上单调递增得|x-3|<|2x-5|
∴(x-3)2<(2x-5)2
∴(3x-8)(x-2)>0
∴x<2或x>
即为所求.
可以看出:
丰富的联想再加上必要的分析是产生正确结论的保障!
但愿这两点你都拥有.
三类抽象函数问题的解法
大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得.解题时,若能从研究抽象函数的背景入手,通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数,常可找到解题的切入点,进而加以解决.
一、以正比例函数为模型的抽象函数
例10已知f(x)的定义域为实数集R,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f
(1)=-2,求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
分析 由条件f(x+y)=f(x)+f(y)联想正比例函数f(x)=kx,其中k<0,满足已知条件.由此猜想函数f(x)是区间[-3,3]上的减函数且又为奇函数,这样问题的解决就有了方向.
解 因为对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),于是取x=0,可得f(0)=0,同时设y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),知函数f(x)为奇函数.
下面证明它是减函数:
任取-3≤x10,
又x>0时,f(x)<0,即f(x2-x1)<0,
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0.
所以函数f(x)在区间[-3,3]上是减函数.
当x=-3时,函数f(x)取最大值;
当x=3时,函数f(x)取最小值.
f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(1+2)
=-[f
(1)+f
(2)]=-[f
(1)+f
(1)+f
(1)]
=-3f
(1)=6;
f(x)min=f(3)=3f
(1)=-6.
点评 本题求解有两个特点:
一是赋值;二是在求最值时,反复运用条件.这是求解抽象函数问题时常用的方法.
二、以指数函数为模型的抽象函数
例11设函数f(x)的定义域为实数集R,满足条件:
存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2),对任意x和y,有f(x+y)=f(x)·f(y).
(1)求f(0);
(2)对任意x∈R,判断f(x)值的正负.
解 由已知猜想f(x)是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0.
(1)将y=0代入f(x+y)=f(x)·f(y),
得f(x)=f(x)·f(0),于是有f(x)[1-f(0)]=0.
若f(x)=0,则对任意x1≠x2,有f(x1)=f(x2)=0,
这与已知题设矛盾,所以f(x)≠0,从而f(0)=1.
(2)设x=y≠0,则f(2x)=f(x)·f(x)=[f(x)]2≥0,
又由
(1)知f(x)≠0,所以f(2x)>0,
由x为任意实数,知f(x)>0.
故对任意x∈R,都有f(x)>0.
点评 从已知条件联想到指数函数模型,为问题的解决指出了方向.但在推导过程中,说理的严密性是很重要的,如不能由f(x)[1-f(0)]=0,直接得出f(0)=1,这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方.
三、以对数函数为模型的抽象函数
例12设函数f(x)是定义域(0,+∞)上的增函数,且f(
)=f(x)-f(y).
(1)求f
(1)的值;
(2)若f(6)=1,求不等式f(x+3)+f(
)≤2的解集.
解 由已知猜想f(x)是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的抽象函数.
(1)将x=y=1代入f(
)=f(x)-f(y),
得f
(1)=f
(1)-f
(1),所以f
(1)=0.
(2)因为f(6)=1,所以2=f(6)+f(6),
于是f(x+3)+f(
)≤2等价于f(x+3)-f(6)≤f(6)-f(
),即f(
)≤f(6x),
而函数f(x)是定义域(0,+∞)上的增函数,
所以
,解得x≥
,
因此满足已知条件的不等式解集为[
,+∞).
点评
(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处;
(2)本题是增函数概念“若x1例谈函数模型法
例13定义在实数集R上的函数y=f(x)具有下列两条性质:
①对于任意x∈R都有f(x3)=[f(x)]3;
②对于任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有f(x1)≠f(x2).则f(-1)+f(0)+f
(1)的值为( )
A.1B.2C.-1D.0
分析 通过性质①可以看出此函数应为幂函数,性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数.
解析 根据题设条件设f(x)=
,
则可以求得f(-1)+f(0)+f
(1)=0,答案为D.
答案 D
例14已知f(x)是R上的增函数,且f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),若f
(2)=4,则f(2x+1)>8的解集是________.
分析 性质f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)类似于指数函数的性质am+n=am·an,故可以构建指数函数模型.
解析 设f(x)=ax(a>1),则由f
(2)=4可得a=2,
所以f(x)=2x.
由f(2x+1)>8,则22x+1>8,解得x>1.
故不等式f(2x+1)>8的解集是(1,+∞).
答案 (1,+∞)
例15已知函数f(x)是定义域为R的增函数,且值域为(0,+∞),则下列函数中为减函数的是( )
A.f(x)+f(-x)B.f(x)-f(-x)
C.f(x)·f(-x)D.
分析 指数函数y=ax(a>0,a≠1)中,在a>1的情况下,函数满足题设的条件①定义域为R;②增函数;③值域为(0,+∞).
解析 不妨设f(x)=2x,通过观察四个选项,可以得出
=(
)x符合题意,故选D.
答案 D
幂函数高考考点透视
本节知识在高考中很少单独出现,一般是与指数函数、对数函数联合命题,因此在学习上要注意知识的结合点.借助y=xα(α=1,2,3,
,-1)的图象和性质研究多项式函数,分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点,考试题多以填空题为主.
1.(陕西高考)函数f(x)=
(x∈R)的值域为( )
A.[0,1]B.[0,1)
C.(0,1]D.(0,1)
解析 ∵1+x2≥1,∴0<
≤1
∴f(x)=
的值域是(0,1].
答案 C
2.(课标全国高考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )
A.y=x3B.y=|x|+1
C.y=-x2+1D.y=2-|x|
解析 ∵y=x3在定义域R上是奇函数,∴A不对.
y=-x2+1在定义域R上是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数,故C不对.
D中y=2-|x|=(
)|x|虽是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数,只有B对.
答案 B
3.(北京高考)函数f(x)=
-
的定义域为______________.
解析 要使函数f(x)=
-
有意义,
则必须有
⇒
即x∈[-1,2)∪(2,+∞).
答案 [-1,2)∪(2,+∞)
4.(山东高考)设函数f1(x)=x
,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f3(f2(f1(2007)))=________.
解析 f3(f2(f1(2007)))=f3(f2(2007
))
=f3(2007-
)=2007-1=
.
答案