概率论与数理统计理工类第四版第三章多维随机变量及其分布习题答案.docx

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概率论与数理统计理工类第四版第三章多维随机变量及其分布习题答案

第一章多维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

设（X打的分布律対

1^6191/18

1'3M19

求口-

解答=

由分布律性质工A-L可知

I6+1/9^1"lfi+1/3+"+1/9-1,解得£戸込

I习題2（丄）

2.ig{X,F）的分布ill數为Fa.J'）,试用尺工门表示:

尸治Gf£仇Fg匸}-尺机t）-尺“疋）,

习題2

（2）I

2.®（尤n的分布函勒为川斗理），试用/-uj）表示:

（2）p;o

尸出町yg冇j=鬥+卫』）三尸（+00'0）・

习題24）］

2■设gy）的分布働対珂扎小试用表示;

（3）門疋>0,y<^i*

尸尸<郴=F（+

P{max|A；n^0|-P{Y,少•个夭于J'O}

=pgo}+W20}-P{X20.y纫

4435

7777

习題5丨

（Kn只取下列数值中的值:

且相应釈率依次为扌，，缶存请列出（x,r）的畴分布表，并写出关于啲边缘分布・

解答^

（I）因为所给的一组槪率实数显然均大于驭且有1+1+补+刍=1,故所给的一组实数必

631212

是某二维随机变蚩（x,r）的麻合概率分布.因（*D只取上述四组可能值，故事件：

-I,r^Ob

{X-0,r-1H|x=2・n{*■2.y-1},

均为不可能事件，其概率必为®.因而得到下表！

01/3

（2）F{f・0}«P{X=-i,Y0}+P{X-o,y=o}+P{%・2,r-0}nI57

=0h—+—=—,

61212

同祥可求得

PW>

I3j

关于的y边缘分布见下表^

01/3

7121/121/3

设随机向量（A；K）服从二维正态分布M（）・（h101101（））,其低率密度为

八"2«0n

求PIX^Y].

解答=丨

由于尸氐WY]4P{x>r}=h且由正态分布图形的对称性，知

円XSn=P{x>r\,

故P{*SY}=；.

习題7

设®机变*（&D的概率密度为

7（6-Jf-卩），0<1<2,2

I0.Mt

则⑴确罡常数灯

（2）求P{Xvl』v3”（3）求PXvlS};（4）求P{X+y<4}・

解答；1

如s所示

（I）由「J：

/（x,y）心a”.I>确定常数人-

JJ^Z:

（6-X-yydydx=Hj6-Ixydx=8A=I,

⑵P{X

⑶P{X<\.5}=£rfx£i（6-j-y）

（4）P{无4人42J施广i（6_x-y）妇扌.

［习題8」

已知财口y的联合密度为

C、'w.OSMl.O幻Gf{x.V）=<

■K0,氏它

试求：

（I）常数

（2）尢和y的联合分布跚凡2）.

解答=1

⑴由于TH：

/（x,y）dxdy=41xytfxdy=~，e=4.

⑵当XM0或y50时,显然Fgy）=0J

当x21,y2l日寸，显然F（x,>■）=H

设OSMI、0^>

E（x,y}=PJ*/{u,v}duJ\=4（严也卜也=巧》^;

设05xl；有

F{x,y}=P[X

最后，设xA（bOMpSl,有

F（jr,v）=P[X

函数F（儿y）在平面各区域的表达式

0,x<0i^<0

F,0<.v->l

F（"）=巧人0

r，x>i,OSySI

习題9

设二维随机变量伉,D的柢率密度为

£[4・8只丨-X）.0

心”0,ft它

解答:

人仗）■匚/Z）创

f4剛1-x）a几

0,其它

2.4（l-F）（I-x）,OSxSl~10,其它

♦

_们4・8叩-x）dx,O£yWI

0,H•它

_2.4r（2-y）,OSvSl

0,其它•

习a丄0I

设ee在邮刼"所ffl戒的区域仃里服从1祠分布J求联台廿布啻虜和边缘分布密度.

E域G的面积月三J：

b-论==,由题设知（Xn的联合分布密度为

/gm二

6,0盂』MhrWyW.Y

①11它”

从而

八h.v）fA=叮:

创=（心rbs哲I,

&0：

—护h0W岸兰1

.心卞）=J3

（）,JI它

同样的/"）=「：

rg处=或：

必=6由-.V），u^v<1^即

#f小刃-1

■'■10,Rl■

条件分布与随机变量的独立性

二维随机变量（尤n的分布律为

7/157.30

7/301/15

（1）y的边缘分布律J

（2）求Pr=o|x=ohPw=iro}；

⑶判定兀与y是否独立？

解答：

⑴由（XJ）的分布律知by只取0及1两个值・

P{y=0}=P{x=0j=0}+Pb=l,j=0；=«j^+寺=0.7,

j-（jJO15

（2）P{y=Qx=0}=P{x"0」"0}=?

*P{x=0}3

⑶已知P{20,尸=由⑴知Ptv=0i=0.7,樂以可得

尸仪=0}-0.7.

因^鬥20,尸0}*{.20}•氏2（1},所以*与y不独i・

将某一医药公司9月份和8份的膏莖素针剂的订货里分别记为X与y.据以往积累的资科知X和y的联合分布律为

0.06

0.05

0.01

0.07

0,05

0.01

0,05

0.10

0.05

0.02

0.01

0,01

0,03

0.05

005

0.01

0-03

（1）求边缘分布律；

（2）求X月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.

（I）边缘分布律丄

"71

5152535455

0J80.150350.120.20*

对应丸的值，将每行的祗率相加b可得円/"・}•

对应y的值（最上边的一行b将S列的柢率相加可得p{y可：

•

52535455

~~6^2~0^~0.13•

⑵当y-51B寸'X的条件分布律为

鬥Ei,備宵严=粽，"5WK55.列表如口

5152535455

P{X-^r-5H

6/287285285'285/28

习题31

已乳（Xn的分布律如下表所示

1/4

1/8

1/3

1/6

1/8

y-^-1^

LrL•

（1）uy=i的条件下，戈的条件分布律,

（2）在X«2的条件下，y的条件分布律.

f解答=1

由麻合分布律得关于X.y的两个边缘分布律为

故⑴在y-1条件下，尢的条件分布律为

_012

3/118/110

⑵在X=2的条件下.y的条件分布律为

4/703/7

由尢与y相互独立知

PiX=x,.r=j；j=P{X=xJP{y=yJ,/=l,2,3.4,7=1,2.3,从丽（A；y）的K合祗率分布为

-1/2

•2

1/8

1/16

-1

1/12

1/24

1/48

1/2

1/12

P{X+y=\}=P{X«・P{X«O,y=l}

=—+—=

164K12

P{X+y*0}=I-P{X+F二0}

=】-P{X二-by=i}-p4x==-二

1I3

1264

解答：

（I）由题设易知

fkI

人（-4—，

IaM尼

又y卜相互独立，故A■与》的联合槪率密度为

Ltk找它

⑵因2有实根｝-:

判另弑A=-4A^'-4ys（）!

-｛用2鬥,

I+y-yr

舌则图所示得到:

、」■

尸加有实根｝=P｛X->Y｝=H“儿，曲T町V讪」

/「rr'

%工=l-；."dr-rH

=1一莎J壮一丘『厂必

■■

=]—血他⑴―山⑹，

又tl>（IJ-0.MI.3I小（冊三2^于杲巾（I）-伽（0）-03413』所以尸旧有实根！

=1—血冲（I）—职仙]-2.51贰0加13=（1」4工=

clx-

二维随机变量函数的分布

（i）z=r+y酚布律为

•20

A1/10151/2110no

-2

1/21/51/101/101/10

（3）Z二*"的分布律

-2

J/2

1/51'53/1015110

（4）Z.max1Xri的分布律

习那]

设二维隨机向S（x,y）眼从矩形区,或d“

（2）iosm2・0<八H的均匀分布，且■,fo.xsy“3*s2y

[\.X>y求0与A的联合概率分布.

U=1；v=）

J,x>2r

解答：

依题（U耳的概率分布为

P{CZ=O,V^Q}^P{X^KX

咖:

扑w，

p{（7=o,Ij=P{XM}；x>2r}M（b

p{c/=i,r=o}=p{x>y,x<2y}=p

=例：

5心，

p{u-1,r-1}

=1-p{r=o,r=o|-P|c/=o,r=i}-p{u=i,r=o}=iz2,

沫

1/4

I习題4I

设（x,r）的联合分布密度为

IE—e"2n

求2的分布密度.

解答：

依翹意，由

当xO时，FXz）=P（0）=Oj

当沦0时，

F^z）.P{X'+r'^z^）-JJ/{x.yydxdy

・«・

1■p・

5=-j；x^曲

»[g,dp■1-e•

故2的分布函数为

FQ・

0,2<0

2的分布密度为

ze\2>0

L0,2<0

颇机变量（X"师率密度为

・a+v）

A”,x>0.y>0

r（x丿”\2

I0,煤它

（I）冋;V和y是否相互独立？

（2）求7«+y的概率密度•

解答=1

■-e

设随机变S*y相互独i,若刘艮从（0,I）上那咖布，｝服从参数I的指数分布，求随机变量z=x+y的率密度.

解答=I

⑴由J工J{x,y}dxdy=1,确定常数b.

J；厶J；仏'ePy-W-e*）

同理

0.VMO

01lt

0,M<0

（1-C于

丁〒OS“vl・

习題B

设系统丄是由两个相互独立的子系统丄和E职串联方式联接而成，人和丄，的寿命分另I伪A与b其概奉密度分另怙

0.v<（）

苴中,』>{），“〉（b回，试束系?

盍丄的寿命Z的柢率密度.

，隹（h・）i

（K.Y<0

解答：

设Z-inin{y,V\则

F（d=FM>二}-你miti{*=}

=l-r|niiii（-\；}-r{X^2.}SJ}

=1-IIP""川1—珥^二}|

=}-[}-F,[=]][}=

由于

*z>0

认z

fI-r巴z>0尺㈡*

I0,Z

Rr）=*

1—严+吒£>0

0,z<（l

从而

3>（）

习题9

设随机变童疋湘互独立』且服从.同一分布』试证明；

P{（t*口»

ff答：

设血i^F}二乙则

尸旧wruMfJ；F）"}=£//>）=◎（&）』

/7二尸尸{minfA；打"}—1—鬥min|兀冷“}-l-nX>zr>r^-I-F{#dz}P{FHz}二丨TFfvr门

代入得

/^{u

打""耐

证毕.

复习总结与总习题解答

习題1丨

在一箱子中装有12只开关，其中2只罡次品，在其中取两次，毎次任取一只，考虑两种试殓;

0■若第二次取Hi的是lE品1,若箔一次取出的是次跖砂别就（I），

（2）两种谢兄，写出/和>的联合分布律•

（I）放回抽样八2）不放回披样•我们走义随机变量X.y如下:

Y=<

-0若第一次取出的是止品

""：

1■芳®—次取卅的走次品'

解答：

（I）有放回抽样,（X,n分布律如下：

p.v=o,r=o,=^=g,P{x=.,x=o,=^=l

25/36

5/36

1/36

（2）不放回抽祥，（尤n的分布律如下：

P{X=（）.y=（）}=竺11=竺，P{x=o,y=i}=史11=凹

12x116612x1166

P{灼，—“^二黑砒"—2二=£

12x1166I2xII66

4566

1066

10/66

1/66

（习82

假设随机变量y服从聲数为1的指数分布，随机变量

母屮仟仏3

求（兀冷的联合分布率与边缘分布率.

解答：

]

劭y服从劳数为啲指数分布，血=『电"|,所以有11,若1

=I}=P|y>I}=J*%^dy=c',

f{y,=0}=l-e

P{X=I}=P{y>2}=J；l'dy=e2,

P{Xj=O}=1-e2,

=l）=P{y>2）=eS

rjA^,=l,Yj=O（=f{X,=l}-r{X,=UXj=l}=e'-eP{X,=O,A；=O}=P{r^t!

*',

p{/=o,&=H=Ptv,=o}-PM>o,y=o}=（）,故e，Ay联合分布率与边壕分布率如下表所示:

P{W}

1-e'

l-e'

€-

e■

p{&胡

1-e-

e•

在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香嵐今从袋中随机抽出4只，以乂记橘子数，y记苹果数，求gn的联合分布•

解答=I

X可取值为0,1,23y可取值0,1,2,则

Ptv=o,r=o3=p{0（=o,P{Y=o,y=i}=c：

c；c"c；=2/7o,門X=o,y=2}=C；GC：

/C：

=3/7O,=1,r=GJ=CjC^Cj/C'；=3/70,

P{X=I,Y=\}=C；C；G/G=I8/70,P{%=I,r=2}=C；C；C；/C=9/70,

P{X=2,r=<）}=qc^c5/C；=9/7O,P{X=2,r=|>=c^cjc；/q=18/70,門X=2,r=2}=C；C；C；/C；=3/7（bP{X=3,r=（）!

=C；C；rl/C；=3/7O,

P{X=3,r=l5=C；CX7C'；=2/7O,P|Y=3,X=21=PJ0}=O,

所以，（X,合芬布如下：

迖

2/70

3/70

18/70

9/70

18/70

3/70

2/70

习題4]

设斑机变量兀与y相互独立，下勵tt了二维随机变量（x,n的联合分布律及关于尢与y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值《入表中的空a处：

儿

（）

1/8

（）

“6

（）

解答=]

由题设X与y相互独立》即有

"厂几几0-1.2;R1,2,3），

又由独立性，有

故化笃

从而円产5・方-§，又由几产几P"即

从而P产才类似的育

I13

卩严亍如蔦'卩2蔦将上述数值填入衰中有

迖

儿儿儿

“・

（1/24）1/8⑴12）

（1/4）

1'8<3/8）（1/4）

（3/4）

1-6（1/2）（1®

k—k

冥

1—*

t—*a

（一=呼

（2）（xns鎗當墨mWJ

sq・n屮T严F0）5Fo）.

（2）因窗賞J:

2X0-r叭工

◎脏一八2yI-讥弋Ao畀-f（xq）hpcsh一・yH—二h-、4j显X22、—-^ycoBq》f（x・sh2x»一•y"—二4P亠尢》2・y»—二h5二2j

显一人xa2;>0尹F（x・0»^x»-・T—二*史XH厂

◎肛XW2;WO尹

/%r・y）hpkh一・nH—二+2xh2・phI二+p亠XH厂yHO〉+2xh2skhw

应彳，£.

由分布律的性质可知I九=丨，故

习題9I

设H随机变量（尤naw率密度函数为

Ct?

0,儿它

⑴确定常数门

（2）求X"的边缘概率密度函数J

（3）羽联合分伟国数尸（X』）；

（4）求P{ysx}；

（5）求条件槪率密度函数

（6）求P{X<2\Y<\}•

I解答=1

⑴由匚工/（X,y]（ix（iy^1求常数f-i：

0.xSO

20・hx>O

/Q）■匸/（xj）必=

J「2eW血y>0

0,«它

严y>0

10,ySO

（3）fJ〉■rr/（“•v}dvdu

<■«!

.rX

JJ：

2°叫'dvdu.x>0,r>0

0,氏它

J（1-宀）（iy）・x>0,y>0

"I0.其它•

（4）門卩£卫=厂叫2€%7/1=j^2e-'（I-e"）必=\

（5）当八0时，

，2r—♦<-

二/（"）二

x>0J2e,x>0

0.x

（6）P{X<2|r

F（2,1）（\-e-

■:

=1—e?

—e

J：

eM设随机变置以槪率I取值为（b而y是任意的随机变量，iiP加与丫相互独立.

解答=I

因为必的分布函数为

0,%r

F（x）=<.7

〔1,畑側

设y的分布因数为几0）,（x,n的分布国数为Fgy）,则兰工"时，对任意厂有

F{x,y}=P{X（y

=F{0C（F）}=F{0}=O

=F3F3

当20时，对任意F，有

川儿卩）-PiX

-勺刘-/>{〉<，}=FQ）

=F/MO）.

依罡义,由Fgy）=F#r）厲仞知,北与V独立.

设连续型随机变S（x,y）的两个弁S尢和*相互独立，且服从同一分布，试证P{X

解答：

因为A；y独立，所咲/（X」）=//x）/）0）.

P伫r：

=『心刃艸=口/的/QMS

•cSyjrSr

■{二［/0龙8^0皿皿・「：

［/\0）尸0）］妙

=J/^XvWv）=—L：

=-.

J"22

注：

也可以利用对称性来证，因为X」独立同分布，所以有P\X

而p{xsrj\P{X2Y}=\,故

F{/Vsr}-I/I2.

设二维随机变量（A；D的联合分布律为

“2X、a1/9c?

"9A13

若久与y相互独立,求参数a,人C的值•

解答：

］

关于*的边缘分布为

a+-A+-C—

993

关于y的边缘分布为

4fl+c+•b+•99

由于X与y独立，则有几2=P、Pa得（.

/>=b4-/）+

V9八由P\2訴P"得

由式①得"二彳，代入式②得"右，由分布律的性质,

rt+/>4c+—+--1—

993

代入"IVg?

得心•

易验证，所求绒也C的值，对任倉的j和/坷荐足

甘化XPj.

因此,所求依处的值为

"丄，』，c=l

1896

设（工K）的联合密度I邂故为

P，『打匕用

f（x,y）=

0,K它

⑴求北与^的边缘概率密度；

（2）求条件概率密度，并问龙与y是否独立？

⑴当*<-/?

或^>/?

时，f/x）=J^/（x,y）

当一RStWRE寸,

AW叮并』如爲几4=务戸•于是

'乍■尺"

/Q）=1宛斤

V0,兀它

由于X和y具有对称性，同法可得y的边缘#［率密度为

/爲光厂,*曲

0,其它

⑵/>0卜）=少亠，注意到在y处X

・/心）

值，敌在此范團内，有

值位于IMWJr'-}2这个范围内,/'（儿y）才有非零

JlR1

/灿）=-7—=/.2'

即件1R率密JS为

—r===,1x|mJP■“/WMy）=2j用-尸

0,它

同法可得X=X时y的条件祗率密度为

f«2{疋-£.

（）,It它由于条fMR率密度与边編R率密度不相等，所以尢与y不独立.

霞一

5HH-

心鼻働奮

吐長orn+y叭Z）MOJ

肛0览八一孚-

Es«pbv+yn一—=

n（ndoe+r*r;令

«z{2lz）l5（2lzr+（hl-）2J吐ZW2鼻』=/'（XG）4zva・nfuYfyxan一•3

2（21^13（21*亠（：

二「

NAO

z22

搭ash一2IP

匚P

一从0人2・

设H随机娈量（XX）的概率密度为

/g）=

2g52.q2（）j>0

0,其它

求随机变Sx-乂+2y的分布佛.

按定义/7Z）=P{x千即

当ZM0时，F/Z）=JJf{x,y}dx

J（*2*"X*2>SJ

当-aO时，F/Z）=JJ/（斗划厶亦I叫幼J*2yS：

=£e'（I-e"9iZv=[（e“-e•）

=[-e"

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