数学物理方程谷超豪版第二章课后答案doc.docx

1、数学物理方程谷超豪版第二章课后答案doc第二章 热传导方程 1 热传导方程及其定解问题的提1.一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ k1(u u1 )dsdt又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度uu( x,t) 。记杆的截面面积l 2为 S 。t 到 tt 内流入截面坐标为x 到 xx 一小段细杆的热量为4由假设，在任意时刻dQus t ku2us x tkxs t k1x xxxx2 xt 到 tt 在截面为杆表面和周围介质发生热交换，

2、可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻x 到 xx 一小段中产生的热量为4k1dQ2k1u u l x tu u s x t1l1又在时刻 t 到 tt 在截面为 x 到 xx 这一小段内由于温度变化所需的热量为dQcu x,ttu x,tsxcus xt由热量守恒原理得：3ttcus x t k2us x t4k1 u u s x tttx2xl1消去 sx t ，再令x0 ，t2 u0 得精确的关系：cuk4k1u utx 2l1uk2u4ka 22 u4k或tcx2c1 u u1x 2c1 u u1ll其中a 2kc2.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。解：在扩散介质中任取一闭曲面s

3、，其包围的区域为，则从时刻 t1 到 t 2 流入此闭曲面的溶质，由 dMDu dsdt ，其中 D 为扩散系数，得nt2D u dsdtMt1snt2t 2C u dvdtM 1C u x, y, z, t2u x, y, z, t1dxdydzCu dtdvt1tt 1t两者应该相等，由奥、高公式得：t2uuut2C u dvdtMDDDdvdtM 1t1xxyyzzt1t其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。一般情形C 1。由于, t1 , t2 的任意性即得方程：CuDuDuzDutxxyyz3.砼 ( 混凝土 ) 内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化

4、热成正比。以Q t表示它在单位体积中所储的热量，Q0 为初始时刻所储的热量，则dQQ ，其中为常数。又假设砼的比热为c ，密度为，热传导系数为 k ，求它在浇后温dt度 u 满足的方程。解： 可将水化热视为一热源。由dQQ 及 Q t0 Q0 得 Q tQ0e t 。由假设，放dt热速度为Q0et它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71 页，式得ua22u2u2uQ0 e ta2ktx2y2z2cc4.设一均匀的导线处在周围为常数温度u0 的介质中，试证 : 在常电流作用下导线的温度满足微分方程uk2uk1Pu00.24i 2 rtcxcuc2其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻

5、系数，表示横截面的周长，表示横截面面积， 而 k 表示导线对于介质的热交换系数。解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71 页及式知方程取形式为ua 22ufx,tktx2其中 a 2, f x, tF x, t/ c, Fx,t为单位体积单位时间所产生的热量。c由常电流 i 所产生的 F1 x, t 为 0.24i 2 r /2 。因为单位长度的电阻为r，因此电流 i 作功为i2 r浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为 乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i 2 r / 其中为功热当量。因此单位体积时间所产生的热量为0.24i 2r /2由常温度的热交换所产生的( 视为“被

6、动”的热源) ，从本节第一题看出为4k1uu0ll 2其中 l 为细杆直径，故有pl /4，代入得4lF2x,tk1 pu0u因热源可迭加，故有Fx,tF1x, tF2u2uf x, t即得所求：x,t 。将所得代入a2tx2uk2uk P0.24i 2 rx21uu02tccc5*. 设物体表面的绝对温度为u ，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒-波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于 u 4，即dQ u 4dsdt今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数 f (x, y, z, t) , 问此 时该物体热传导问题的边界条件应如何叙述解

7、：由假设， 边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为dQ1u 4 |s dsdt, 辐射进来的热量为4f s dsdtdQ2|, 因此由热量的传导定律得边界条件为：ku u 4 |s f 4 |s |sn 2 混合问题的分离变量法1 用分离变量法求下列定解问题的解：ua22u(t0,0x)tx 2u(0,t )u (,t)0(t0)u( x,0)x(0x)f ( x)解：设 uX ( x)T (t) 代入方程及边值得X X0 X(0)0X ()0Ta 2 T0求非零解 X ( x) 得 n( 2n1)2sin2n1(n 0, 1, )4, X n ( x)2xa 2 ( 2n1)2对应为Tn

8、(t ) C n e4ta2 (2n1)2t2n1因此得u( x, t )Cne4sinxn02由初始值得f (x)Cn sin 2n1 xn 02因此C n2f ( x) sin 2n 1 xdx0222n1a2 ( 2n 1)22n1故解为u( x,t )f () sind et24sinxn 002用分离变量法求解热传导方程的混合问题u2u(t0,0 x1)tx21x0xu( x,0)211xx12u(0,t)u(1,t )(t0)0解：设 uX ( x)T (t) 代入方程及边值得X X0 X(0)X (1)0T T 0求非零解 X ( x) 得 nn22 , X nsin nx n=

9、1,2,对应为TnCn e n 22t故解为u(x, t )Cn e n22 t sin nxn 1由始值得x0x1Cn sin nx21n 11xx12121因此C n 2 x sin n xdx(1x) sin nxdx0121 x cosn111 (112xsin nx 022x) cosn xsin n x11nn22nn2224sin nn 222所以u( x, t)42 sinnen22 tsin nxn 1 n 22如果有一长度为l 的均匀的细棒，其周围以及两端x0, xl 处均匀等到为绝热，初始温度分布为 u( x,0)f ( x), 问以后时刻的温度分布如何且证明当f (x)

10、 等于常数 u0时，恒有u( x, t) u0 。解：即解定解问题u2 ua2x 2tu |x 0u |x l0xxu |t 0f ( x)设 u X ( x)T (t) 代入方程及边值得X X 0 X (0) X (l ) 0T a 2 T 0求非零解X ( x) ：(1) 当0 时，通解为X (x)AexBexX ( x)AexBex由边值得AlB0lAeBe0因0 故相当于AB0AelBel0视 A, B 为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要X ( x) 非零，必需不同为零，即此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有110elel但11elel0elel因 l 0,0, ex 为

11、单调增函数之故。因此没有非零解X ( x) 。(2) 当 0 时，通解为X ( x) ax bX ( x) a由边值得X(0)X (l )a 0即 b 可任意，故X ( x) 1为一非零解。(3) 当0 时，通解为X (x)AcosxB sinxX (x)AsinxBcosx由边值得X (0)B0X (l )AsinlBcosl 0B 0因0, 故相当于Asin l 0要 X ( x) 非零，必需 A 0, 因此必需 sin l 0, 即l n (n整数 )n(n整数 )l这时对应X( )cos nx(取A1)xl因 n 取正整数与负整数对应X (x) 一样，故可取n( n) 2n1,2,ll

12、X n (x)cosnx n1,2,0, X 0 (x)l1, 解 T 得 T0 (t )对应于C 0对应于(n)2, X nn( an ) 2 t(x)cosx, 解 T 得 Tn (t )C n elll由迭加性质，解为( an) 2 tnu( x,t )C0Cnelxcosln 1( an) 2 tnCn elcosxn0l由始值得f ( x)C n cos nxn 0l因此C01 lf ( x) dxC n2 lf ( x) cos nxdxn1,2,l 0l0lll(an2tu( x, t)1f (x)dx2f () cos n)所以d elcos n xl0n 1 l 0ll当 f (x)u0const 时，C 01 lu0 dxu0 , C n2 lu0cos nxdx0n1,2,l 0l0l所以u(u,t )u04在 t0, 0xl 区域中求解如下的定解问题u22u(uu0 )t2 x2u(0, t)u(l ,t)u0u( x,0)f ( x)其中