托勒密相关题.docx
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托勒密相关题
托勒密相关题
1．阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：
托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：
AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：
如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵
∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD
∴
∴AB•CD＝AC•BE
∵
∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：
．
（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为
的中点，求AC的长．
2．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：
如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有________．
任务：
（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．
（2）已知，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，∠COD＝120°，求证：
BD＝AB+BC．
3．阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：
下面是该定理的证明过程．
已知：
如图1，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：
AB•DC+AD•BC＝AC•BD
证明：
如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，
∵
＝
，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴
＝
，
∴AB•DC＝AC•BE，
∵
＝
，
∴∠ACB＝∠ADE．（ ）※
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∵AD•BC＝AC•ED，
∴AB•DC+AD•BC＝AC•BE+AC•ED＝AC（BE+ED）＝AC•BD．
任务：
（1）托勒密定理的逆命题是 ．
（2）将上面证明过程中标“※“这一步的理由写在下面的横线上 ．
（3）如图3，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．
4．问题探究：
（1）已知：
如图①，△ABC中请你用尺规在BC边上找一点D，使得点A到点BC的距离最短．
（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P是正△ABC外接圆的劣弧BC上任一点（不与B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：
PA＝PB+PC
问题解决：
（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？
若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．
5．探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA＝AC•BD．此为托勒密定理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的
上任意一点．求证：
PB+PC＝PA；
②根据
（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：
如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：
在
上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+ ；
第三步：
请你根据
（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
托勒密相关题
参考答案与试题解析
一．解答题（共5小题）
1．阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：
托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，
求证：
AB•CD+BC•AD＝AC•BD
下面是该结论的证明过程：
证明：
如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵
∴∠ABE＝∠ACD
∴△ABE∽△ACD
∴
∴AB•CD＝AC•BE
∵
∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD
∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED
∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：
勾股定理 ．
（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为
的中点，求AC的长．
【分析】
（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题．
（2）利用矩形的性质以及托勒密定理即可判断．
（3）连接BD，作CE⊥BD于E．首先证明BD＝2DE＝
CD，由托勒密定理，构建方程求出AC即可．
【解答】解：
（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．
“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似．
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，
则AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，
∵AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
∴AB2+AD2＝BD2，
托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：
勾股定理，
故答案为勾股定理．
（3）连接BD，作CE⊥BD于E．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∵
＝
，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝30°，
在Rt△CDE中，cos30°＝
，
∴DE＝
CD，
∴BD＝2DE＝
CD，
由托勒密定理：
AC•BD＝AD•BC+CD•AB，
∴AC•
CD＝3CD+5CD，
∴AC＝
，
答：
AC的长为
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数，托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：
如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有________．
任务：
（1）材料中划横线部分应填写的内容为 AC•BD＝AB•CD+BC•AD ．
（2）已知，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，∠COD＝120°，求证：
BD＝AB+BC．
【分析】
（1）由托勒密定理可直接求解；
（2）连接AC，通过证明△ACD是等边三角形，可得AC＝AD＝CD，由AC•BD＝AB•CD+BC•AD，可求解．
【解答】解：
（1）由托勒密定理可得：
AC•BD＝AB•CD+BC•AD
故答案为：
AC•BD＝AB•CD+BC•AD
（2）如图，连接AC
∵∠COD＝120°，
∴∠CBD＝∠CAD＝60°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD＝60°
∴∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形
∴AC＝AD＝CD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴AC•BD＝AB•CD+BC•AD
∴BD＝AB+BC
【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键．
3．阅读与探究
请阅读下列材料，完成相应的任务：
下面是该定理的证明过程．
已知：
如图1，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：
AB•DC+AD•BC＝AC•BD
证明：
如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E，
∵
＝
，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴
＝
，
∴AB•DC＝AC•BE，
∵
＝
，
∴∠ACB＝∠ADE．（ 同弧所对的圆周角相等 ）※
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∵AD•BC＝AC•ED，
∴AB•DC+AD•BC＝AC•BE+AC•ED＝AC（BE+ED）＝AC•BD．
任务：
（1）托勒密定理的逆命题是 如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形 ．
（2）将上面证明过程中标“※“这一步的理由写在下面的横线上 同弧所对的圆周角相等 ．
（3）如图3，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝1，求对角线BD的长．
【分析】
（1）根据托勒密定理写出其逆命题即可得出结论；
（2）由
＝
，利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ACB＝∠ADE；
（3）连接AD、AC，根据正多边形的性质可得出△ABC≌△DCB≌AED，根据全等三角形的性质可设BD＝AC＝AD＝x，在圆内接四边形ABCD中，利用托勒密定理可得关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：
（1）托勒密定理的逆命题是：
如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形．
故答案为：
如果四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆内接四边形．
（2）∵
＝
，
∴∠ACB＝∠ADE．（同弧所对的圆周角相等）
故答案为：
同弧所对的圆周角相等．
（3）在图3中，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴△ABC≌△DCB≌AED，
∴设BD＝AC＝AD＝x．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：
AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
即1×1+x•1＝x2，
解得：
x1
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