高考北京卷理数试题含答案.docx

1、高考北京卷理数试题含答案2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合 A=x|x| 0)个单位长度3 4得到点P若P位于函数？?= sin (2?的图像上，贝U-1 n v3 n(A) t=; , s的最小值为匸 (B) t , s的最小值为2 6 2 61n v3 n(C) t= , s的最小值为 (D) t= , s的最

2、小值为一23 2 3(8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就 放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球(B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球(D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分(非选择题 共110分):、填空题共6小题，每小题5分，共30分.(9) 设a R,若复数(1+i) (a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，贝U a= (10) 在(1 - 2x)6的展开式中，x2的系数为 .(用数字作

3、答)(11) 在极坐标系中，直线 pcos 0- V3 psin 0- 1 = 0与圆p = 2 cos B交于A, B两点，贝y iabi= .(12)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若ai= 6 , 83+85=0，贝U & = .x2(13)双曲线-a2y 2訴二1 (a 0,? 0)的渐近线为正方形 OABC的边OA, OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形 OABC的边长为2,则a=x3 3x x? a(14)设函数 f(x) = X - 3X，xa -2x， x ?1若a=0,则f(x)的最大值为 ；2若f(x)无最大值，则实数 a的取值范围是 三、解答题(共6小题，

4、共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)在 ABC 中，a3 c3 b3 2ac(I)求 B的大小(II)求 2 cosA cosC的最大值(16)(本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)A班6 7 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 6 9 12(I)试估计C班的学生人数;(II) 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人， A班选出的人记为甲，C班选出的人记 为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(III)

5、 再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生， 他们该周的锻炼时间分别是 7 9,(单位:小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 m，表格中数据的平均数记为4，试判断 m 和m的大小，(结论不要求证明)(17) (本小题14分)PA PD,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5(I)求证：PD平面PAB;(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(II I)在棱PA上是否存在点 M，使得BMII平面PCD?若存在，求 AM 的值；若不存在，说AP明理由。(18)(本小题13分)设函数 f(x)=xeea x +bx，曲线 y=f(x)d hko (2,

6、f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4,(I)求 a,b 的值；(I I)求f(x)的单调区间。(19)(本小题14分)已知椭圆X 2 y2 3C： 盲 每 1 (ab0)的离心率为 ,A (a,0) ,B(0,b), O (0, 0), OABa b 2的面积为1.(I)求椭圆C的方程；(I I)设P的椭圆C上一点，直线 PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。 求证：lANlg lBMl为定值。(20)(本小题13分)设数列A：耳,a2 ,aN (N 2)。如果对小于n(2 na1，贝U G (A) ；(I I I)证明：若数列A满足an- an 1 W 1 ( n=2,3,N)

7、,则G( A)的元素个数不小于 aN -a。2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1) C(2)C(3) B(4)D(5) C(6)A(7) A(8)B二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9) 1(10) 60(11) 2(12)6(13) 2(14)2 (,1)三、解答题(共6小题,共 80 分)(15)(共13分)因此P(E) P(AG) P(AC2)P(A2G) P(AC2)P(A2C3)PCJ P(AsC2)P(AC3)1 3PS4C1) PS4C2) P(A4C3)HA5C1) PS5C2) PGC3

8、) P(A5C4)1540 8(川)1 0.（17）（共 14 分）解：（I）因为平面 PAD 平面ABCD , AB AD , 所以AB 平面PAD .所以AB PD .又因为PA PD ,所以PD 平面PAB .(n)取AD的中点O，连结PO,CO .因为PA PD，所以PO AD .又因为PO 平面PAD，平面PAD 平面ABCD , 所以PO 平面ABCD .因为CO 平面ABCD，所以PO CO.因为AC CD，所以CO AD .如图建立空间直角坐标系 O xyz.由题意得，A(0,1,0), B(1,1,0),C(2,0,0),D(0, 1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法

9、向量为n (x,y,z)，则nPD0,即yz 0,nPC0,2xz 0,令z2，则x1,y2.所以n(1,2,2)又PB(1,1,1)，所以cosn, PBn PBn PB所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 、3因此点 M (0,1 , ),BM ( 1,即(1, , ) (1, 2,2) 0 ,解得所以在棱PA上存在点M使得BM/平面PCD，此时AMAP(18)(共 13 分)解：(I)因为f(X)a xxebx ,所以 f (x) (1 x)ea依题设,f(2)f2e2,即1,2ea 2ae2b 2e2 b e2,1,解得a2,be.(n)由f(x)2 x xeex.由 f (x)x

10、(1x 0 知，f(x)与 1ex1同号.令 g(x)x ex 1，则 g (x)1 ex1所以，当x ( ,1)时，g (x) 0 , g(x)在区间(,1)上单调递减;当 x (1,)时，g (x) 0 , g(x)在区间(1,)上单调递增.故g(1) 1是g(x)在区间()上的最小值,从而 g (x) 0, x).综上可知，f (x)，故f (x)的单调递增区间为().(19)(共 14 分)解：(I)由题意得ca1ab22 ab21,2c ,解得a 2,b 1.所以椭圆C的方程为1.(n)由(I)知,A(2,0), B(0,1),设 P(xo，yo)，则 x04yf 4.当X。 0时，

11、直线PA的方程为yx0y02(x 2).令x 0 ,得yM2 yoxo 2.从而 |BM | 1 yM2yoXo 2直线PB的方程为y0 1x 1.Xo令y 0 ,得XnXo .从而yo 1AN |2 XnXoyo 1所以AN| |BM2 y：0i 12yo2Xo2 2Xo 4yo 4xo yo 4xo 8yXoyo Xo 2yo 24.当 Xo 0时，yo 1, BM 2, AN 2,所以 AN| |BM| 4.综上，an |bm为定值.(20)(共 13 分)解: (I) G(A)的元素为2和5.(n)因为存在an使得an a1，所以i N 2 i Ng a1记 m mini N 2 i

12、N,ai a1 ,则m 2，且对任意正整数k m, ak a1 am.因此m G( A)，从而G( A) .(川)当aN a1时，结论成立.以下设aNa-由（n）知G(A)设 G(A) m,np ,n1n p，记 no 1则 ano aA1an2an .lip对 i 0,1,P，记Gi kNni k N,ak a.：如果 Gi ，取 mi minGi ，则对任何 1 k mi ,ak ani ami .从而 mi G(A)且 m ni 1.又因为np是G(A)中的最大元素，所以 Gp从而对任意 npkn，ak anp ，特别地， aN an p对 i 0,1, ,p1,ani 1 1ani .因此 ani 1 ani11(ani 1ani 1 1) ani 1.p所以 aN a1anppa1(ani ani 1 ) p.i1因此G(A)的元素个数p不小于aN a .