届一轮复习全国经典版理立体几何中的向量方法学案.docx

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届一轮复习全国经典版理立体几何中的向量方法学案

第7讲　立体几何中的向量方法

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　直线的方向向量和平面的法向量

1．直线的方向向量

直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个．

2．平面的法向量

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．

显然一个平面的法向量也有无数个，且它们是共线向量．

3．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；

l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；

l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；

l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；

α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；

α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.

考点2　空间向量与空间角的关系

1．两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是.

2．直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝，φ的取值范围是.

3．求二面角的大小

（1）如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

（2）如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．

考点3　求空间的距离

1．点到平面的距离

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.

2．线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．

[必会结论]

1．直线的方向向量的确定：

l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量．

2．平面的法向量的确定：

设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）直线的方向向量是唯一确定的．（　　）

（2）两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝（1,0，－1），v2＝（－2,0,2），则l1与l2的位置关系是平行．（　　）

（3）已知＝（2,2,1），＝（4,5,3），则平面ABC的单位法向量是n0＝±.（　　）

（4）若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.（　　）

（5）两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）√　（5）×

2．若平面α的一个法向量为（1,2,0），平面β的一个法向量为（2，－1,0），则平面α和平面β的位置关系是（　　）

A．平行B．相交但不垂直

C．垂直D．重合

答案　C

解析　由（1,2,0）·（2，－1,0）＝1×2＋2×（－1）＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．

3．[2018·宜宾模拟]已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），且ka＋b与2a－b互相平行，则k的值是（　　）

A．－2B.C.D.

答案　A

解析　由题意得，ka＋b＝（k－1，k,2），2a－b＝（3,2，－2）．所以＝＝，解得k＝－2.故选A.

4．[2018·沧州七校联考]把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为（　　）

A．120°B．30°C．90°D．60°

答案　D

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0,0），B（0，，0），C（0，0，），D（0，－，0），

∴＝（－，－，0），

＝（0，－，）．

∴||＝2，||＝2，·＝2.

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴异面直线AD，BC所成的角为60°.故选D.

5．[教材习题改编]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

答案　

解析　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1（0,0,1），C1（0,2,1），A1（1,0,1），B（1,2,0），

∴＝（0,2,0），

设平面A1BC1的一个法向量为n＝（x，y，z），

由

得令y＝1，得n＝（2,1,2），

设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则

sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝＝.

即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.

板块二　典例探究·考向突破

考向　利用空间向量证明平行、垂直

例　1　[2018·深圳模拟]如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．求证：

（1）MN∥平面A1B1C1；

（2）平面MBC1⊥平面BB1C1C.

证明　由题意，知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形AA1C1C的边长为2，则A（0,0,0），A1（2,0,0），B（0，2,0），B1（2,2,0），C（0,0,2），C1（2,0,2），M（1,0,0），N（1,1,1）．

（1）由题意知AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，

又A1B1∩A1C1＝A1，所以AA1⊥平面A1B1C1.

因为＝（2,0,0），＝（0,1,1），所以·＝0，即⊥.故MN∥平面A1B1C1.

（2）设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）．

因为＝（－1,2,0），＝（1,0,2），

所以⇒

令x1＝2，则平面MBC1的一个法向量为n1＝（2,1，－1）．同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2＝（0,1,1）．

因为n1·n2＝2×0＋1×1＋（－1）×1＝0，所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.

触类旁通

证明平行，垂直问题的思路

（1）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

（2）证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．

【变式训练1】　[2018·青岛模拟]如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面角A1－AB－C是直二面角．求证：

（1）A1B1⊥平面AA1C；

（2）AB1∥平面A1C1C.

证明　∵二面角A1－AB－C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，∴AA1⊥平面BAC.

又∵AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°，

即CA⊥AB，

∴AB，AC，AA1两两互相垂直．

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

设AB＝2，则A（0,0,0），B1（0,2,2），A1（0,0,2），C（2,0,0），C1（1,1,2）．

（1）＝（0,2,0），＝（0,0，－2），＝（2,0,0），

设平面AA1C的一个法向量n＝（x，y，z），

则即即

取y＝1，则n＝（0,1,0）．

∴＝2n，即∥n.∴A1B1⊥平面AA1C.

（2）易知＝（0,2,2），＝（1,1,0），＝（2,0，－2），设平面A1C1C的一个法向量m＝（x1，y1，z1），

则即

令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1,1）．

∴·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴⊥m.

又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C.

考向　利用空间向量求空间角

命题角度1　利用空间向量求异面直线所成的角

例　2　[2017·江苏高考]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B－A1D－A的正弦值．

解　在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.

因为AA1⊥平面ABCD，

所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.

如图，以{，，1}为正交基底，

建立空间直角坐标系Axyz.

因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，

则A（0,0,0），B（，－1,0），D（0,2,0），E（，0,0），

A1（0,0，），C1（，1，）．

（1）＝（，－1，－），＝（，1，），

则cos〈，〉＝

＝＝－，

因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.

（2）平面A1DA的一个法向量为＝（，0,0）．

设m＝（x，y，z）为平面BA1D的一个法向量，

又＝（，－1，－），＝（－，3,0），

则即

不妨取x＝3，则y＝，z＝2，

所以m＝（3，，2）为平面BA1D的一个法向量．

从而cos〈，m〉＝＝＝.

设二面角B－A1D－A的大小为θ，则|cosθ|＝.

因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝＝.

因此二面角B－A1D－A的正弦值为.

命题角度2　利用空间向量求直线与平面所成的角

例　3　[2017·浙江高考]如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．

（1）证明：

CE∥平面PAB；

（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

解　

（1）证明：

设AD的中点为O，连接OB，OP.

∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴OP⊥AD.

∵BC＝AD＝OD，且BC∥OD，

∴四边形BCDO为平行四边形，又∵CD⊥AD，

∴OB⊥AD，∵OP∩OB＝O，∴AD⊥平面OPB.

过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，

以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．

设CD＝1，则有A（0，－1,0），B（1,0,0），C（1,1,0），

D（0,1,0）．

设P（x,0，z）（z>0），由PC＝2，OP＝1，

得得x＝－，z＝.

即点P，而E为PD的中点，

∴E.

设平面PAB的法向量为n＝（x1，y1，z1），

∵A＝，A＝（1,1,0），

∴⇒

取y1＝－1，得n＝（1，－1，）．

而C＝，则C·n＝0，而CE⊄平面PAB，

∴CE∥平面PAB.

（2）设平面PBC的法向量为m＝（x2，y2，z2），

∵B＝（0,1,0），B＝，

∴

取x2＝1，得m＝（1,0，）．

设直线CE与平面PBC所成角为θ.

则sinθ＝|cos〈m，C〉|＝＝，

故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.

命题角度3　利用空间向量求二面角的大小

例　4　[2017·全国卷Ⅰ]如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．

解　

（1）证明：

由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.

因为AB∥CD，所以AB⊥PD.

又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.

因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.

由

（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.

以F为坐标原点，的方向为x轴