《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案.docx
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《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案
第五章方差分析
课后习题参考答案
5.1下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：
菌型
存活日数
A1
2
4
3
2
4
7
7
2
5
4
A2
5
6
8
5
10
7
12
6
6
A3
7
11
6
6
7
9
5
10
6
3
10
设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？
（
）
解：
（1）手工计算解答过程
提出原假设：
记
当
成立时，
本题中r=3
经过计算，得方差分析表如下：
方差来源
平方和
自由度
均方
F值
菌型A
70.467
2
35.2335
6.909
误差
137.7
27
5.1
.
总和
208.167
29
查表得
且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。
（2）软件计算解答过程
从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F的观测值为6.903，对应的检验概率p值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。
5.2现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：
工厂
寿命（小时）
甲
40
48
38
42
45
乙
26
34
30
28
32
丙
39
40
43
50
50
试在显著水平
下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？
并求
的95%置信区间。
这里假定第i种电池的寿命
。
解：
手工计算过程：
1.计算平方和
其检验假设为：
H0：
，H1：
。
2.假设检验：
所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
3.对于各组之间的均值进行检验。
对于各组之间的均值进行检验有LSD-t检验和q检验。
SPSS选取LSD检验（最小显著差t检验），原理如下：
其检验假设为：
H0：
，H1：
。
方法为：
首先计算拒绝H0，接受H1所需样本均数差值的最小值
，即LSD（theleastsignificantdifference，LSD）。
然后各对比组的
与相应的LSD比较，只要对比组的
大于或等于LSD，即拒绝H0，接受H1；否则，得到相反的推断结论。
LSD-t检验通过计算各对比组的
与其标准误之比值是否达到t检验的界值
由此推算出最小显著差LSD，而不必计算每一对比组的t值
如果两对比组的样本含量相同，即
时，则
则本题中
所以
为：
（12.6-5.852,12.6+5.852）,即：
（6.748，18.452）
同理可得
（-20.252，-8.548），（-7.652，4.052）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（1.8<5.852）。
而甲和乙之间（12.6>5.852），乙和丙之间（14.4>5.852）有显著差异（显著水平为0.05）。
SPSS软件计算结果：
1.方差齐性检验
方差齐性检验结果
Levene
统计量
df1
df2
Sig.
1.735
2
12
.218
从表中可以看出，Levene统计量为1.735,P值为0.218>0.05,说明各水平之间的方差齐。
即方差相等的假设成立。
2.计算样本均值和样本方差。
（可用计算器计算）
描述性统计量
N
均值
标准化方差
标准差
均值的95%置信区间
最小值
最大值
下限
上限
1
5
42.60
3.975
1.778
37.66
47.54
38
48
2
5
30.00
3.162
1.414
26.07
33.93
26
34
3
5
44.40
5.320
2.379
37.79
51.01
39
50
Total
15
39.00
7.709
1.990
34.73
43.27
26
50
3.
从表中可以看出，F值为17.068,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
4.方差分析表
单因素方差分析表
总平方和
平方和/自由度
F
Sig.
BetweenGroups
615.600
2
307.800
17.068
.000
WithinGroups
216.400
12
18.033
Total
832.000
14
从表中可以看出，F值为17.068,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
5.最小显著性差异法（LSD）结果
多重均值比较（MultipleComparisons）
（I）工厂
（J）工厂
MeanDifference（I-J）
标准差
Sig.
95%置信区间
下限
上限
1
2
12.600（*）
2.686
.001
6.75
18.45
3
-1.800
2.686
.515
-7.65
4.05
2
1
-12.600（*）
2.686
.001
-18.45
-6.75
3
-14.400（*）
2.686
.000
-20.25
-8.55
3
1
1.800
2.686
.515
-4.05
7.65
2
14.400（*）
2.686
.000
8.55
20.25
*Themeandifferenceissignificantatthe.05level.
从表中可以看出
为：
（12.6-5.852,12.6+5.852）,即：
（6.748，18.452）
同理可得
（-7.652，4.052），（-20.252，-8.548）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（sig=0.515）。
而甲和乙之间（sig=0.001），乙和丙之间（sig=0.000）有显著差异（显著水平为0.05）。
5.3对用5种不同操作方法生产某种产品作节约原料试验，在其它条件尽可能相同的情况下，各就四批试样测得原料节约额数据如下表：
操作法
A1
A2
A3
A4
A5
节约额
4.3
6.1
6.5
9.3
9.5
7.8
7.3
8.3
8.7
8.8
3.2
4.2
8.6
7.2
11.4
6.5
4.1
8.2
10.1
7.8
假定原料节约额服从方差相等的正态分布，试问：
操作法对原料节约额的影响差异是否显著？
哪些水平间的差异是显的？
（
）
解：
（1）手工计算解答过程
提出原假设：
记
当
成立时，
本题中r=5，经过计算，得方差分析表如下：
方差来源
平方和
自由度
均方
F值
菌型A
55.537
4
13.884
6.058
误差
34.373
15
2.292
.
总和
89.910
19
查表得
且F=6.058>3.06，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。
（2）软件计算解答过程
从上表可以看出，工厂使用的操作法这个因素的检验统计量F的观测值为6.059，对应的检验概率p值为0.004，小于0.01，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。
（3）判断各种操作方法之间的差异的显著，使用SPSS软件中最小显著性差异法（LSD）计算。
以看出，在给定的置信水平
时，操作法A1和A4，A1和A5，A2和A4，A2和A5的P值都小于0.01，因此可以认为他们之间的差异显著。
5.5在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度，四种不同温度情况做实验。
为了考虑浓度与温度的交互作用，在浓度与温度的每一种水平组合下做两次实验，其得率数据如下面的表所示（数据均以减去75）：
温度
浓度
B1
B2
B3
B4
A1
14，10
11，11
13，9
10，12
A2
9，7
10，8
7，11
6,,10
A3
5，11
13，14
12，13
14，10
假定数据来自方差相等的正态分布，试在
的显著水平下检验不同浓度、不同温度以及他们之间的交互作用对得率有无显著影响。
解：
（1）手工计算解答过程
提出原假设：
为了便于计算，记
则有：
当
成立时，
当
成立时，
当
成立时，
本题中r=3,s=4,t=2，经过计算，得方差分析表如下：
方差来源
平方和
自由度
均方
F值
浓度A
44.333
2
22.167
4.092
温度B
11.500
3
3.833
0.708
交互作用
27.000
6
4.500
0.831
误差
65.000
12
5.417
.
总和
147.833
23
查表得
且
=4.092>3.06，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为浓度的差异对化工得率有显著影响。
且
=0.708<3.49在95%的置信度下，接受原假设，认为温度的差异对化工得率无显著影响。
且
=0.831<3.00在95%的置信度下，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。
（2）软件计算解答过程
从上表可以看出，因素A浓度的检验统计量F的观测值为4.092，对应的检验概率p值为0.044，小于0.05，拒绝原假设，认为浓度之间的差异对化工得率有显著影响。
因素B温度的检验统计量F的观测值为0.708，对应的检验概率p值为0.566，大于0.05，接受原假设，认为温度之间的差异对化工得率无显著影响。
交互作用的检验统计量F的观测值为0.831，对应的检验概率p值为0.568，大于0.05，接受原假设，认为温度和浓度的交互作用之间的差异对化工得率无显著影响。
5.6下表记录三位工人分别在四台不同机器上三天的日产量。
工人
B1
B2
B3
机器
A1
15,15,17
19,19,16
16,18,21
A2
17,17,17
15,15,15
19,22,22
A3
15,17,16
18,17,16
18,18,18
A4
18,20,22
15,16,17
17,17,17
假定数据来自方差相等的正态分布，问
（1）工人之间的差异是否显著
（2）机器之间的差异是否显著
（3）交互作用是不是显著（
）
解：
（1）手工计算解答过程
提出原假设：
为了便于计算，记
则有：
当
成立时，
当
成立时，
当
成立时，
本题中r=4,s=3,t=3
经过计算，得方差分析表如下：
方差来源
平方和
自由度
均方
F值
机器A
2.750
3
0.917
0.532
工人B
27.167
2
13.583
7.887
交互作用
73.500
6
12.250
7.113
误差
41.333
24
1.722
.
总和
144.750
35
查表得
且
=0.532<3.01，在95%的置信度下，接受原假设，认为机器的差异对日产量无显著影响。
且
=7.887>3.40在95%的置信度下，拒绝原假设，认为工人的差异对日产量有显著影响。
且
=7.113>2.51，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为机器和工人的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。
（2）软件计算解答过程
从上表可以看出，因素A机器的检验统计量F的观测值为0.532，对应的检验概率p值为0.665，大于0.05，接受原假设，认为机器之间的差异对日产量无显著影响。
因素B温度的检验统计量F的观测值为7.887，对应的检验概率p值为0.002，小于0.05，拒绝原假设，认为工人之间的差异对日产量有显著影响。
交互作用的检验统计量F的观测值为7.113，对应的检验概率p值为0.000，小于0.05，拒绝原假设，认为工人和机器的交互作用之间的差异对日产量有显著影响。
5.4一位老师想要检查三种不同的教学方法的效果，为此随机地选取了水平相当的15位学生，把他们分成三组，每组五人，每一组用一种教学方法。
过一段时间后，这位教师给这15位同学进行统考，成绩如下：
方法
成绩
甲
75
62
71
58
73
乙
81
85
68
92
90
丙
73
79
60
75
81
试问，在显著性水平
下，这三种教学方法的效果有显著差异？
这里假定学生成绩服从方差相等的正态分布。
解：
一、手工计算结果
1.计算平方和
其检验原假设为：
H0：
2.假设检验：
所以拒绝原假设，即认为学生成绩和教学方法显著相关。
二、软件结果
1.首先检验方差是否齐，如下表：
LeveneStatistic
df1
df2
Sig.
.097
2
12
.908
从上表可以看出，P值为0.908>0.05,说明三个样本方差齐。
2.进行方差分析如下表：
方差分析表
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
BetweenGroups
604.933
2
302.467
4.256
.040
WithinGroups
852.800
12
71.067
Total
1457.733
14
P值为0.04>0.1,F0.9.（2,12）=2.81<4.256,拒绝原假设，说明三种教学方法有显著差异。
3.进一步分析有下表，
多重比较
（I）方法
（J）方法
MeanDifference（I-J）
Std.Error
Sig.
95%ConfidenceInterval
UpperBound
LowerBound
TukeyHSD
1
2
-15.400（*）
5.332
.034
-29.62
-1.18
3
-5.800
5.332
.539
-20.02
8.42
2
1
15.400（*）
5.332
.034
1.18
29.62
3
9.600
5.332
.211
-4.62
23.82
3
1
5.800
5.332
.539
-8.42
20.02
2
-9.600
5.332
.211
-23.82
4.62
Scheffe
1
2
-15.400（*）
5.332
.042
-30.26
-.54
3
-5.800
5.332
.569
-20.66
9.06
2
1
15.400（*）
5.332
.042
.54
30.26
3
9.600
5.332
.238
-5.26
24.46
3
1
5.800
5.332
.569
-9.06
20.66
2
-9.600
5.332
.238
-24.46
5.26
LSD
1
2
-15.400（*）
5.332
.014
-27.02
-3.78
3
-5.800
5.332
.298
-17.42
5.82
2
1
15.400（*）
5.332
.014
3.78
27.02
3
9.600
5.332
.097
-2.02
21.22
3
1
5.800
5.332
.298
-5.82
17.42
2
-9.600
5.332
.097
-21.22
2.02
从上表可以看出，甲方法和乙方法在显著水平0.05下有显著差异（P值＝0.034<0.05）,而甲方法和丙方法，乙方法和丙方法之间没有显著差异
5.7一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。
每种燃料与每种推进器的组合作一次试验（假定不存在交互作用），得火箭射程如下表（单位：
海里）
推进器
燃料
B1
B2
B3
A1
58.2
56.2
65.3
A2
49.1
54.1
51.6
A3
60.1
70.9
39.2
A4
75.8
58.2
48.7
假定数据来自方差相等的正态分布，问燃料之间、推进器之间有无显著差异（
）.
解：
（1）手工计算解答过程
提出原假设：
为了便于计算，记
则有：
，
当
成立时，
当
成立时，
本题中r=4,s=3，经过计算，得方差分析表如下：
方差来源
平方和
自由度
均方
F值
燃料A
157.590
3
52.530
0.739
推进器B
223.847
2
111.923
0.449
误差
731.980
6
121.997
.
总和
1113.417
11
查表得
且
=0.739<4.76，在95%的置信度下，接受原假设，认为燃料的差异对射程无显著影响。
且
=0.449<5.14，在95%的置信度下，接受原假设，认为推进器的差异对射程无显著影响。
（2）软件计算解答过程
从上表可以看出，因素A燃料的检验统计量F的观测值为0.431，对应的检验概率p值为0.739，大于0.05，接受原假设，认为燃料之间的差异对射程无显著影响。
因素B推进器的检验统计量F的观测值为0.917，对应的检验概率p值为0.449，大于0.05，接受原假设，认为推进器之间的差异对射程无显著影响。
5.8为了考察蒸馏水的PH值与硫酸铜溶液的浓度（单位：
%）对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，作了12次不同的试验，得试验结果（白蛋白与球蛋白之比）如下
浓度
PH值
0.04
0.08
0.10
5.40
3.5
2.3
2.0
5.60
2.6
2.0
1.9
5.70
2.0
1.5
1.2
5.80
1.4
0.8
0.3
试问，在显著性水平1%下，PH值与浓度分别对白蛋白与球蛋白之比有无显著影响？
这里假定数据来自方差相等的正态总体。
（假定不存在相互作用）
解：
手工计算结果：
为了方便和提高计算精度，记
经过计算，得方差分析表如下：
方差来源
平方和
自由度
均方
F值
酸度
5.289
3
1.763
41.
浓度
2.222
2
1.111
25.84
误差
.258
6
.043
.
总和
7.769
11
查表，得F0.99（3,6）=9.78,F0.99（2,6）=10.9
F（酸度）＝41＞9.78,F（含量）＝25.84＞10.9,所以拒绝原假设。
此结果说明在显著水平1％下，ph值和浓度对蛋白比有显著影响
二、SPSS输出结果
组间效应检验
DependentVariable:
白蛋白和球蛋白之比
Source
TypeIIISumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
CorrectedModel
7.511（a）
5
1.502
34.889
.000
Intercept
38.521
1
38.521
894.677
.000
PH值
5.289
3
1.763
40.948
.000
浓度
2.222
2
1.111
25.800
.001
Error
.258
6
.043
Total
46.290
12
CorrectedTotal
7.769
11
aRSquared=.967（AdjustedRSquared=.939）
从表中可以看出，因素PH值的检验统计量F的观测值为40.948，检验的概率p值为0.000，小于0.01，拒绝零假设，可以认为PH值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。
因素浓度值的检验统计量F的观测值为25.800，检验的概率p值为0.001，小于0.01，拒绝零假设，可以认为浓度值之间差异显著，对白蛋白和球蛋白之比影响不全相等。
（注：
可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!
）
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