导数知识点总结经典例题及解析近年高考题带答案.docx

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导数及其应用

【考纲说明】

1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。

2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

【知识梳理】

导数

导数的概念

导数的运算

导数的应用

导数的几何意义、物理意义

函数的单调性

函数的极值

函数的最值

常见函数的导数

导数的运算法则

一、导数的概念

函数y=f（x）,如果自变量x在x0处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x0+）－f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+之间的平均变化率，即=。

如果当时，有极限，我们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f’（x0）或y’|。

即f（x0）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x0处可导，是指时，有极限。

如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x0处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：

（1）求函数的增量=f（x0+）－f（x0）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’（x0）=。

二、导数的几何意义

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。

相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。

三、几种常见函数的导数

①②③;④;

⑤⑥;⑦;⑧.

四、两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：

两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和（或差），

即：

（

法则2：

两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：

两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：

分解——求导——回代。

法则：

y＇|x=y＇|u·u＇|x

五、导数应用

1、单调区间：

一般地，设函数在某个区间可导，

如果，则为增函数；

如果，则为减函数；

如果在某区间内恒有，则为常数；

2、极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3、最值：

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?

（x）在（a，b）内的极值；

②求函数?

（x）在区间端点的值?

（a）、?

（b）；

③将函数?

（x）的各极值与?

（a）、?

（b）比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．定积分

（1）概念：

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

，即＝（ξi）△x。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式。

基本的积分公式：

＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）；

dx＝ln＋C；＝＋C；

＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。

（2）定积分的性质

①（k为常数）；

②；

③（其中a＜c＜b。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a

如果图形由曲线y1＝f1（x），y2＝f2（x）（不妨设f1（x）≥f2（x）≥0），及直线x＝a，x＝b（a

【经典例题】

【例1】（2012广东）曲线y=x3-x+3在点（1,3）处的切线方程：

。

【解析】先对函数y=x3-x+3求导，得：

y=3x2-1。

代入点（1,3）求出斜率，k=2。

设切线方程为y-3=2（x-1），得切线方程为：

y=2x+1。

【例2】（2012辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A的纵坐标为。

【解析】抛物线变形为：

y=x2。

求导y,=x。

代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：

4，-2。

点P，Q两点坐标为（4,8），（-2,2）。

得出两切线为：

y=4x-8，y=-2x-2。

两直线交点为（1,-4）。

所以交点的纵坐标为-4。

【例3】（2011课标）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为x+2y-3=0。

（1）求a，b的值；

（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>，求k的取值范围。

b=1

f（x）=1

【解析】

（1）f,（x）=由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点（1,1），

=

f,

（1）=

故即解得a=1，b=1。

（2）由

（1）知，所以。

考虑函数，则。

（i）设，由知，当时，。

而，故

当时，，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设00,故h’（x）>0,而h

（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时h’（x）>0,而h

（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0].

【例4】（2012山东）已知函数f（x）=（k为常数，e=……是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）,其中为f（x）的导函数，证明：

对任意x＞0，。

【解析】由f（x）=可得，而，即，解得；

（Ⅱ），令可得，

当时，；当时，。

于是在区间内为增函数；在内为减函数。

（Ⅲ），

当时，，.

当时，要证。

只需证，然后构造函数即可证明。

【例5】（2012北京）已知函数，其中.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）

【解析】（Ⅰ），（），在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.

（Ⅱ）设切点坐标为，则解得，.

（Ⅲ），则解，得，

所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.

当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.

当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.

当，即时，的最大值为和中较大者；

，解得，所以，时，最大值为，时，最大值为.

综上所述，当时，最大值为，

当时，的最大值为.

【例6】（2012重庆）已知函数在处取得极值为

（1）求、b的值；

（2）若有极大值28,求在上的最大值。

【解析】错误！

未找到引用源。

（Ⅰ）因故由于在点处取得极值

故有即,化简得解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

令，得当时,故在上为增函数；当时,故在上为减函数当时，故在上为增函数。

由此可知在处取得极大值，在处取得极小值由题设条件知得，

此时,因此上的最小值为。

【例7】（2011安徽）设，其中为正实数

（Ⅰ）当时，求的极值点；

（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。

【解析】

（1）f'（x）=当a=时令f'（x）=0解得x=或x=

当x时，f'（x）>0;当x时，f'（x）<0;

当x，f'（x）>0,所以f（x）在x=处取得极大值，在x=处取得极小值。

（2）若为上的单调函数则f'（x）恒大于等于零或f'（x）恒小于等于零，

因为a>0所以Δ=（-2a）2-4a≤0，解得0

【课堂练习】

一、选择题

1.（2011全国）曲线y=e-2x+1在点（0,2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）

ABCD1

2.（2010课标全国）曲线在点（-1,-1）处的切线方程为（）

Ay=2x+1 By=2x-1 Cy=-2x-3 Dy=-2x-2

3.（2012陕西）设函数f（x）=xex,则（）

Ax=1为f（x）的极大值　Bx=1为f（x）的极小值　

Cx=-1为f（x）的极大值　Dx=-1为f（x）的极大值

4.（2008广东理）设，若函数，有大于零的极值点，则（）

A．（2008江西、山西、天津理科）函数有（）

A极小值－1，极大值1B极小值－2，极大值3

C极小值－2，极大值2D极小值－1，极大值3

6.（2006湖南理科）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,

＞0.且，.则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）

AB

CD

7.（2007海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． D.

8.（2008湖北理）若f（x）=上是减函数，则b的取值范围是（）

A.[-1，+∞]B.（-1，+∞）Ｃ.D.（-∞，-1）

9．（2005江西理科）已知函数的图像如右图所示（其中是函数，下面四个图象中的图象大致是（）

ABＣD

（1）（2006江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（）

ABCD

二、填空题：

11.（2007湖北文）已知函数的图象在M（1，f

（1））处的切线方程是+2，f

（1）—f’

（1）=______________.

12.（2007湖南理）函数在区间上的最小值是.

13.（2008全国Ⅱ卷理）设曲线在点处的切线与直线垂直，则.

14.（2006湖北文）半径为r的圆的面积S（r）＝r2,周长C（r）=2r，若将r看作（0，＋∞）上的变量，则＝2r，式可以用语言叙述为：

对于半径为R的球，若将R看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于的式子：

式可以用语言叙述为：

.

三、解答题：

15.（2005重庆文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：

且生产x吨的成本为（元）。

问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

最大利润是多少？

（利润=收入─成本）。

16.（2008重庆文）设函数若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：

（Ⅰ）a的值;

（Ⅱ）函数f（x）的单调区间.

17.（2008全国Ⅰ卷文、理）已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

3.（2006浙江理）设曲线≥0）在点M（t,）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。

（Ⅰ）求切线的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值。

19.（2007海南、宁夏文）设函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．

20.（2007安徽理）设a≥0，f（x）=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞