01背包问题的解决回溯法.docx
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01背包问题的解决回溯法
前面这块转贴原理及c++代码实现的回溯算法-----带剪枝的递归回溯;最后给出一个不带剪枝的c语言描述的
递归回溯算法且不能给出选择方案,只给出最大价值
回溯法:
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先的策略,从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时,总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含,则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索,逐层向其祖先结点回溯。
否则,进入该子树,继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法,它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架:
1、问题的解空间:
应用回溯法解问题时,首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个(最优)解。
2、回溯法的基本思想:
确定了解空间的组织结构后,回溯法就从开始结点(根结点)出发,以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点,同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处,搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点,并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动,则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说,这个结点不再是一个活结点。
此时,应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处,并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索,直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤:
(1)针对所给问题,定义问题的解空间;
(2)确定易于搜索的解空间结构;
(3)以深度优先的方式搜索解空间,并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索;
3、递归回溯:
由于回溯法是对解空间的深度优先搜索,因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法。
【概要设计】
0—1背包问题是一个子集选取问题,适合于用子集树表示0—1背包问题的解空间。
在搜索解空间树是,只要其左儿子节点是一个可行结点,搜索就进入左子树,在右子树中有可能包含最优解是才进入右子树搜索。
否则将右子树剪去。
intc;//背包容量
intn;//物品数
int*w;//物品重量数组
int*p;//物品价值数组
intcw;//当前重量
intcp;//当前价值
intbestp;//当前最优值
int*bestx;//当前最优解
int*x;//当前解
intKnap:
:
Bound(inti)//计算上界
voidKnap:
:
Backtrack(inti)//回溯
intKnapsack(intp[],intw[],intc,intn)//为Knap:
:
Backtrack初始化
【详细设计】
#include
usingnamespacestd;
classKnap
{
friendintKnapsack(intp[],intw[],intc,intn);
public:
voidprint()
{
for(intm=1;m<=n;m++)
{
cout<}
cout<};
private:
intBound(inti);
voidBacktrack(inti);
intc;//背包容量
intn;//物品数
int*w;//物品重量数组
int*p;//物品价值数组
intcw;//当前重量
intcp;//当前价值
intbestp;//当前最优值
int*bestx;//当前最优解
int*x;//当前解
};
intKnap:
:
Bound(inti)
{
//计算上界
intcleft=c-cw;//剩余容量
intb=cp;
//以物品单位重量价值递减序装入物品
while(i<=n&&w[i]<=cleft)
{
cleft-=w[i];
b+=p[i];
i++;
}
//装满背包
if(i<=n)
b+=p[i]/w[i]*cleft;
returnb;
}
voidKnap:
:
Backtrack(inti)
{
if(i>n)
{
if(bestp{
for(intj=1;j<=n;j++)
bestx[j]=x[j];
bestp=cp;
}
return;
}
if(cw+w[i]<=c)//搜索左子树
{
x[i]=1;
cw+=w[i];
cp+=p[i];
Backtrack(i+1);
cw-=w[i];
cp-=p[i];
}
if(Bound(i+1)>bestp)//搜索右子树
{
x[i]=0;
Backtrack(i+1);
}
}
classObject
{
friendintKnapsack(intp[],intw[],intc,intn);
public:
intoperator<=(Objecta)const
{
return(d>=a.d);
}
private:
intID;
floatd;
};
intKnapsack(intp[],intw[],intc,intn)
{
//为Knap:
:
Backtrack初始化
intW=0;
intP=0;
inti=1;
Object*Q=newObject[n];
for(i=1;i<=n;i++)
{
Q[i-1].ID=i;
Q[i-1].d=1.0*p[i]/w[i];
P+=p[i];
W+=w[i];
}
if(W<=c)
returnP;//装入所有物品
//依物品单位重量排序
floatf;
for(i=0;ifor(intj=i;j{
if(Q[i].d{
f=Q[i].d;
Q[i].d=Q[j].d;
Q[j].d=f;
}
}
KnapK;
K.p=newint[n+1];
K.w=newint[n+1];
K.x=newint[n+1];
K.bestx=newint[n+1];
K.x[0]=0;
K.bestx[0]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
K.p[i]=p[Q[i-1].ID];
K.w[i]=w[Q[i-1].ID];
}
K.cp=0;
K.cw=0;
K.c=c;
K.n=n;
K.bestp=0;
//回溯搜索
K.Backtrack
(1);
K.print();
delete[]Q;
delete[]K.w;
delete[]K.p;
returnK.bestp;
}
voidmain()
{
int*p;
int*w;
intc=0;
intn=0;
inti=0;
cout<<"请输入背包个数:
"<cin>>n;
p=newint[n+1];
w=newint[n+1];
p[0]=0;
w[0]=0;
cout<<"请输入个背包的价值:
"<for(i=1;i<=n;i++)
cin>>p[i];
cout<<"请输入个背包的重量:
"<for(i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
cout<<"请输入背包容量:
"<cin>>c;
cout<}
/*c*/
#include"stdio.h"
#defineN5
intbestp;
intcp;
intx[N];
voidknap(intc[N],intv[N],intt,intm)
{
inti;
if(t>N-1)
{
if(bestp}
else
{
if(c[t]<=m)
{
cp+=v[t];
m-=c[t];
knap(c,v,t+1,m);
m+=c[t];
cp-=v[t];
}
knap(c,v,t+1,m);
}
}
main()
{
intc[]={2,2,6,5,4},v[]={6,3,5,4,6};
intm=10;
knap(c,v,0,m);
printf("%d\n",bestp);
}