高考北京卷理数试题含答案.docx

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高考北京卷理数试题含答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

（1）已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3}，则A?

B=

（A）{0,1}（B）{0,1,2}

（C）{-1,0,1}（D）{-1,0,1,2}

2x-y?

0,

（2）若x,y满足{x+y?

3,，则2x+y的最大值为

x?

0,

（A）0（B）3

（C）4（D）5

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1,则输出的k值为

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

（4）设a,b是向量，则"lal=lbl”是"la+bl=la-bl”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

⑹某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）6

（c）2

（D）1

冗、n

⑺将函数？

？

=sin（2?

?

--）图像上的点p（4,t）向左平移s（s>0）个单位长度

34

得到点P'若P'位于函数？

?

=sin（2?

?

的图像上，贝U

-1nv3n

（A）t=;,s的最小值为匸（B）t^~,s的最小值为~

2626

1nv3n

（C）t=,s的最小值为（D）t=,s的最小值为一

2323

（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半•甲、乙、丙是三个空盒•每次从袋中任意

取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球

（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分（非选择题共110分）

:

■、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）设a€R,若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，贝Ua=

（10）在（1-2x）6的展开式中，x2的系数为.（用数字作答）

（11）在极坐标系中，直线pcos0-V3psin0-1=0与圆p=2cosB交于A,B两点，

贝yiabi=.

（12）已知｛an｝为等差数列，Sn为其前n项和，若ai=6,83+85=0，贝U&=.

x2

（13）双曲线—-

a2

y2

訴二1（a>0,?

?

>0）的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的

直线，点B为该双曲线的焦点。

若正方形OABC的边长为2,则a=

x33xx?

a

（14）设函数f（x）={X-3X，x'a-2x，x>?

?

1若a=0,则f（x）的最大值为；

2若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是

三、解答题（共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

在ABC中，a3c3b32ac

（I）求B的大小

（II）求2cosAcosC的最大值

（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分

层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：

小时）

A班

678

B班

6789101112

C班

36912

（I）试估计C班的学生人数;

（II）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是79,（单位:

小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记m，表格中数据的平均数记为

4，试判断m和m的大小，（结论不要求证明）

（17）

（本小题14分）

PAPD

PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5

（I）求证：

PD平面PAB;

（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（III）在棱PA上是否存在点M，使得BMII平面PCD?

若存在，求AM的值；若不存在，说

AP

明理由。

（18）（本小题13分）

设函数f（x）=xeeax+bx，曲线y=f（x）dhko（2,f

（2））处的切线方程为y=（e-1）x+4,

（I）求a,b的值；

（II）求f（x）的单调区间。

（19）（本小题14分）

已知椭圆

X2y23

C：

盲每1（a>b>0）的离心率为—,A（a,0）,B（0,b）,O（0,0）,△OAB

ab2

的面积为

1.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。

求证：

lANlglBMl为定值。

（20）（本小题13分）

设数列A：

耳,a2,…aN（N>2）。

如果对小于n（2

记“G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合。

（I）对数列A:

-2,2,-1,1,3，写出G（A）的所有元素；

（II）证明：

若数列A中存在an使得an>a1，贝UG（A）；

（III）证明：

若数列A满足an-an1W1（n=2,3,…,N）,则G（A）的元素个数不小于aN-a。

2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题

（共

8小题,

每小题5

分,

共4

0分）

（1）C

（2

）C

（3）B

（4）

D

（5）C

（6

）A

（7）A

（8）

B

二、填空题

（共

6小题,

每小题5

分,

共3

0分）

（9）1

（10）<

60

（11）2

（12）

6

（13）2

（14）

2（

1）

三、解答题

（共

6小题,

共80分）

（15）（共

13分

）

因此

P（E）P（AG）P（AC2）P（A2G）P（AC2）P（A2C3）P^CJP（AsC2）P（AC3）

13

PS4C1）PS4C2）P（A4C3）HA5C1）PS5C2）PGC3）P（A5C4）15

408

（川）10.

（17）（共14分）

解：

（I）因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.

所以ABPD.

又因为PAPD,

所以PD平面PAB.

（n）取AD的中点O，连结PO,CO.

因为PAPD，所以POAD.

又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.

因为CO平面ABCD，所以POCO.

因为ACCD，所以COAD.

如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，

A（0,1,0）,B（1,1,0）,C（2,0,0）,D（0,1,0）,P（0,0,1）.

设平面PCD的法向量为n（x,y,z），则

n

PD

0,

即

y

z0,

n

PC

0,

2x

z0,

令z

2

，则

x

1,y

2.

所以

n

（1,

2,2）

又P

B

（1,1,

1），

所以

cos

n,PB

nPB

nPB

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为、

3

因此点M（0,1,）,BM（1,

即（1,,）（1,2,2）0,解得

所以在棱PA上存在点

M使得BM

//平面PCD，此时AM

AP

（18）（共13分）

解：

（I）因为f（X）

ax

xe

bx,

所以f（x）（1x）ea

依题设,

f

（2）

f⑵

2e

2,即

1,

2ea2

a

e

2b2e

2be

2,

1,

解得a

2,b

e.

（n）由

f（x）

2xxe

ex.

由f（x）

x（1

x0知，f

（x）与1

ex1同号.

令g（x）

xex1，则g（x）

1ex1

所以，当

x（,1）时，g（x）0,g（x）在区间（

1）上单调递减;

当x（1,

）时，g（x）0,g（x）在区间（1,）上单调递增.

故g

（1）1是g（x）在区间（

）上的最小值,

从而g（x）0,x

）.

综上可知，f（x）

），故f（x）的单调递增区间为（

）.

（19）（共14分）

解：

（I）由题意得

c

a

1ab

2

2a

b2

1,

2

c,

解得a2,b1.

所以椭圆C的方程为

1.

（n）由（I）知,

A（2,0）,B（0,1）,

设P（xo，yo），则x0

4yf4.

当X。

0时，直线PA的方程为y

x0y02（x2）.

令x0,得yM

2yo

xo2

.从而|BM|1yM

2yo

Xo2

直线PB的方程为

y01x1.

Xo

令y0,得Xn

Xo.从而

yo1

AN|2Xn

Xo

yo1

所以AN||BM

2y：

0i1

2yo

2

Xo

22

Xo4yo4xoyo4xo8y°

XoyoXo2yo2

4.

当Xo0时，yo1,BM2,AN2,

所以AN||BM|4.

综上，an|bm为定值.

（20）（共13分）

解:

（I）G（A）的元素为2和5.

（n）因为存在an使得ana1，所以iN2iNga1

记mminiN2iN,aia1,

则m2，且对任意正整数km,aka1am.

因此mG（A），从而G（A）.

（川）当aNa1时，结论成立.

以下设aN

a-

由（n）知

G（A）

设G（A）

□m,

np,n1

np，记no1

则anoaA1

an2

an.

lip

对i0,1,

P，记

Gik

N

nikN,aka.：

如果Gi，取miminGi，则对任何1kmi,akaniami.

从而miG（A）且mni1.

又因为np是G（A）中的最大元素，所以Gp

从而对任意np

k

n，

akanp，特别地，aNanp

对i0,1,,p

1,

ani11

ani.

因此ani1ani

11

（ani1

ani11）ani1.

p

所以aNa1

anp

p

a1

（aniani1）p.

i1

因此G（A）的元素个数p不小于aNa.