《23幂函数》导学案4.docx

1、23幂函数导学案42.3幂函数导学案4幂函数要点导学一、知识导引1幂函数定义：形如yx的函数叫幂函数(为常数)重点掌握1，2，3，1时的幂函数2图象：当1，2，3，1时的图象如右图3性质(1)当0时，幂函数图象都过(0，0)点和(1，1)点，且在第一象限都是增函数；当01时，曲线下凹：1时为过(0，0)点和(1，1)点的直线(2)当0)y22log2x(x0)y2log2x2(x0)yx2(x0)作出幂函数yx2(x0)的图象，如图所示，即为函数y4log2x的图象三、思维片面例5 幂函数f(x)(m2m1)xm22m1在区间(0，)上是增函数，求实数m的取值集合错解由幂函数的定义，可知f(x

2、)可以写成f(x)x的形式，所以m2m11，解得m1或m2.剖析求得m的值后，未检验是否符合题意正解由幂函数的定义，可知f(x)可以写成f(x)x的形式，所以m2m11，解得m1，或m2.当m1时，f(x)x2在(0，)上是增函数；当m2时，f(x)x1在(0，)上不是增函数，舍去故所求实数m的取值集合为1四、单调性理解不透彻例6 若(a1)1(32a)1，求实数a的取值范围错解考查幂函数f(x)x1，因为该函数为减函数，所以由(a1)132a，解得a.故实数a的取值范围是(，)剖析函数f(x)x1在(，0)和(0，)上均为减函数，但在(，0)(0，)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从

3、而导致错误正解考查幂函数f(x)x1，由于该函数在(，0)及(0，)上均为减函数，所以由(a1)132a0，或32aa10，解得a1或a.故实数a的取值范围是(，1)(，)幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如yx的函数叫幂函数(系数是1，为实常数)例1 如果f(x)(m1)xm24m3是幂函数，则f(x)在其定义域上是()A增函数B减函数C在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数D在(，0)上是减函数，在(0，)上也是减函数解析要使f(x)为幂函数，则m11，即m2.当m2时，m24m31，f(x)x1.f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上也是减函数答案D二、幂函数在第一

4、象限的图象与幂指数的大小关系从x轴的正方向按逆时针旋转到y轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大如图为yx在取2，2，四个值时的图象，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为2，2，其规律为在直线x1的右侧“指大图高”三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a1)|32a|，a4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解以下试举几例说明运用图象的直观性例3 已知实数a、b满足等式ab，下列五个关系式：0ba1； 1a

5、b0； 1ab；1ba0； ab.其中可能成立的式子有_解析首先画出y1x与y2x的图象(如图所示)，已知abm，作直线ym.如果m0或1，则ab；如果0m1，则0ba1，则1ab.从图象看一目了然，故成立的是.答案例4 函数yxm，yxn，yxp的图象如图所示，则m，n，p的大小关系是_解析结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线xa(0a1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是anamap，根据指数函数yax(0amp.答案nmp点评以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象

6、中，减轻记忆的负担三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a1)(32a)，试求a的取值范围分析利用函数yx的图象及单调性解题，注意根据a1，32a是否在同一单调区间去分类解分类讨论或或解得a1或ax，求x的取值范围解x2与x有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数yx(其中2，)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x1.点评数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然三、转化的数学思想例7 指出函数f(x)的单调区间，并比较f()与f()的大小解因

7、为f(x)11(x2)2，所以其图象可由幂函数yx2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示所以f(x)在(2，)上是减函数，在(，2)上是增函数，且图象关于直线x2对称又因为2()2，(2)2，所以2f()点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题联想加分析“联想”加“分析”是正确求解数学问题的关键有时面对一道题，从该题的某个条件上看出某一类问题的“影子”，于是“联想”便展开了很快有了基本思路，再运用“分析”使思路严谨化，解题过程就诞生了，请看下面两例：例8 若(a2)1(4a)1，求实数a的取值范围联想这是一道涉及幂函数yx1的

8、应用问题，我们知道此函数在(，0)及(0，)上均为减函数，故或由2a4时不等式也成立；于是本题的正确求解要分三种情况正确的结果是实数a的取值范围为(2，1)(4，)例9 若函数f(x)0且满足f(xy)f(x)f(y)，若x1时，f(x)1，求使f(x3)0且f(xy)f(x)f(y)”，于是想到这是一道与幂函数有关的抽象函数问题令xy1得f(1)1.又f(1)f(x)f(x)f()，所以f().则f()f(x)f(x)f().设0x11.由已知得f()1，即1.故f(x2)f(x1)所以f(x)在(0，)上单调递增因此，由f(x3)3.故使f(x3)0及2x50的限制，这个是求解时强加的，是

9、片面的，应该这样来解：令xy1得f(1)1，则f(x)f(x)f(1)f(x)即f(x)为偶函数于是由f(x3)f(2x5)及f(x)在(0，)上单调递增得|x3|2x5|(x3)20x即为所求可以看出：丰富的联想再加上必要的分析是产生正确结论的保障！但愿这两点你都拥有三类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决一、以正比例函数为模型的抽象函数例10 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f

10、(x)0，f(1)2，求f(x)在区间3，3上的最大值和最小值分析由条件f(xy)f(x)f(y)联想正比例函数f(x)kx，其中k0，满足已知条件由此猜想函数f(x)是区间3，3上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向解因为对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，于是取x0，可得f(0)0，同时设yx，得f(xx)f(x)f(x)，所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，知函数f(x)为奇函数下面证明它是减函数：任取3x10，又x0时，f(x)0，即f(x2x1)0，f(x2x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，且a1)的抽象函数，从而猜想f(0)1且f(x)

11、0.(1)将y0代入f(xy)f(x)f(y)，得f(x)f(x)f(0)，于是有f(x)1f(0)0.若f(x)0，则对任意x1x2，有f(x1)f(x2)0，这与已知题设矛盾，所以f(x)0，从而f(0)1.(2)设xy0，则f(2x)f(x)f(x)f(x)20，又由(1)知f(x)0，所以f(2x)0，由x为任意实数，知f(x)0.故对任意xR，都有f(x)0.点评从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f(x)1f(0)0，直接得出f(0)1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方三、以对数函数为模型的抽象函数例12 设函

12、数f(x)是定义域(0，)上的增函数，且f()f(x)f(y)(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，求不等式f(x3)f()2的解集解由已知猜想f(x)是对数函数ylogax(a0，且a1)的抽象函数(1)将xy1代入f()f(x)f(y)，得f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0.(2)因为f(6)1，所以2f(6)f(6)，于是f(x3)f()2等价于f(x3)f(6)f(6)f()，即f()f(6x)，而函数f(x)是定义域(0，)上的增函数，所以，解得x，因此满足已知条件的不等式解集为，)点评(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x1x

13、2，则f(x1)8的解集是_分析性质f(x1x2)f(x1)f(x2)类似于指数函数的性质amnaman，故可以构建指数函数模型解析设f(x)ax(a1)，则由f(2)4可得a2，所以f(x)2x.由f(2x1)8，则22x18，解得x1.故不等式f(2x1)8的解集是(1，)答案(1，)例15 已知函数f(x)是定义域为R的增函数，且值域为(0，)，则下列函数中为减函数的是()Af(x)f(x) Bf(x)f(x)Cf(x)f(x) D.分析指数函数yax(a0，a1)中，在a1的情况下，函数满足题设的条件定义域为R；增函数；值域为(0，)解析不妨设f(x)2x，通过观察四个选项，可以得出(

14、)x符合题意，故选D.答案D幂函数高考考点透视本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点借助yx(1，2，3，1)的图象和性质研究多项式函数，分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主1(陕西高考)函数f(x)(xR)的值域为()A0，1 B0，1)C(0，1 D(0，1)解析1x21，01f(x)的值域是(0，1答案C2(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|解析yx3在定义域R上是奇函数，A不对yx21在定义域R上是偶函数，但在(0，)上是减函数，故C不对D中y2|x|()|x|虽是偶函数，但在(0，)上是减函数，只有B对答案B3(北京高考)函数f(x)的定义域为_解析要使函数f(x)有意义，则必须有即x1，2)(2，)答案1，2)(2，)4(山东高考)设函数f1(x)x，f2(x)x1，f3(x)x2，则f3(f2(f1(2 007)_.解析f3(f2(f1(2 007)f3(f2(2 007)f3(2 007)2 0071.答案