平行线的性质和判定培优讲义.docx

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平行线的性质和判定培优讲义

Revisedasof23November2020

平行线的性质和判定培优讲义

平行线的性质与判定培优讲义

【知识精要】:

1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：

相交和平行。

2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3.垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.

推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.

5．平行线的判定：

⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：

_______________________

.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：

___________________________.

⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：

_______________________.

6．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______.

7．平行线的性质：

⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：

　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：

__________

⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：

__________________。

.

【例题精析】:

例1．如图

（1），直线a与b平行，∠1＝（3x+70）°,∠2=（5x+22）°,

求∠3的度数。

例2．已知：

如图

（2），AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，

∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

例3．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）．

（“希望杯”邀请赛试题）

A．4对B．8对C．12对D．16对

例4．如图，在ΔABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线．求证：

∠EDF＝∠BDF．（天津市竞赛题）

例5．、

（1）如图，AB∥DE∥CF，你能找到∠BCE.∠B和∠E之间的关系吗

（2）如图，AB∥DE，你能找到∠BCE.∠B和∠E之间的关系吗

（3）如图，AB∥DE，你能找到∠1.∠2和∠3∠4之间的关系吗

（4）如图，AB∥DE，你能找到∠1.∠2.∠3∠4.∠5.∠6∠7之间的关系吗

【巩固提高】:

1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（　　）条

A．6　B．7　　C．8　　D．9

2．平面上三条直线相互间的交点个数是　　　（　　）

A．3　　B．1或3　　C．1或2或3　　　D．不一定是1，2，3

3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（　　）

A．36条　　B．33条　　C．24条　　D．21条

4．已知平面中有

个点

三个点在一条直线上，

四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这

个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时

等于（）

（A）9（B）10（C）11（D）12

5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（　　）

A．4对　　B．8对　　C．12对　　D．16对

6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=（）

A．90°　　B．135°　　C．150°　　D．180°

第7题

7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系；

8．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。

9．已知：

如图，DE∥CB，求证：

∠AED=∠A+∠B

10．已知：

如图，AB∥CD，求证：

∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

11．如图，已知CBAB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，

∠EDC+∠ECD=90°，

求证：

DAAB

【数学故事】:

阿基米德11岁那年，离开了父母，来到了古希腊最大的城市之一的亚历山大里亚求学。

当时的亚历山大里亚是世界闻名的贸易和文化交流中心，城中图书馆异常丰富的藏书，深深地吸引着如饥似渴的阿基米德。

当时的书是订在一张张的羊皮上的，也有用莎草茎剖成薄片压平后当作纸，订成后粘成一大张再卷在圆木棍上。

那时没有发明印刷术，书是一个字一个字抄成的，十分宝贵。

阿基米德没有纸笔，就把书本上学到的定理和公式，一点一点地牢记在脑子里。

阿基米德攻读的是数学，需要画图形、推导公式、进行演算。

没有纸，就用小树枝当笔，把大地当纸，因为地面太硬，写上去的字迹看不清楚，阿基米德苦想了几天，又发明了一种"纸"，他把炉灰扒出来，均匀地铺在地面上，然后在上面演算。

可是有时天公不作美，风一刮，这种"纸"就飞了。

一天，阿基米德来到海滨散步，他一边走一边思考着数学问题。

无边无垠的沙滩，细密而柔软的沙粒平平整整地铺展在脚下，又伸向远方。

他习惯地蹲下来，顺手捡起一个贝壳，便在沙滩上演算起来，又好又便捷。

回到住地，阿基米德十分兴奋地告诉他的朋友们说：

"沙滩，我发现沙滩是最好的学习地方，它是那么广阔，又是那么安静，你的思想可以飞翔到很远的地方，就象是飞翔在海面上的海鸥一样。

"神奇的沙滩、博大的海洋，给人智慧，给人力量。

打那以后，阿基米德喜欢在海滩上徜洋徘徊，进行思考和学习。

从求学的少年时代开始一直保持到生命的最后一息。

公元前212年，罗马军队攻占了阿基米德的家乡叙拉古城。

当时，已75岁高龄的阿基米德正在沙滩上聚精会神地演算数学，对于敌军的入侵竟丝毫未觉察。

当罗马士兵拔出剑来要杀他的时候，阿基米德安静地说：

"给我留下一些时间，让我把这道还没有解答完的题做完，免得将来给世界留下一道尚未证完的难题。

"由于阿基米德孜孜不倦、刻苦钻研，终于成为古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家和发明家，后人将他与牛顿、欧拉、高斯并称为"数坛四杰"、"数学之神"。

我国数学泰斗华罗庚说：

"天才在于积累。

聪明在于勤奋。

"面对知识的大海，人们应该象阿基米德那样，信念是罗盘，执着和勇毅作双浆，不懈追求，毕生探索。

扬帆远航!

【当堂小测验】:

一、选择题

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是（）

A．40°B．60°

C．70°D．80°

2．如右下图，l∥m，∠1＝115o，∠2＝95o，则∠3＝（）

A．120o　B．130o　　C．140o　　D．150o

3．如左下图，直线AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，则∠E等于（）

（Ａ）30°　（Ｂ）40°　（C）60°　（Ｄ）70°

4．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为

A．45°　　　　　B．50°　　　　　C．60°　　　　D．75°

5.如右上图，已知直线AB

右上图，已知∠1＝70o，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（　　）

A．70o　B．100o

　C．110oD．120o

7.如上中图，BC⊥AE，垂足为C，过C作CD∥AB．若∠ECD=48°则∠B=．

8.如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1=55°，则∠2的度数为（）

A.45°B.35°C.55°°

9.如图，AB∥CD，∠A=110°∠C=60°那么∠P=______

10．如图，已知

，AB⊥

，∠ABC=130°，则∠α=．

11．如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN＝30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．

（“希望杯”邀请赛试题）

12．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有（）．

A，4对B．5对C．6对D．7对

（“数学新蕾”竞赛题）

13．如图，若AB∥CD，则（）．

A．∠1＝∠2+∠3B．∠1＝∠3一∠2

C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°

14．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）．

A．180°B．270°C．360°D．450°

15如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．

（1）求∠EOB的度数．

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：

∠OFC的值是否随之发生变化若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

【快乐作业】:

1.如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．

2.探索10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域