等腰三角形的性质.docx

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等腰三角形的性质

81．若一个三角形经过它的某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称该三角形

为等腰三角形的生成三角形，简称生成三角形．

（1）如图，已知等腰直角三角形ABC，∠A=90度．求证：

△ABC是生成三角形；

（2）若等腰三角形ABC有一个内角等于36°，那么请你画出简图说明△ABC是生成三角形；（要求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数．）

（3）说明不同种类（两个三角形各内角度数不会对应相等）的生成三角形有无数多个．

82．如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证：

BD+EC=DE．

83．已知：

如图，△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，∠BDC=150°，求∠A的度数．

84．我们给出如下定义：

有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；

（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：

四边形AGEC是等邻角四边形；

（3）如图2，若点D在△ABC的内部，

（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说

明理由．

88．已知：

点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB=OC．

（1）如图，若点O在边BC上，求证：

AB=AC；

（2）如图，若点O在△ABC的内部，则

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）若点O在△ABC的外部，则

（1）的结论还成立吗？

请画图表示．

90．等腰△ABC中，∠A=70°，求∠B、∠C的度数．

92．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O．

（1）请你写出三类不同的正确的结论；

（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：

∠ABC=∠ACB）．

93．已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAC，问：

AE与AD是否垂直？

为什么？

94．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD⊥AC于D．

求：

（1）∠C的度数；

（2）∠DBC的度数．

95．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，从中你发现了什么？

与其他同学进行交流．

96．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．

97．求证：

等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．

 显示解析试题篮

98．如图所示，已知在△ABC中，∠B=∠C，点D、E是BC边上的两点，且∠ADC=∠AEB，判断BD是否等于CE，为什么？

81、分析：

（1）作等腰三角形底边上的高是常用的辅助线作法，可把等腰直角三角形分成等腰直角三角形；

（2）内角为36°，说明可能是等腰三角形的顶角为36°或者底角为36°；

（3）把任意一个等腰三角形的底边或者腰延长可得到生三角形．

解答：

（1）证明：

过点A作AD⊥BC，垂足为D．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=

∠BAC=45°，

∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD．

∴△ABD和△ACD是等腰三角形，

∴△ABC是生成三角形

（2）如图

（1）、

（2）所示，

（3）如图（3），将任意一个等腰三角形△ABC的底边BC延长至D，使得CA=CD，连接AD

则可知构造的△ABD为生成三角形．由于等腰三角形△ABC是任意，故不同种类的生成三角形有无数多个．

点评：

此题考查了等腰三角形的性质及学生的阅读能力和理解问题的能力．解决本题应把握生成三角形的特点，注意应考虑等腰三角形的不同情况．

82、分析：

利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可证．

解答：

证明：

∵BF、CF是∠ABC、∠ACB的角平分线，

∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF．

又∵DE∥BC，

∴∠BFD=∠CBF，∠BCF=∠EFC．

∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC．

∴BD=DF，CE=EF．

∴DE=DF+EF=BD+CE．

83、分析：

由角的平分线的性质得到∠ACD=

∠ACB，则等边对等角得到∠B=∠ACB，再由三角形的内角和定理建立方程，求得∠ACB的度数，进而求得∠A的度数．

解答：

解：

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=

∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠A=180°-2∠ACB，

∵∠BDC=∠A+∠ACD=150°，

∴180°-2∠ACB+

∠ACB=150°，

∴∠ACB=20°，

∴∠A=140°．

84、分析：

（1）邻角相等的四边形有很多，矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一组邻角相等．

（2）解本题有两种方法：

①运用中位线的性质，找出对应相等的角；②用待定系数法，设出x，写出关于x的代数式，化简即可找出对应相等的角．

（3）根据题意易知满足条件的四边形即为第二题的四边形．

解答：

解：

（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）

（2）证法一：

取AC的中点H，连接HE、HF

∵点E为BC终点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=

AB

同理FH∥DC，且FH=

DC

∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC

∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°

∴∠AGE=∠GEC

∴四边形AGEC是邻角四边形

证法二：

连接AE

设∠B的度数为x∵AB=AC，CD=CA

∴∠C=∠B=x，∠1=

=90°--

∵F是AD的中点∴EF=DF=

AD

∴∠2=∠1=90°-

∴∠AGE=∠B+∠2=x+90°--

=90°+-

∠GEC=180°-（90°--

）=90°+-

∴∠AGE=∠GEC

∴四边形AGEC是邻角四边形

（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．

88、分析：

（1）可由HL证得Rt△OBE≌Rt△OCF，从而得到∠B=∠C⇒AB=BC；

（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，也可由HL证得Rt△OBE≌Rt△OCF，得到∠EBO=∠FCO，由等边对等角得到∠OBC=∠OCB，故有∠ABC=∠ACB⇒AB=AC；

（3）通过作图，可知AB=AC不一定成立．

解答：

（1）证明：

∵OE⊥AB，OF⊥AC，

∴∠BEO=∠CFO=90°．

∵OB=OC，OE=OF，

∴Rt△OBE≌Rt△OCF．

∴∠B=∠C．

∴AB=AC．

（2）解：

成立．

证明：

过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，

则∠BEO=∠CFO=90°，

∵OB=OC，OE=OF，

∴Rt△OBE≌Rt△OCF．

∴∠EBO=∠FCO．

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB．

∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．

即∠ABC=∠ACB．

∴AB=AC．

（3）解：

不一定成立，如右图．

90、分析：

等腰三角形△ABC可能有三种情况，①当∠A为顶角时，②当∠B为顶角时，③当∠C为顶角时，根据各种情况求对应度数即可．

解答：

解：

根据题意，

当∠A为顶角时，∠B=∠C=55°；

当∠B为顶角时，∠A=∠C=70°，∠B=40°；

当∠C为顶角时，∠A=∠B=70°，∠C=40°．

91、分析：

（1）利用等腰三角形的性质，可以证明图中有全等的三角形，进而可以得到相当的角和相等的线段．

（2）由于BD是等腰三角形腰上的高，所以α+∠ACB=90°，又等腰三角形中，∠ABC=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以β+2∠ACB=180°，即β+2（90°-α）=180°，所以β=2α．

解答：

解：

（1）三类不同的正确结论是：

①△CEB≌△BDC；②∠ABD=∠ACE；③AE=AD；

（2）α与β之间的一种关系式是β=2α．

其理由是：

∵BD⊥AC，∴∠CBD+∠ACB=90°，

即α+∠ACB=90°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴β+2∠ACB=180°，

即β+2（90°-α）=180°，

∴β=2α．

92、分析：

根据等腰三角形的性质可知，∠1=∠2，∠B=∠C，由三角形外角平分线的性质可知∠3=∠C，AE∥BC，由平行线的性质可知AE⊥AD．

解答：

证明：

∵AB=AC，CD=BD，

∴∠1=∠2，∠B=∠C，AD⊥BC，

又∵AE是△ABC的外角平分线，

∴∠3=∠4=

（∠B+∠C）=∠C，

∴AE∥BC，∠DAE+∠ADB=180°，

又∵AD⊥BC，

∴∠DAE=∠ADC=90°．

∴AE⊥AD．

94、分析：

（1）先根据AB=AC可知∠ABC=∠C，根据三角形的内角和定理可求出∠C的度数；

（2）由BD⊥AC于D，可知∠BDC=90°；再根据

（1）中所求∠C的度数及三角形内角和定理即可求出∠DBC的度数．

解答：

解：

（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∵∠C=2∠A，∴∠ABC=2∠A，

∴∠A+2∠A+2∠A=180°，∠A=36°，

∴∠C=2∠A=72°；

（2）∵BD⊥AC于D，∴∠BDC=90°，

∵∠C=72°，

∴∠DBC=180°-∠C-∠BDC=180°-90°-72°=18°．

95、分析：

已知△ABC是等腰三角形，作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线，通过证三角形全等，容易证得，等腰三角形中，底边上的中线和高以及顶角的平分线三线合一．

解答：

解：

如图，过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∵AB=AC，AD=AD，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）

∴BD=CD，即AD也是中线，

∴∠BAD=∠CAD，即AD又是高线，

所以等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合．

96、分析：

由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可设∠C=∠CDB=x，则∠BDA=∠A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出∠A，∠C度数．

解答：

解：

∵AB=BD，

∴∠BDA=∠A，

∵BD=DC，

∴∠C=∠CDB，

设∠C=∠CDB=x，

则∠BDA=∠A=2x，

∴∠ABD=180°-4x，

∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°-4x+x=105°，

解得：

x=25°，所以2x=50°，

即∠A=50°，∠C=25°．

97、分析：

本题可通过构建直角三角形来求解．如图，过A作底边BC的垂线，那么∠EAC和∠DBC同为∠C的余角，因此这两角相等；根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠EAC是顶角的一半，由此可得出所求的结论．

解答：

证明：

如图：

△ABC是等腰锐角三角形，AB=AC，BD是腰AC上的高．

过点A作AE⊥BC于点E，

∴∠EAC+∠C=90°，

∵BD⊥AC，

∴∠DBC+∠C=90°，

∴∠DBC=∠EAC，

∵AB=AC，AE⊥BC，

∴∠EAC=

∠BAC，

∴∠DBC=

∠BAC．

98、分析：

过点A作AF⊥BC，利用底边线段之间的关系即可求解．

解答：

解：

BD=CE

理由：

作AF⊥BC，垂足为F

∵∠B=∠C，∠ADC=∠AEB

∴AB=AC，AD=AE

∴BF=CF，DF=EF

∴BF-DF=CF-EF

即BD=CE．