人教版七年级数学下《垂线》拔高练习.docx

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人教版七年级数学下《垂线》拔高练习

《垂线》拔高练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，因为直线AB⊥l于点B，BC⊥l于点B，所以直线AB和BC重合，则其中蕴含的数学原理是（　　）

A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B．垂线段最短

C．过一点只能作一条垂线

D．两点确定一条直线

2．（5分）已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（　　）

A．延长线段AB、CD，相交于点F

B．反向延长线段BA、DC，相交于点F

C．过点M画线段AB的垂线，交CD于点E

D．过点M画线段CD的垂线，交CD于点E

3．（5分）如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE的度数为（　　）

A．30°B．35°C．15°D．25°

4．（5分）如图，OB⊥CD于点O，∠1=∠2，则∠2与∠3的关系是（　　）

A．∠2=∠3B．∠2与∠3互补C．∠2与∠3互余D．不确定

5．（5分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（　　）

A．155°B．145°C．135°D．125°

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOC，若∠BOE：

∠AOC=4：

5，则∠EOF为　　度．

7．（5分）如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为　　．

8．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC=140°，则∠DOE=　　．

9．（5分）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，则∠COD的度数为　　

10．（5分）如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF，∠AOE=68°．若OG平分∠BOF，则∠DOG=　　度．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．

（1）求∠DOE的度数；

（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=ao（oo＜a＜90o）．

a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；

b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．

12．（10分）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线

（1）∠DOE的补角有　　；

（2）若∠DOE：

∠AOD=1：

7，求∠AOC的度数；

（3）射线OF⊥OE．

①当射线OF在直线AB上方时，试探究∠BOC与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；

②当射线OF在直线AB下方时，∠BOC与∠DOF之间的数量关系是　　．

13．（10分）已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠2=26°．

（1）写出图中所有∠4的余角　　．

（2）写出图中相等的三对角：

①　　②　　③　　．

（3）求∠5的度数．

14．（10分）已知：

如图，AO⊥BC，DO⊥OE．

（1）不添加其他条件情况下，请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；

（2）如果∠COE=35°，求∠BOD的度数．

15．（10分）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的数量关系．

（1）如图①，∠A与∠B的数量关系是　　；如图②，∠A与∠B的数量关系是　　．

（2）请从图①或图②中选择一种情况说明理由．

《相交线》拔高练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，因为直线AB⊥l于点B，BC⊥l于点B，所以直线AB和BC重合，则其中蕴含的数学原理是（　　）

A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

B．垂线段最短

C．过一点只能作一条垂线

D．两点确定一条直线

【分析】根据垂线的性质即可判断．

【解答】解：

因为直线AB⊥l于点B，BC⊥l于点B，

所以直线AB和BC重合（在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直），

故选：

A．

【点评】本题考查垂线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

2．（5分）已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（　　）

A．延长线段AB、CD，相交于点F

B．反向延长线段BA、DC，相交于点F

C．过点M画线段AB的垂线，交CD于点E

D．过点M画线段CD的垂线，交CD于点E

【分析】根据线段和垂线段的定义，结合图形进行分析即可．

【解答】解：

A、延长线段AB、CD，相交于点F，说法正确；

B、反向延长线段BA、DC，相交于点F，说法正确；

C、过点M画线段AB的垂线，交CD于点E，说法正确；

D、过点M画线段CD的垂线，交CD于点E，说法错误；

故选：

D．

【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是正确掌握三线的特点．

3．（5分）如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE的度数为（　　）

A．30°B．35°C．15°D．25°

【分析】根据对顶角相等，以及垂直的定义求出所求角度数即可．

【解答】解：

∵∠BOC=35°，∠FOG=30°，

∴∠EOF=∠BOC=35°，

∴∠GOE=∠GOF+∠FOE=65°，

∵OG⊥AD，

∴∠GOD=90°，

∴∠DOE=25°，

故选：

D．

【点评】此题考查了垂线，以及对顶角、领补角，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

4．（5分）如图，OB⊥CD于点O，∠1=∠2，则∠2与∠3的关系是（　　）

A．∠2=∠3B．∠2与∠3互补C．∠2与∠3互余D．不确定

【分析】根据垂线定义可得∠1+∠3=90°，再根据等量代换可得∠2+∠3=90°．

【解答】解：

∵OB⊥CD，

∴∠1+∠3=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠2与∠3互余，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了垂线和余角，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．

5．（5分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（　　）

A．155°B．145°C．135°D．125°

【分析】由对顶角相等可求得∠BOD，根据垂直可求得∠EOB，再利用角的和差可求得答案．

【解答】解：

∵∠AOC=35°，

∴∠BOD=35°，

∵EO⊥AB，

∴∠EOB=90°，

∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90°+35°=125°，

故选：

D．

【点评】本题主要考查对项角相等和垂直的定义，掌握对顶角相等是解题的关键，注意由垂直可得到角为90°．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOC，若∠BOE：

∠AOC=4：

5，则∠EOF为　115　度．

【分析】依据∠AOC+∠BOE=90°，∠BOE：

∠AOC=4：

5，即可得出∠AOC=50°，根据OF平分∠AOC，可得∠COF=25°，进而得到∠EOF=∠COF+∠COE=115°．

【解答】解：

∵EO⊥CD，

∴∠COE=90°，

∴∠AOC+∠BOE=90°，

又∵∠BOE：

∠AOC=4：

5，

∴∠AOC=50°，

又∵OF平分∠AOC，

∴∠COF=25°，

∴∠EOF=∠COF+∠COE=25°+90°=115°，

故答案为：

115．

【点评】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质，关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数．

7．（5分）如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为　48°、132°或20°、20°．　．

【分析】分两种情况进行讨论，依据两个角的两条边分别垂直画出图形，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，即可得到这两个角的度数．

【解答】解：

如图，α+β=180°，β=4α﹣60°，

解得α=48°，β=132°；

如图，α=β，β=4α﹣60°，

解得α=β=20°；

综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．

故答案为：

48°、132°或20°、20°．

【点评】本题考查了垂线，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．

8．（5分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是点O，∠BOC=140°，则∠DOE=　50°　．

【分析】运用垂线的定义，对顶角的性质进行计算即可．

【解答】解：

∵直线AB、CD相交于点O，

∴∠BOC=∠AOD=140°，

又∵OE⊥AB，

∴∠DOE=140°﹣90°=50°，

故答案为：

50°．

【点评】本题主要考查了对顶角和垂线的定义，解题的关键是运用对顶角的性质：

对顶角相等．

9．（5分）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的3倍少60°，则∠COD的度数为　30°或120°　

【分析】有两种情况：

①如图1，根据∠COD=90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；

②如图2，根据∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，列方程可得结论．

【解答】解：

设∠AOB=x°，则∠COD=3x°﹣60°，

分两种情况：

①如图1，∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，

∴∠COD=90°+90°﹣∠AOB，

即3x﹣60=90+90﹣x，

x=60°，

∴∠COD=3×60°﹣60°=120°；

②如图2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，

∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC，

x+90=3x﹣60+90，

x=30°，

∴∠COD=30°，

综上所述，∠COD的度数为30°或120°，

故答案为：

30°或120°．

【点评】此题主要考查了角的计算，以及垂直的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．

10．（5分）如图，三条直线AB、CD、EF相交于O，且CD⊥EF，∠AOE=68°．若OG平分∠BOF，则∠DOG=　56　度．

【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOC=∠BOD的度数，再利用角平分线的定义得出答案．

【解答】解：

∵CD⊥EF，

∴∠COE=90°，

∵∠AOE=68°，

∴∠AOC=∠BOD=22°，∠BOF=68°，

∵OG平分∠BOF，

∴∠BOG=

∠BOF=34°，

∴∠DOG=∠DOB+∠BOG=56°．

故答案为：

56．

【点评】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义和角的计算，正确应用垂直的定义是解题关键．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．

（1）求∠DOE的度数；

（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=ao（oo＜a＜90o）．

a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；

b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．

【分析】

（1）根据角平分线的性质解答即可；

（2）a．根据互余解答即可．

b．根据∠BOD是∠AOF的2倍，列方程可得α的值．

【解答】解：

（1）∵点A，O，B在同一条直线上，

∴∠AOC+∠BOC=180°，

∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠COD=

∠AOC，∠COE=

∠BOC

∴∠COD+∠COE=

（∠AOC+∠BOC）=90°，

∴∠DOE=90°；

（2）a．∵OC⊥OF，

∴∠COF=90°，

∵∠DOF=αo，

∴∠COD=90°﹣α°，

∵∠AOD=∠COD，

∴∠AOF=∠AOD﹣∠DOF=90°﹣α°﹣α°=（90﹣2α）°，

b．∵∠BOD是∠AOF的2倍，

∴180°﹣（90﹣α）°=2（90﹣2α）°，

α=18°，

即∠DOF=18°．

【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．

12．（10分）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOD的平分线

（1）∠DOE的补角有　∠AOE和∠COE　；

（2）若∠DOE：

∠AOD=1：

7，求∠AOC的度数；

（3）射线OF⊥OE．

①当射线OF在直线AB上方时，试探究∠BOC与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；

②当射线OF在直线AB下方时，∠BOC与∠DOF之间的数量关系是　

+∠DOF=180°　．

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠DOE=∠BOE，再根据补角的定义结合图形找出即可；

（2）根据角平分线的定义列方程计算即可求出∠BOE，然后根据对顶角相等可得结论；

（3）计算出∠EOF的度数是90°，设∠BOE=x，∠BOF=y，则∠COD=2x+2y=180°，可得结论．

【解答】解：

（1）如图1，∵OE是∠BOD的平分线，

∴∠DOE=∠BOE，

由题意得：

∠DOE的补角有：

∠AOE和∠COE；

故答案为：

∠AOE和∠COE；

（2）∵∠DOE：

∠AOD=1：

7，

设∠DOE=x，∠AOD=7x，

∴x+x+7x=180，

x=20°，

∴∠AOC=∠BOD=2x=40°；

（3）①如图2，∠DOF=

∠BOC，理由是：

∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90°，

∴∠DOF+∠DOE=90°，

∵∠DOE=

∠BOD，

∴∠DOF=

∠AOD=

；

②如图3，

+∠DOF=180°，理由是：

∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠BOE=90°，

∵∠BOF=

∠BOC，

设∠BOE=x，∠BOF=y

∵∠COD=2x+2y=180°

∴

+∠DOF=y+2x+y=180°．

故答案为：

+∠DOF=180°．

【点评】此题主要考查了垂线，以及角平分线定义，关键是理清角之间的关系，掌握从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

13．（10分）已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠2=26°．

（1）写出图中所有∠4的余角　∠1，∠5　．

（2）写出图中相等的三对角：

①　∠1=∠5　②　∠AOF=∠EOF　③　∠COE=∠DOE　．

（3）求∠5的度数．

【分析】

（1）依据垂直的定义以及对顶角相等，即可得到所有∠4的余角；

（2）依据对顶角相等，角平分线的定义以及垂直的定义，即可得到相等的三对角；

（3）根据垂直的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后求出∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．

【解答】解：

（1）∵CO⊥OE，

∴∠4+∠5=90°，

又∵∠1=∠5，

∴∠1+∠5=90°，

∴∠4的余角为∠1，∠5，

故答案为：

∠1，∠5；

（2）∵直线AB和CD相交于O点，

∴∠1=∠5，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF=∠EOF，

∵CO⊥OE，

∴∠COE=∠DOE；

故答案为：

∠1=∠5，∠AOF=∠EOF，∠COE=∠DOE；

（3）∵CO⊥OE，

∴∠COE=90°，

又∵∠COF=26°，

∴∠EOF=90°﹣26°=64°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF=EOF=64°，

∴∠AOC=64°﹣26°=38°，

∵∠AOC与∠5是对顶角，

∴∠5=38°．

【点评】本题考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系是解题的关键．

14．（10分）已知：

如图，AO⊥BC，DO⊥OE．

（1）不添加其他条件情况下，请尽可能多地写出图中有关角的等量关系（至少3个）；

（2）如果∠COE=35°，求∠BOD的度数．

【分析】

（1）已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．

（2）由DO⊥OE，∠COE=35°，知∠BOD=180°﹣∠DOE﹣∠COE，故可求解．

【解答】解：

（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，

∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，

∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠DOE；

（2）∵DO⊥OE，∠COE=35°，

∴∠BOD=180°﹣∠DOE﹣∠COE=90°﹣35°=55°．

【点评】本题主要考查了同角或等角的余角相等这一性质，由垂直的定义得出直角是解决本题的关键．

15．（10分）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的数量关系．

（1）如图①，∠A与∠B的数量关系是　相等　；如图②，∠A与∠B的数量关系是　互补　．

（2）请从图①或图②中选择一种情况说明理由．

【分析】

（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补；

（2）根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，即可得出∠A=∠B，同样根据垂直的定义以及四边形的内角和等于360°，即可得出∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°．

【解答】解：

（1）如图①，∠A=∠B（相等）；如图②，∠A+∠B=180°（互补）；

故答案为：

相等，互补；

（2）选题图①，∵BC⊥AC，BD⊥AD，

∴∠ECB=∠ADE=90°．

又∵∠A=180°﹣∠EDA﹣∠AED，∠B=180°﹣∠BCE﹣∠BEC，∠AED=∠BEC，

∴∠A=∠B．

选题图②，∵BC⊥AC，BD⊥AD，

∴∠ECB=∠ADE=90°．

∵四边形的内角和等于360°，

∴∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°．

【点评】此题考查的是垂线的定义，关键明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质，对图形准确分析利用是解题的关键．