空间杆件结构的有限单元法.docx
《空间杆件结构的有限单元法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间杆件结构的有限单元法.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
空间杆件结构的有限单元法
第二章空间杆件结构的有限单元法
第一节局部坐标系下的单元分析
图2-1所示为空间刚架中的仁一杆件单元。
选取局部坐标系时，去形心轴为X轴，哼
截面的主轴分别为坐标系的y轴和z轴。
x、y、z轴的方向按右手定则确定。
这样，单元
在Xy平面内的位移与xz平面内的位
移是彼此独立的。
设杆截面面积为a，在
XZ平面内的抗弯刚度为Ely，线刚度
Ely__
iy-;在xy平面内的抗弯刚度为
为GJ。
l
空间刚架单元的两端分别与结点I和j相联结。
每一个结点有六各界点位移分量和六个
结点力分量。
在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵e和杆端力列阵Fe分别为
UUivWi入％^ziujVjWj%划^zjT
Fe=XiYiZiMxiMyiMziXjYZjM^T
其中u为轴向位移，V、W为横向位移，科为杆件的扭转角，孑y、©分别为绕y轴和
z轴弯曲时的转角；X为杆件单元的轴力，Y、Z分别为沿y轴和z轴作用的剪力，
Mx、My、Mz为作用在杆端的力偶矩。
这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭头
表示；力和线位移的指向用单箭头表示。
图2-1中所示的杆端力和杆端位移为正方向。
与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移"e中的一个分量为1，而其余分量
均为零时的杆端力。
图2-2所示为当单元Oe的i端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。
图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。
y*yI
依同样方法可以确定当单元j端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。
当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方程，
以矩阵表示为
l
0
0
0
l
0
12EIz
0
0
l3
0
l
0
12EIy
0
l3
0
0
l
0
GJ
l
0
0
6EIy
i
0
l2
0
6EIz
l2
1
0
0
EA
l
0
0
0
1
0
12EIz
0
0
l3
0
0
12EIy
l3
0
0
0
0
GJ
l
0
0
6EIy
"l2
i
0
0
6EIz
l2
1
0
0
Xi-
Z
Mxi
Mzi
Xj
Myi
Zj
Mx
Myj
】M-
0
0
l
0
0
6EIz
l
0
12EIz
l2
l3
6EIy
0
0
0
2
l
\J
0
0
0
0
4EIy
l
0
0
0
0
4EIz
0
6EIz
l
l2
0
0
EA
「l
0
0
6EIz
i
0
12EIz
_l2
l3
6EIy
0
0
c
l2
0
0
0
0
0
2EIy
l
0
0
0
1
0
2EIz
l
0
6EIz
'l2
0
0
0
0
0
0
0
6Ely
l2
6EIy
V
12EIy
l3
12EIy
3~l
0
6EIz
—2—
l
Ui
GJ
l
6EIy
2
l
0
GJ
l
2EIy
l
xi
6EIy
l2
4EIy
l
2EIz
l
6EIz
"F
4EIz
l
yi
0zi
Xj
0zj
式（2-1）可以简写为
Fe=k…
（2-1）
（2-2）
其中单元刚度矩阵为
「EA
EA
I
12EIz
I3
6EIz
I2"
12EIz
I3
6EIz
I2
12EIy
I3
0
GJ
I
6EIy
I2
0
6EIy
I2
4EIy
I
EA
I
6EIz
I2
0
4EIz门
——：
0
I
0
12EIz
V
I2
12EIy
I3
0
GJ
I
6EIy
I2
0
6EIy
I2
2EIy
I
6EIz
I2
2EIz0I
12EIy
I3
0
GJ
I
6Ely
I2
0
6EIy
I2
2EIy
I
式（2-3）的相同。
为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。
它是
6EIz
I2
0
12EIz
I3
6EIz
I2
2EIz
I
6EIz
"F
12EIy
I3
0
6EIy
I2
12阶方阵,
GJ
I
6EIy
I2
0
4EIy
l
4EIz
I
（2-3）
其性质也与平面结构
第二节空间单元坐标变换
将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵，
e在端点i的三个杆端力分量，在局部坐标系xyz中，它们是
是通过坐标转
换矩阵完成的。
首先考虑单元O
Xi、Yi、乙；在整体坐标系
xyz中，是Xi、Yi、Zj与Xi、Y、Zi之间的关系。
设x轴与
x、y、z轴的夹角分别为xx、
xy、xz（图2-3），则x轴在xyz坐标系中的方向余弦为
1%=cos（x,x）I刘=cos（x,y）4z=cos（x,z）
将杆端力Xi、Y、乙在x轴上头英，可求得杆端力
X^XiIxxYiIxyZilxz
同理可得
Yi二XgYlyyZi©
Xj、Yj、Zj表示Xj、
Yj、Zj,以Mxj、Myj、Mzj表示Mxj、Myj、M刀的表达式，其
转换矩阵也是t。
综合以上分析，整体坐标系中的单元杆端力分量列阵F⑥与局部坐标系中单元杆端力分
量列阵Fe之间的关系，可用下时表达
Fe=TeFe（2-6）
同理，可导出整体坐标系与局部坐标系杆端位移之间的转换关系
（2-7）
在以上两式中
在平面结构中，确定了单元的两个结点i和j的坐标，就确定了杆剪的位置。
在空间
结构中，仅仅确定两个端点的坐标还不能完全确定刚架杆件在空间的位置，因为相同的ij
杆，其截面形心主轴认可由不同的方向。
为确定刚架杆件在空间的确切位置，还需要在杆轴
线外在取一点k，以确定其形心主轴的方向。
取结构的整体坐标系为xyz，单元局部坐标系为xyz,Oy为杆件截面形心主轴之一，
如图2-4所示。
单元的位置由i、j、k三个点的坐标决定。
这里i为单元起始结点号，j为单
元终点号，由i、j两点可确定Ox的方向。
K点在单元所在的xOy平面内，但又不在x轴上，如果刚架上找不到合适的点，可用一个假想的点代替。
以i、j、k三点在整体坐标系xyz中的坐标分别为（X,yi、乙）、（Xj、力、Zj）、（xk、yk、Zk），那么如何根据这三个点的坐标值来确定坐标系的关系矩阵t中的九个元素呢？
t中的第
一行元素较容易确定。
如图2-4可得
Xj-Xi"
lxx=1
yj-yi
1xy=i、（2-10）
1zj一乙
1.
其中I为杆长，可按下式求得
1二（Xj-Xi）2（yj-Yi）2（Zj-Zi）2（2-11）
设i、j、k分别为三个坐标轴方向的单位矢量，OX轴矢量x可表示为
（2-12）
X=IxxiIxyjIxzk
则有
Z=YZiZXjXYk
Oz轴的方向余弦为
Ixx=YZ/l2
Ixy=ZX/l2，
G=XY/l2,
式中
J「（YZ）L（ZX）L（XY）2（2-16）
由于Oy轴与Ox轴垂直，oy轴与Oz轴垂直，且oy的方向余弦之和等于1，于是有
y（xik）=0
222
l：
l_l_1
yxyyyz
以上三式可组成联立方程
lyx1xxyylxyyzlxz
eeTee
（2-23）
kTkT
（2-24）
e
2-23）为两种坐标系的单元刚
k为空间单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。
式（
度矩阵的转换关系式。
式（2-24）和式（2-23）在形式上与平面结构的公式一样。
第三节空间刚架分析举例
空间刚架整体刚度矩阵K的形成、结点荷载列阵的形成和支承条件的引入，均与平面刚架的处理方法相同。
例2-1试求图2-5a所示空间刚架B结点的位移及各杆内力。
设各杆的材料和几何性质相同。
E=2.1102GPa,G=9104GPa,A=0.005m2,l=2.3m,J=2.610‘m4,ly=1.210饷4,匚=3.010讪4,卩=10kN,q=15kN/m.
（矩形截面梁在扭转时将发生翘曲。
本题中杆件为实体截面，约束所引起的附加正应力已略
去，J为“相当极惯性矩”。
）
解：
（1）确定结点，划分单元，建立坐标系。
括号内数字为结点位移编号，见（图2-5b）。
（2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
将以上数据代入式（2-3），得局部坐标系中的单元刚度矩阵
"437500
0
0
0
0
0
-437500
0
0
0
0
0
0
5469
0
0
0
6562
0
-5469
0
0
0
6562
0
0
2188
0
/625
0
0
0
-.2188
0
-2625
0
0
0
0
975
0
0
0
0
0
-955
0
0
0
0
/625
0
4200
0
0
0
2625
0
0
0
0
6562
0
0
0
10500
0
-6562
0
0
0
0
-437500
0
0
0
0
0
437500
0
0
0
0
0
0
-5469
0
0
0
3562
0
5469
0
0
0
-6562
0
0
-2188
0
2625
0
0
0
2188
0
2625
0
0
0
0
-975
0
0
0
0
0
975
0
0
0
0
-2625
0
2100
0
0
0
2625
0
4200
0
L0
6562
0
0
0
5250
0
-6562
0
0
0
10500
k1
（3）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵
单元①：
k1
001
t=1010
100^
单元坐标转换矩阵为
■0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
■.0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
根据单元刚度矩阵的转换关系
eeTee
kTkT
可求得整体坐标系中单元②的单元刚度矩阵
一2188
0
0
0
-2625
0
-2188
0
0
0
-2625
0
0
5469
0
6562
0
0
0
-5469
0
6562
0
0
0
0
437500
0
0
0
0
0
-437500
0
0
0
0
6562
0
10500
0
0
0
-6562
0
0
0
0
一2625
0
0
0
4200
0
2625
0
0
0
2100
0
0
0
0
0
0
975
0
0
0
0
0
—975
-2188
0
0
0
2625
0
2188
0
0
0
2625
0
0
-5469
0
-6562
0
0
0
5469
0
-6562
0
0
0
0
-437500
0
0
0
0
0
437500
0
0
0
0
6562
0
5250
0
0
0
-6562
0
10500
0
0
-2625
0
0
0
2100
0
2625
0
0
0
4200
0
L0
0
0
0
0
-975
0
0
0
0
0
975
（4）根据直接刚度法组集整体刚度矩阵。
以下所列为以子块表示的整体刚度矩阵，各子块
k2二
中的元素由k1和k2中的元素组成。
k；k；亠k・2kljjljjlllj
k2
-
439687
0
0
0-
-2625
0〕
0
10937
0
6562
0
-6562
0
0
439687
0
2625
0
Kf=
0
6562
0
11475
0
0
-2625
0
2625
0
8400
0
-
0
-6562
0
0
0
11475一
（6）组集结点荷载列阵P0,并引入支承条件，求自由结点荷载列阵Pf。
单元①、
单元②的固端力分别为
可=050
003
05
000
-3】T
可=0180
00
7.20
1800
0-7.2「
单元①、
单兀②的等效结点荷载
P>-TeTFe
P1=b-50
00
-30
-500
03】t
Fe2=10-18
000
-7.2
0-180
00
7.2F
整个结构的总载荷列阵
R=10
-50
00
-30
-230-
-7.20
30-1807.200卩
引入支承条件修改后
Pf=0-230-7.203T
（7）解方程，求自由结点位移。
由引入支承条件后整个结构的刚度方程：
Kff二Pf
求得自由结点位移
■■■>=0-5.002910“02.233710’0-2.599710“T
进而可确定整体坐标系下各单元的杆端位移
、1=0000000-5.002910’02.233710“0-2.599710’T2=0-5.002910“02.233710”0-2.599710’000000T
（8）求单元的杆端力
单元①：
1i1,11
F=Ff+Tk6
二015.2990-2.1778022.1830-5.29902.171802.5347T
单元②：
22222
FFfTk:
-05.29902.53470-2.1778030.7010-2.53740-28.305T
（9）绘内力图。
结果如图2-7所示。
y券.
a）
15.299
剪力图（kN）
c）
升级会员 