am与n异面、相交（垂直是相交的特例），一定不平

4・已知直线a和平面a,卩，aC卩=I，a?

a,a?

卩，且a在a,卩内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置矢系是（）

A・相交或平行B•相交或异C・平行或异面D•相交、平行或异面

解析：

D［依题意，直线b和c的位置矢系可能是相交、平行或异面•］

5•过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A作直线I，使I与棱AB，AD，AAi所成的角都相

等，这样的直线I可以作（）A•1条B・2条。

・3条。

・4条

解析：

D［如图，连接体对角线ACi，显然ACi与棱AB，AD，AA沖斤成的角都相等，所成角的正切值都为2.联想正方体的其他体对角线，如连接BDi，则B）与棱BC，BA，BBi所成的角都相等，-/BBi||AAi，BC||AD，・•・体对角线BDi与棱AB，AD，AAi所成的角都相

同理，体对角线AiC，DBi也与棱AB，AD，AAi所成的角都相过A点分别作BDi，AiC，等，

DBi的平行线都满足题意，故这样的直线I可以作4条・］

6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E‘F分别是AB和AAi的中点・求证：

⑴E，C，Di，F四点共面；

（2）CE，DiF，DA三线共点・［证明］⑴如图，连接EF，CDi‘AiB.TE，F分别是AB，AAi的中点，/.EF||BAi.XAiB||DiC，.・・EF||CDi，・IE，C，Di，F四点共面・

（2）TEF||CDEF

平面ABCD，得PG平面ABCD.

同理pw平面ADD1A1.又平面ABCDQ平面ADDiAi=DA，

・・.PG直线DA，・・.CE，DiF，DA三线共点・

共面、共线、共点问题的证明

（1）证明点或线共面问题的两种方法：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再

证两平面重合•

（2）证明点共线问题的两种方法：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线

上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上•

（3）证明线共点问题的常用方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该

占•

八、、

7.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB、AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且

BG:

GC=DH:

HC=1：

2.

⑴求证：

E,F,G,H四点共面；

⑵设EG与FH交于点P，求证：

P，A，C三点共线・

证明：

⑴HF分别为AB，AD的中点,

/.GH||BD..*.EF||GH，

BGDH1

/.EF||BD.在ZXBCD中，==，

GCHC2

.・.E，F，G，H四点共面・

・•・四边形FEGH为梯形，「.GE与HF交于一点,

设EGQFH=P，PWEG，EG?

平面ABC，/.Pe平面ABC.同理PG平面ADC.

/.P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABCC平面ADC=AC，

・・・PWAC，・・.P，A，C三点共线・

8・四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有（）

A・4个B・3个C・2个D・1个

解析：

A[首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面・]

9•a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）

A•若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B・若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C•若a||b，则a，b与c所成的角相等D•若a丄b，b丄c，则a||c

解析：

C[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c

相交，则a，c相交、平行或异面；若a丄b，b丄c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确・故选C.]

10•在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CDi的中点，则直线AiB与直线

EF的位置尖系是（）A•相交B•异面C•平行D•垂直

11•如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是BQi的中点，直线AiC交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是（）

B-A，M，O，Ai不共面

D•B，Bi，O，M共面

解析：

A［连接A1C1，AC，则A1C1||AC，/.Ai，Ci，A，C四点共面，/.AiC?

平面

ACC1A1，TMCAiC，/.Me平面ACCiAi，又MG平面AB1D1‘「.M在平面ACCiAi与平面

ABiDi的交线上，同理O在平面ACCiAi与平面ABiDi的交线上・/.A，M，O三点共

线•112-如图所示，在正方体ABCD—A1B1CQ1中，M，N分别为棱C1D1，CiC的中

点，有以下四个结论：

AR

①直线AM与CCi是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB】是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为

（注：

把你认为正确的结论序号都填上）•答案：

③④

13•若空间中四条两两不同的直线h»l2，l3，l4，满足h丄l2，丨2丄丨3，l3丄l4，则下列结论一

定正确的是（）A・h丄l4B•hIIl4

C・h与l4既不垂直也不平行D・h与I4的位置矢系不确定

角军析：

D［女口图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，igh=DDi，b=DC，b=DA.若k=AAi，

满足h丄b，l2丄l3，I3丄l4，此时h||k，可以排除选项A和C若取CQ为l4，则h与丨4相交；若

取BA为I4，则h与|4异面；若取OD1为I4，则h与I4相交且垂直・因此h与I4的位置矢

系不能确］

14.（2016全国二卷理科）是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果

n，m，n||，那么

②如果

，n||，那么

③如果

aII，那么m||

④如果m||n，||，那么m与所成的角和n与所成的角相等•

其中正确的命题有：

（注：

填与所有正确命题的编号）・【答案】