空间点线面的位置关系及四个公理4.docx

1、空间点线面的位置关系及四个公理4高考专题：空间点、直线、平面的位置尖系及四个公理-空间点、直线、平面的位置矢系1空间点、直线、平面之间的位置矢系直线与直线直线与平面平而与平面平行关系图形z刃akzzzz/ 77符号a ball aall B相交关系图形X JIVI符号:a A b = AaA a=AaA B=l异面或在内关系图形/b符号ia, b是异面直线a? a2异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a | a，b | b，把a 与 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）即，异面直线的平行线的 夹角就是两异面直线所成的角。3异面直线判定定理

2、：经过平面外一点和平面内一点的直线，与这个平面内不经过该点的直 线是异面直线即，若A,B,I,BI则AB与I异面。4异面直线所成的角的求解方法：方法一，定义法：异面直线所成的角，根据定义，以“运 动”观点，用“平移转化”的方法，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应 用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为90，也是不可忽视的方法。其求解步骤为：做平移找出或做出有矢的角-证明它符合定义即认定通过解三角形求 角。简言之，“一做，二证，三算”注意：第二步认定的表述为：或其补角就是异面直线与所成的角。方法二，三弦公式法：如图，已知PA与PB分别是平面的垂线和斜线，在平面内过斜足 B

3、 任意引一肓线 BC,设 PBA 15 ABC 2, PBC w cos cos 1 cos 2P【真题再现】1. （2014全国二）：正方体ABCD A1B1C1D1中，若E、F分别为和BB】的 中点，则AE与CF所成角的余弦值是2. （2017理科全国三）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边 AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：1当直线AB与a成60角时、AB与b成30角；2当直线AB与a成60角时、AB与b成60角；3直线AB与a所成角的最小值为45 ；4 直线AB与a所成角的最大值为60 ；其中正确的是.（填写所有正确结论的

4、编号）推论：最小角定理：平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角（即，线面角）是这条斜 线和平面内所有直线所成的一切角中的最小角。【真题再现】（2018浙江8）已知四棱锥S- ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线 段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为01，SE与平面ABCD所成的角为02， 二面角S-AB-C的平面角为03，则（）A 0l0203 B 030201 C. 010302 D 020301方法三，空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，并设异面直线AB与CD所成的角为0,AB?CD则COSAB ?CD【考点专练】1.（09天津卷）在棱长为2的正方体ABCD A

5、1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CCi、AD的中点，那么异面直线OE和F）所成的角的余弦值等于 ）101542A .R.c n55532在空间四边形AD=1 BC=3，且 AD13 AC=ABCD中，已知BC，对角线BD p3，求AC和BD所成的角。23.已知异面直线a,b所成的角为60，在过空间一定点P的直线中，与a,b所成的角均为60的直线有多少条？过P与a,b所成角均为50 ，与均为70。的直线又各有多少呢?4.已知两异面直线所成的角为 ，直线I与两异面直线均成等角，则这个角的取值范围是35.线段AB夹在直二面角I内，A ,B，如果AB与平面、所成的角分别为、，那么

6、应满A.大于90 B.小于90 C.等于90 D.小于或等于906.（08全国理）正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为1八侧棱长为2，则这个棱 柱的侧面对角线EQ与BG所成的角为（）A.9O B.60。C.40P.12CT 7 如图所示，在 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线BiC与EF所成的角的 大小为（ ）A 30 B 45 C 60 D 90解析：C 连接B1D1 DiC （图略），则BQi|EF，故ZD1B1C为所求的角，又BiDi = BiC =DiC /. ZDiBiC = 60. 8. （2018全国II卷理科）在长

7、方体ABCD A1B1C1D1中，AB = BC = 1，AAi = 3，则异面直 线A)与DB所成角的余弦值为()9如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD -A1B1C1D1中，AAi=2AB = 2 D 2 p 3 4则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）A.g 5 5 D.S10. （2018全国U卷 文科）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC 1的 则异面直线AE中占，D. 27与CD所成角的正切值为（）A. 22B. 23 C. 25解析：C 如图，因为AB | CD，所以AE与CD所成的角为Z EAB在RtA ABE中，设AB =A B则BE= 5

8、，则tanZEAB= abeb= 25 所以异面直线AE与CD所成角的正切值为25。11（2017全国U卷理科）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，Z ABC = 120，AB = 2，BC = CCi = 1，则异面直线ABi与BC所成角的余弦值为（12.已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D 1 中? AAi=2AB 解析：D 连BAi，则在正四棱柱中可得BAi | CDi ?ZAiBE即为异面直线BE与CDi所 角（或其补角）设AAi=2AB = 2，则在ZXAiBE中，BE= 2，EAi = 1，BA2= 5，由余弦定 理 得cosZAiBE= %匕严寸 J%,.异面直线BE与CD所成

9、角的余弦值为3io10.2x 2x 510 1013 如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC= 10、 AB= 6，EF = 7，则异面直线AB与PC所成的角为 答案：60“解析：取AC的中点D，连接DE、则DE | PC DF | AB ZEDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角利用余弦定14.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中。已知AB=4，AD=3， AAi=2，E、F分别是线段AB、BC 上的点，且 EB=FB=1e求二砸C DE Ci的正切值；（2）求直线EG与FD所成角的余弦值17 （2016全国I卷）平面a过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点

10、平面ABCD =m afl平面 ABBiAi= n，则 m，n 所成角的正弦值为()A. 23 B. 22 C. 33 D.13 解析：A 如图所示，设平面CB1D1 A平面ABCD =mi，因为a平面CB1D1，所以 g |m，又平面ABCD |平面A1B1C1D1，且平面BiDiCA平面 A1B1C1D1 = B1D1 所以 B1D1 | rm 故 B1D1 | m.因为平面ABB1A1 |平面DCC1D1 且平面CBiDiA平面DCC iDi= CD1，同理可证CDi | n.故m，n所成角即直线BQ与CDi所成角，在正方体ABCD-A1B1C1D1中 CBQ是正三 角形，故直线BQi与

11、CD沖斤成角为60，其正弦值为23.18一个正方体纸盒展幵后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：（DAB丄EF ； AB与CM所成的角为60 ；EF与MN是异面直线；MN | CD.以上四个命题中正确命题的序号是 解析：如图，AB丄EF，正确；显然AB | CM，所以不正确；EF与MN是异面直线，所以正确；MN与CD异面，并且垂直所以不正确，则正确的是A答案：19如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA丄底面ABC，点 E，F分别是棱CCi，BB1上的点，点M是线段AC上的动点EC= 2FB = 2.(1)当点M在何位置时，BM |平面AEF?(2)若BM

12、|平面AEF，判断BM与EF的位置矢系，说明理由；并求BM与EF所成的 角的余弦值解：法一：如图所示取AE的中点O，连接OF，过点O作OM丄AC于点M.因为侧棱AiA丄底面ABC，所以侧面A1ACC1丄底面ABC.1又因为 EC = 2FB = 2，所以 OM | FB | EC 且 OM=2EC = FB，所以四边形OMBF为矩形，BM | OF.因为OF?平面AEF BM?平面AEF，故BM |平面AEF 此时点M为AC的中点法二：如图所示取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ PB，BQ.因为 EC = 2FB = 2， 所以 PQ | AE，PB | EF，所以PQ |平面AFE，PB

13、|平面AEF ，因为PB A PQ= P，PB，PQ?平面PBQ，所以平面PBQ |平面AEF.又因为BQ?平面PBQ，所以BQ |平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，ZOFE (或ZMBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求 AF = EF= 5，MB= OF= 3，OF 丄AE，所以cosZOFE = of= 3= 15 ,所以BM与EF所成的角的余弦值为15.EF5 5 5四个公理及其应用：1 公理、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理的应 (1 )证明直线在平面内:(2)证明点在平面内：2.公理2、过

14、不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1、两条平行直线确定唯一一个平面。推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。推论3、两条相交直线确定唯一一个平面。公理的应用：确定平面或证明多点共面。3公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 简言之，“面面相交成一线”。公理的应用：(1)判断两平面是否相交：(2)画相交两平面的交线:(3)证明多点共线：(4)证明三线共点：4.公理4(平行公理)、平行于同一直线的两直线平行。推论：等角定理：空间中如果两个角的 两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补公理的应用：证明两直线平行或证明角相等。【考点专练】1

15、判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“厂”，错误的打“x” (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线()(4)没有公共点的两条直线是异面直线()(5)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 ()答案：(1)x (2)x (3)Z (4)x (5)x2在下列命题中，不是公理的是()A-平行于同一个平面的两个平面相互平行B 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果 两个不重合的平面有一

16、个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：AA不是公 理，是个常用的结论，需经过推理论证； B，C，D是平面的基本性质公理3 - (2019贵阳调研)a是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?a, n? a,且AE m，AWa,则m，n的位置矢系不可能是()A 垂直B 相交 C 异面D平行解析：D 依题意，mAa=A，n? a, Am与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平4已知直线a和平面a,卩，aC卩=I，a?a, a?卩，且a在a,卩内的射影分别为直线b和 c，则直线b和c的位置矢系是()A相交或平行 B 相交或异 C平行或异面 D相交、平行或异面解析：D 依题意，

17、直线b和c的位置矢系可能是相交、平行或异面5 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线I，使I与棱AB，AD，AAi所成的角都相等，这样的直线I可以作()A 1条 B2条 。3条。4条解析：D 如图，连接体对角线ACi，显然ACi与棱AB，AD，AA沖斤成的角都相等，所成 角的正切值都为2.联想正方体的其他体对角线，如连接 BDi，则B)与棱BC，BA，BBi 所成的角都相等，-/BBi | AAi ，BC| AD，体对角线BDi与棱AB，AD ，AAi所成的角都相同理，体对角线AiC，DBi也与棱AB，AD，AAi所成的角都相 过A点分别作BDi，AiC， 等，DBi的平行线都满足题

18、意，故这样的直线I可以作4条6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E F分别是AB和AAi的中点求证：E，C，Di，F四点共面； (2)CE，DiF，DA三线共点 证明如图，连接EF，CDi AiB. TE，F分别是AB，AAi的中点， /.EF|BAi.X AiB|DiC，.EF|CDi，IE， C ， Di ， F 四点共面 (2)TEF | CD EFCDi ，.CE 与 DiF 必相交, 设交点为P，如图所示则由PUCE，CE?平面ABCD，得PG平面ABCD.同理pw平面ADD 1A1. 又平面ABCD Q平面ADD iAi= DA，.PG直线DA， .CE，DiF，D

19、A三线共点共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平 面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平 面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该占八、7.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB、AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG : GC = DH : HC = 1 ： 2.求证：E, F, G, H四点共面；设EG与

20、FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明：HF分别为AB，AD的中点,/.GH | BD.*.EF|GH，BG DH 1/.EF | BD.在ZXBCD 中，=，GC HC2.E，F，G，H四点共面四边形FEGH为梯形，.GE与HF交于一点,设 EGQFH = P，PWEG，EG?平面 ABC， /.Pe 平面 ABC.同理 PG 平面 ADC./.P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC C平面ADC= AC，PWAC，.P，A，C三点共线8四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有（）A4个 B3个 C2个 D1个解析：A 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多

21、可以确定四个平面 9 a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是 （）A 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C 若a | b，则a，b与c所成的角相等 D 若a丄b，b丄c，则a | c解析：C 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若 a丄b，b丄c，则a，c相交、平行或异面；由异面直 线所成的角的定义知C正确故选C.10在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CDi的中点，则直线AiB与直线EF的位置尖系是（）A 相交 B 异面 C 平

22、行 D 垂直11如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是BQi的中点，直线AiC交平面AB1D1于 点M，则下列结论正确是（）B - A，M，O，Ai 不共面D B，Bi，O，M 共面解析：A 连接 A1C1，AC，则 A1C1 | AC，/.Ai，Ci，A，C 四点共面，/. AiC?平面ACC1A1 ， TMCAiC，/.Me平面 ACCiAi，又 MG平面 AB1D1 .M 在平面 ACCiAi 与平面ABiDi的交线上，同理O在平面ACCiAi与平面ABiDi的交线上/.A，M，O三点共线 1 12 -如图所示，在正方体ABCD A1B1C Q 1中，M，N分别为棱C1D1，

23、CiC的中点，有以下四个结论：A R直线AM与CCi是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB】是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为（注：把你认为正确的结论序号都填上 ）答案：13 若空间中四条两两不同的直线h l2，l3，l4，满足h丄l2，丨2丄丨3，l3丄l4，则下列结 论一定正确的是（）Ah丄l4 B h II l4Ch与l4既不垂直也不平行 Dh与I4的位置矢系不确定角军析：D 女口图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，igh = DDi，b = DC，b = DA.若 k=AAi，满足h丄b，l2丄l3，I3丄l4，此时h | k，可以排除选项A和C若取CQ为l4，则h与丨4相 交；若取BA为I4，则h与|4异面；若取OD1为I4，则h与I4相交且垂直因此h与I 4的位置矢系不能确 14. （2016全国二卷理科） 是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果n，m ，n | ，那么如果，n| ，那么如果a II ，那么 m |如果m| n，| ，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有：（注：填与所有正确命题的编号）【答案】