数学物理方程谷超豪版第二章课后答案doc.docx
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数学物理方程谷超豪版第二章课后答案doc
第二章热传导方程
§1热传导方程及其定解问题的提
1.一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
dQk1（uu1）dsdt
又假设杆的密度为
，比热为c，热传导系数为
k，试导出此时温度
u满足的方程。
解：
引坐标系：
以杆的对称轴为
x轴，此时杆为温度
u
u（x,t）。
记杆的截面面积
l2
为S。
t到t
t内流入截面坐标为
x到x
x一小段细杆的热量为
4
由假设，在任意时刻
dQ
u
stk
u
2u
sxt
k
x
stk
1
xx
x
x
x
2x
t到t
t在截面为
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻
x到x
x一小段中产生的热量为
4k1
dQ
2
k
1
uulxt
uusxt
1
l
1
又在时刻t到t
t在截面为x到x
x这一小段内由于温度变化所需的热量为
dQ
c
ux,t
t
ux,t
s
x
c
u
sx
t
由热量守恒原理得：
3
t
t
c
u
sxtk
2u
sxt
4k1uusxt
t
t
x2
x
l
1
消去s
xt，再令
x
0，
t
2u
0得精确的关系：
c
u
k
4k1
uu
t
x2
l
1
u
k
2u
4k
a2
2u
4k
或
t
c
x2
c
1uu1
x2
c
1uu1
l
l
其中
a2
k
c
2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：
在扩散介质中任取一闭曲面
s，其包围的区域
为
，则从时刻t1到t2流入此闭曲面的溶
质，由dM
D
udsdt，其中D为扩散系数，得
n
t2
Dudsdt
M
t1
s
n
t2
t2
Cudvdt
M1
Cux,y,z,t2
ux,y,z,t1
dxdydz
C
udtdv
t1
t
t1
t
两者应该相等，由奥、高公式得：
t2
u
u
u
t2
Cudvdt
M
D
D
D
dvdt
M1
t1
x
x
y
y
z
z
t1
t
其中C叫做孔积系数=孔隙体积。
一般情形
C1。
由于
t1,t2的任意性即得方程：
C
u
D
u
D
u
z
D
u
t
x
x
y
y
z
3.砼（混凝土）内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的
水化热成正比。
以
Qt
表示它在单位体积中所储的热量，
Q0为初始时刻所储的热量，则
dQ
Q，其中
为常数。
又假设砼的比热为
c，密度为
，热传导系数为k，求它在浇后温
dt
度u满足的方程。
解：
可将水化热视为一热源。
由
dQ
Q及Qt
0Q0得Qt
Q0et。
由假设，放
dt
热速度为
Q0
e
t
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书
71页，式得
u
a2
2u
2u
2u
Q0et
a2k
t
x2
y2
z2
c
c
4.
设一均匀的导线处在周围为常数温度
u0的介质中，试证:
在常电流作用下导线的温度满
足微分方程
u
k
2u
k1P
u0
0.24i2r
t
c
x
c
u
c
2
其中i及r分别表示导体的电流强度及电阻系数，
表示横截面的周长，
表示横截面面积，而k表
示导线对于介质的热交换系数。
解：
问题可视为有热源的杆的热传导问题。
因此由原
71页及式知方程取形式为
u
a2
2u
f
x,t
k
t
x2
其中a2
fx,t
Fx,t
/c
F
x,t
为单位体积单位时间所产生的热量。
c
由常电流i所产生的F1x,t为0.24i2r/
2。
因为单位长度的电阻为
r
，因此电流i作功为
i
2r
浓度由u变到u2所需之溶质为乘上功热当量得单位长度产生的热量为0.24i2r/其中为功热当量。
因此单位体积时间所产生的热量为
0.24i2r/
2
由常温度的热交换所产生的
（视为“被动”的热源
），从本节第一题看出为
4k1
u
u0
l
l2
其中l为细杆直径，故有
p
l/
4
，代入得
4
l
F2
x,t
k1p
u0
u
因热源可迭加，故有
F
x,t
F1
x,t
F2
u
2u
fx,t
即得所求：
x,t。
将所得代入
a2
t
x2
u
k
2u
kP
0.24i2r
x2
1
u
u0
2
t
c
c
c
5*.设物体表面的绝对温度为
u，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒
---
波耳兹曼
（Stefan-Boltzman）
定律正比于u4
，即
dQu4dsdt
今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数f（x,y,z,t）,问此时该物体热传§导问题的边界条件应如何叙述
解：
由假设，边界只有辐射的热量交换，
辐射出去的热量为dQ1
u4|sdsdt,辐射进来的
热量为
4
fsdsdt
dQ2
|
因此由热量的传导定律得边界条件为：
k
u
[u4|sf4|s]
|s
n
§2混合问题的分离变量法
1．用分离变量法求下列定解问题的解：
u
a2
2u
（t
0,0
x
）
t
x2
u（0,t）
u（
t）
0
（t
0）
u（x,0）
x
（0
x
）
f（x）
解：
设u
X（x）T（t）代入方程及边值得
X"
X
0X（0）
0
X（
）
0
T
a2T
0
求非零解X（x）得n
（2n
1）2
sin
2n
1
（n0,1,）
4
Xn（x）
2
x
a2（2n
1）2
对应Ｔ为
Tn（t）Cne
4
t
a2（2n
1）2
t
2n
1
因此得
u（x,t）
Cne
4
sin
x
n
0
2
由初始值得
f（x）
Cnsin2n
1x
n0
2
因此
Cn
2
f（x）sin2n1xdx
0
2
2
2n
1
a2（2n1）2
2n
1
故解为
u（x,t）
f（
）sin
de
t
2
4
sin
x
n0
0
2
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
u
2u
（t
0,0x
1）
t
x2
1
x
0
x
u（x,0）
2
1
1
x
x
1
2
u（0,t）
u（1,t）
（t
0）
0
解：
设u
X（x）T（t）代入方程及边值得
X"
X
0X（0）
X
（1）
0
T'
T0
求非零解X（x）得n
n2
2,Xn
sinn
xn=1,2,
对应Ｔ为
Tn
Cnen2
2t
故解为
u（x,t）
Cnen2
2tsinn
x
n1
由始值得
x
0
x
1
Cnsinn
x
2
1
n1
1
x
x
1
2
1
2
1
因此
Cn2[xsinnxdx
（1
x）sinn
xdx]
0
1
2
1xcosn
1
1
1（1
1
2[
x
sinn
x]02
2[
x）cosnx
sinnx]11
n
n2
2
n
n2
2
2
4
sinn
n2
2
2
所以
u（x,t）
4
2sin
n
e
n2
2t
sinn
x
n1n2
2
３．如果有一长度为
l的均匀的细棒，其周围以及两端
x
0,x
l处均匀等到为绝热，初
始温度分布为u（x,0）
f（x）,问以后时刻的温度分布如何且证明当
f（x）等于常数u0
时，恒有
u（x,t）u0。
解：
即解定解问题
u
2u
a2
x2
t
u|x0
u|xl
0
x
x
u|t0
f（x）
设uX（x）T（t）代入方程及边值得
X"X0X'（0）X'（l）0
T'a2T0
求非零解
X（x）：
（1）当
0时，通解为
X（x）
Ae
x
Be
x
X'（x）
A
e
x
B
e
x
由边值得
A
l
B
0
l
Ae
B
e
0
因
0故相当于
A
B
0
Ae
l
Be
l
0
视A,B为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要
X（x）非零，必需不同为零，即
此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有
1
1
0
e
l
e
l
但
1
1
e
l
e
l
0
e
l
e
l
因l0,
0,ex为单调增函数之故。
因此没有非零解X（x）。
（2）当0时，通解为
X（x）axb
X'（x）a
由边值得
X'（0）
X'（l）
a0
即b可任意，故
X（x）1为一非零解。
（3）当
0时，通解为
X（x）
Acos
x
Bsin
x
X'（x）
A
sin
x
B
cos
x
由边值得
X'（0）
B
0
X'（l）
A
sin
l
B
cos
l0
B0
因0,故相当于
Asinl0
要X（x）非零，必需A0,因此必需sinl0,即
ln（n整数）
n
（n整数）
l
这时对应
X
（）
cosn
x（
取
A
1）
x
l
因n取正整数与负整数对应
X（x）一样，故可取
n
（n
）2
n
1,2,
l
l
Xn（x）
cosn
xn
1,2,
0,X0（x）
l
1,解T得T0（t）
对应于
C0
对应于（
n
）
2
Xn
n
（an）2t
（x）
cos
x,解T得Tn（t）
Cne
l
l
l
由迭加性质，解为
（an
）2t
n
u（x,t）
C0
Cne
l
x
cos
l
n1
（an
）2t
n
Cne
l
cos
x
n
0
l
由始值得
f（x）
Cncosn
x
n0
l
因此
C0
1l
f（x）dx
Cn
2l
f（x）cosn
xdx
n
1,2,
l0
l
0
l
l
l
（
an
2
t
u（x,t）
1
f（x）dx
2
f（
）cosn
）
所以
de
l
cosnx
l
0
n1l0
l
l
当f（x）
u0
const时，
C0
1l
u0dx
u0,Cn
2l
u0
cosn
xdx
0
n
1,2,
l0
l
0
l
所以
u（u,t）
u0
4．在t
0,0
x
l区域中求解如下的定解问题
u
2
2u
（u
u0）
t
2x2
u（0,t）
u（l,t）
u0
u（x,0）
f（x）
其中
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