关于线性变换的不变子空间研究.docx

关于线性变换的不变子空间研究.docx

《关于线性变换的不变子空间研究.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于线性变换的不变子空间研究.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

关于线性变换的不变子空间研究

1.线性变换的不变子空间

1.1代数学的发展历程简介

1.2线性变换的不变子空间的概念及性质

1.3线性变换的不变子空间性质的多种证明

2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性

2.1研究该问题的必要性

2.2研究该问题的可行性

3.线性变换的不变子空间的国内外研究现状

3.1国内研究现状

3.2国外研究现状

4.线性变换的不变子空间的应用

4.1理论上的应用

4.2生活中的应用

5.心得体会

摘要

线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一，但是对于

一个线性变换的不变子空间，在高等代数教材中也是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论。

空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍然在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭，其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回

到原空间，从而将问题简化，本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。

关键词：

线性变换不变子空间的性质地位应用

1.线性变换的不变子空间

1.1代数学的发展历程简介

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支

学科的庞大的“共和国”。

大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。

在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。

“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、

天文学家阿尔•花拉子米（al-Khowcrizm［，约780—850）—本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilmal-jabrwa'muqabalah,

直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr意为“还原”，这里指

把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项.在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。

花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域.他撰写了许多重要的科学著作.在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：

《代数学》和《印度的计算术》.

1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。

后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数

学》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦

即：

代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。

古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量，

在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica）。

其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的

符号，并有建立方程序的思想。

故有“代数学之父”

（Fatherofalgebra）的称号。

代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧

人一棒接一棒而完成的伟大数学成就。

|

1.2有关线性变换的不变子空间的概念

（1）线性变换的定义

如果对于线性空间V中的任意两个元素a、B和数域P中任意数

k,在线性变换A下都满足加法和数乘法则，那么变换A称为线性空间V下的线性变换。

对于线性变换满足的加法和数乘法则，也可以说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。

（2）不变子空间的概念理解

空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭。

其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化。

l.3线性变换的不变子空间的性质及性质的证明

（1）V空间本身和零子空间，对于每个线性变换A来说都是A-子

空间

（2）某线性空间下的任意两个不变子空间的交与和仍然是该线性空间下的不变子空间。

1对任意a,b属于WAU有a,b属于W,a,b属于U而W,U是V的线性变换T的不变子空间所以T（k1a+k2b）=k1T（a）+k2T（b）属于W,也属于U所以T（k1a+k2b）属于WAU所以WAU也是T的不变子空间.

2W+U中的元素都可表示为a+b形式，其中a属于W,b属于U.对W+U中任意两个元素a1+b1,a2+b2有T（k1（a1+b1）+k2（a2+b1））

=k1T（a1+b1）+k2T（a2+b1）=k1（T（a1）+T（b1））+k2（T（a2）+T（b1））=k1T（a1）+k2T（a2）+k1T（b1）+k2T（b2）属于W+U所以W+U也是T的不变子空间.

（3）设矩阵A,B属于复数域上的n维矩阵，A,B可交换，即AB=BA

证明A的特征子空间一定是B的不变子空间

对A的属于特征值入的特征子空间V入中的任一向量x有Ax=入x所以A（Bx）=BAx=入Bx所以Bx属于V入所以A的特征子空间V入是B的不变子空间.

（4）如果A是正交变换，那么A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间

若A正交，则A可逆。

并且由哈密尔顿-凯莱定理，A的逆为其多项式。

（Ax,y）二（x,A-1y）。

若y在A的不变子空间中，则A-1y也在A的不变子空间中。

若再x属于正交补，显然就有

（Ax,y）=（x，A-1y）=0。

得证。

2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性

2.1研究该问题的必要性

（1）线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；

（2）在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、

密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。

（3）该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念

抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；

（4）随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还

要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

2.2研究该问题的可行性

线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）这为我们现在学习和研究线性变换上的不变子空间

的一系列问题提供了坚实的理论基础。

由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。

直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。

“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。

主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。

3.线性变换的不变子空间的国内外研究状况

3.1国内研究状况

“代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。

3.2国外研究状况

（1）1843年，哈密顿发现了四元数；

（2）1844年，格拉斯曼发表了它的著作《DielineareAusdehnungslehre》；

（3）1857年，阿瑟.凯莱介入了矩阵，这是最基础的线性代数思想之

一;（4）由于费马和笛卡尔的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。

直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。

十九世纪上

半叶才完成了到n维向量空间的过渡。

（5）1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。

托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中。

线性代数的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。

不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念。

4.线性变换的不变子空间的应用

4.1理论上的应用

（1）在数学的学习中会求某些线性变换下的不变子空间

例如：

已知线性变换T在一基底Xn下的矩阵为A,要求T的不变子空间

这组基包含了n个线性无关的向量XI、X2……Xn，从中选出任意选出k个向量（k依次取n，n-1，n-2……1）生成相应的子空间。

（则有n!

/（k!

*（n-k）!

）种情况）

不妨设这个子空间为L{X1，X2……Xk}={q|

q=p1*X1+……+pk*Xk，pi是数字}（不变子空间的定义）。

然后在这个子空间中任取一个向量q，得到q在基XI、X2Xn下的坐

标X=（p1,p2……pk,0,0……0）,然后求出q经过线性变换T（q）后在基XI、X2Xn下的坐标Y=AX

最后判断Y是不是属于L{X1，X2……Xk}={q|

q=p1*X1++pk*Xk，pi是数字}，即判断一下丫中第k个元素以

后是不是全是零，若全是零，则这个子空间是不变子空间，否则不是。

依此类推，直到把所有的k，以及k个向量时的每一种情况都考虑。

（2）不变子空间在线性变换的矩阵的化简中的应用

设dimV二n,o€L（V）,

（3）不变子空间的方法在偏微分方程中的应用①利用不变子空间方法，我们给出了一般薄膜方程的分类，在这些方程中微分算子F（u）允许不变子空间WnWn是由n阶常系数常微分方程定义的多项式型、三角型、指数型或者混合型线性子空间。

在这些不变子空间中，我们构造了方程对应类型的精确解，并将这些方程约化成有限维动力系统。

2将不变子空间方法进行推广，并用于带有交错扩散项的非线性方程

组的分类。

在这些非线性扩散方程组中，向量微分算子允许不变子空间Wn1*Wn2而Wn1*Wn是由常微分方程组定义的线性子空间，n1、

n2=2、3、4、5。

在不变子空间Wn1*Wn中，我们构造了这些方程的精确解，并将他们约化为有限维动力系统。

在大多数情况中，这些精确解的两个分量属于不同的“纯量”子空间。

3利用与不变子空间方法相关的不变集方法，我们构造了二维带有能

源项的非线性反应扩散方程的精确解。

我们给出了在函数集合E1和E2中不变的反应扩散方程，并得到他们的精确解。

这些解可以看成多孔介质方程的自相似解的推广。

我们还描述了这些精确解及其对应介面的行为。

4.2生活中的应用

（1）不变子空间的直和在控性分解中的应用

在现代控制理论中，给定多输入定常线性系统X、二Ax+Bu,其中A、

B分别为实数域上的n*n与n*m矩阵，设p是矩阵B的列空间，vA|B＞表示由子空间，B经A循环而生成的A的不变子空间，它是该线性系统在R中的可控子空间，如果VA|B＞二R?

则对应系统是完全可控的，对vA|B＞，通常要将其分解为一些循环子空间的直和，成为能控性分解。

例如：

A=[11000000;01000000;001100000

0；00010000；00000110；0000-1001；0000

0001；000000-10]，B=[18；27；36；45；54；63；

72;81]，经过计算，AB对应的系统X'二Ax+Bu完全可控，并存在可逆矩阵P,使PTAP二[00000-100;10000200;01

000-300；00100400；00010-300；000012

00;0000000-1;00000012]，即RW表示为两个由

B导出的循环子空间的直和。

（2）不变子空间在周期解析信号中的应用

利用不变子空间给出了周期解析信号与共轭周期解析信号的乘积仍为周期解析信号的充要条件。

特别地，当周期解析信号对应的Z变换过圆周解析时，其对应的共轭周期解析信号为有理函数且有理函数的极点恰为周期解析信号对应的Z变换的零点。

作为上述结论的应用，考虑了具有长度为n的Fouriner级数的周期解析信号保持幅度不变的条件。

5.心得体会

关于线性变换的不变子空间，我们主要是在大学期间的《高等代数》中涉及到，虽然知识点比较多但是学起来觉得还是比较简明的。

直到我确定了自己的毕业论文课题，开始查资料的时候才知道自己的知识面是多么的狭窄，不变子空间问题一点都不明了，它既可以在有限维上讨论，也可以在无限维的基础上来谈，而在这两种情况下讨论，它们的结论与推论也就不一样了，还会有一些交叉的地方。

在有无线性变换的限制的时候，结论也是也是不一样的，让我大大拓宽了自己的知识面。

通过写这篇文章，我不仅巩固了自己课内学习的关于线性变换的不变子空间的一系列知识，还加强了对这个问题在实际应用中的了解，收获颇丰。