等腰三角形的性质.docx

1、等腰三角形的性质81若一个三角形经过它的某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称该三角形为等腰三角形的生成三角形，简称生成三角形（1）如图，已知等腰直角三角形ABC，A=90度求证：ABC是生成三角形；（2）若等腰三角形ABC有一个内角等于36，那么请你画出简图说明ABC是生成三角形；（要求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数）（3）说明不同种类（两个三角形各内角度数不会对应相等）的生成三角形有无数多个82如图所示，ABC和ACB的平分线相交于F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求证：BD+EC=DE83已知：如图，ABC中，AB=AC，CD平分ACB，交A

2、B于点D，BDC=150，求A的度数84我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（3）如图2，若点D在ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由88已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB=OC（1）如图，若点O

3、在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图，若点O在ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）若点O在ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示90等腰ABC中，A=70，求B、C的度数92如图，在ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O（1）请你写出三类不同的正确的结论；（2）设CBD=，A=，试找出与之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：ABC=ACB）93已知AB=AC，BD=DC，AE平分FAC，问：AE与AD是否垂直？为什么？94已知：如图，在ABC中，AB=AC，C=2A，BDAC于D求：（1）C的

4、度数；（2）DBC的度数95如图，ABC是等腰三角形，且AB=AC，试作出BC边上的中线和高以及A的平分线，从中你发现了什么？与其他同学进行交流96如图，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105，求A，C度数97求证：等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半显示解析试题篮 98如图所示，已知在ABC中，B=C，点D、E是BC边上的两点，且ADC=AEB，判断BD是否等于CE，为什么？81、分析：（1）作等腰三角形底边上的高是常用的辅助线作法，可把等腰直角三角形分成等腰直角三角形；（2）内角为36，说明可能是等腰三角形的顶角为36或者底角为36；（3）把任意一个等腰三角形的底边或者

5、腰延长可得到生三角形解答：（1）证明：过点A作ADBC，垂足为DAB=AC，BAC=90，B=C=45，BAD=CAD=BAC=45，B=BAD，C=CADABD和ACD是等腰三角形，ABC是生成三角形（2）如图（1）、（2）所示，（3）如图（3），将任意一个等腰三角形ABC的底边BC延长至D，使得CA=CD，连接AD则可知构造的ABD为生成三角形由于等腰三角形ABC是任意，故不同种类的生成三角形有无数多个点评：此题考查了等腰三角形的性质及学生的阅读能力和理解问题的能力解决本题应把握生成三角形的特点，注意应考虑等腰三角形的不同情况82、分析：利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，

6、可证出DBF=DFB，ECF=EFC，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可证解答：证明：BF、CF是ABC、ACB的角平分线，DBF=FBC，ECF=BCF又DEBC，BFD=CBF，BCF=EFCDBF=DFB，ECF=EFCBD=DF，CE=EFDE=DF+EF=BD+CE83、分析：由角的平分线的性质得到ACD=ACB，则等边对等角得到B=ACB，再由三角形的内角和定理建立方程，求得ACB的度数，进而求得A的度数解答：解：CD平分ACB，ACD=ACB，AB=AC，B=ACB，A=180-2ACB，BDC=A+ACD=150，180-2ACB+ACB=150，ACB=20，

7、A=14084、分析：（1）邻角相等的四边形有很多，矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一组邻角相等（2）解本题有两种方法：运用中位线的性质，找出对应相等的角；用待定系数法，设出x，写出关于x的代数式，化简即可找出对应相等的角（3）根据题意易知满足条件的四边形即为第二题的四边形解答：解：（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）（2）证法一：取AC的中点H，连接HE、HF点E为BC终点EH为ABC的中位线EHAB，且EH=AB同理FHDC，且FH=DCAB=AC，DC=ACAB=DC，EH=FH1=2EHAB，FHDC2=4，1=34=3AGE+4=180，GEC+3=180AGE=GEC四边形AGEC是

8、邻角四边形证法二：连接AE设B的度数为xAB=AC，CD=CAC=B=x，1=90-F是AD的中点EF=DF=AD2=1=90-AGE=B+2=x+90-=90+-GEC=180-（90-）=90+-AGE=GEC四边形AGEC是邻角四边形（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC88、分析：（1）可由HL证得RtOBERtOCF，从而得到B=CAB=BC；（2）过O作OEAB，OFAC，也可由HL证得RtOBERtOCF，得到EBO=FCO，由等边对等角得到OBC=OCB，故有ABC=ACBAB=AC；（3）通过作图，可知AB=AC不一定成立解答：（1）证明：OEAB，OFAC，BEO=CFO

9、=90OB=OC，OE=OF，RtOBERtOCFB=CAB=AC（2）解：成立证明：过O作OEAB，OFAC，垂足分别为E、F，则BEO=CFO=90，OB=OC，OE=OF，RtOBERtOCFEBO=FCOOB=OC，OBC=OCBEBO+OBC=FCO+OCB即ABC=ACBAB=AC（3）解：不一定成立，如右图90、分析：等腰三角形ABC可能有三种情况，当A为顶角时，当B为顶角时，当C为顶角时，根据各种情况求对应度数即可解答：解：根据题意，当A为顶角时，B=C=55；当B为顶角时，A=C=70，B=40；当C为顶角时，A=B=70，C=4091、分析：（1）利用等腰三角形的性质，可以

10、证明图中有全等的三角形，进而可以得到相当的角和相等的线段（2）由于BD是等腰三角形腰上的高，所以+ACB=90，又等腰三角形中，ABC=ACB，A+ABC+ACB=180，所以+2ACB=180，即+2（90-）=180，所以=2解答：解：（1）三类不同的正确结论是：CEBBDC；ABD=ACE；AE=AD；（2）与之间的一种关系式是=2其理由是：BDAC，CBD+ACB=90，即+ACB=90AB=AC，ABC=ACB，A+ABC+ACB=180，+2ACB=180，即+2（90-）=180，=292、分析：根据等腰三角形的性质可知，1=2，B=C，由三角形外角平分线的性质可知3=C，AEB

11、C，由平行线的性质可知AEAD解答：证明：AB=AC，CD=BD，1=2，B=C，ADBC，又AE是ABC的外角平分线，3=4=（B+C）=C，AEBC，DAE+ADB=180，又ADBC，DAE=ADC=90AEAD94、分析：（1）先根据AB=AC可知ABC=C，根据三角形的内角和定理可求出C的度数；（2）由BDAC于D，可知BDC=90；再根据（1）中所求C的度数及三角形内角和定理即可求出DBC的度数解答：解：（1）AB=AC，ABC=C，C=2A，ABC=2A，A+2A+2A=180，A=36，C=2A=72；（2）BDAC于D，BDC=90，C=72，DBC=180-C-BDC=18

12、0-90-72=1895、分析：已知ABC是等腰三角形，作出BC边上的中线和高以及A的平分线，通过证三角形全等，容易证得，等腰三角形中，底边上的中线和高以及顶角的平分线三线合一解答：解：如图，过点A作ADBC于点D，在RtABD和RtACD中，AB=AC，AD=AD，RtABDRtACD（HL）BD=CD，即AD也是中线，BAD=CAD，即AD又是高线，所以等腰三角形底边上的中线、高以及顶角的角平分线重合96、分析：由于AB=BD=DC，所以ABD和BDC都是等腰三角形，可设C=CDB=x，则BDA=A=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理的推论，可以求出A，C度数解答：解：AB=BD

13、，BDA=A，BD=DC，C=CDB，设C=CDB=x，则BDA=A=2x，ABD=180-4x，ABC=ABD+CDB=180-4x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即A=50，C=2597、分析：本题可通过构建直角三角形来求解如图，过A作底边BC的垂线，那么EAC和DBC同为C的余角，因此这两角相等；根据等腰三角形三线合一的特点，可得出EAC是顶角的一半，由此可得出所求的结论解答：证明：如图：ABC是等腰锐角三角形，AB=AC，BD是腰AC上的高过点A作AEBC于点E，EAC+C=90，BDAC，DBC+C=90，DBC=EAC，AB=AC，AEBC，EAC=BAC，DBC=BAC98、分析：过点A作AFBC，利用底边线段之间的关系即可求解解答：解：BD=CE理由：作AFBC，垂足为FB=C，ADC=AEBAB=AC，AD=AEBF=CF，DF=EFBF-DF=CF-EF即BD=CE