第五讲点在数轴上的运动.docx

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第五讲点在数轴上的运动

一．解答题（共15小题）

1．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．

（1）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的之和为5？

若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；

（2）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动．问，它们同时出发几分钟时点P到点A、点B的距离相等？

2．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．

（1）若点P到A，B两点的距离相等，求点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到A，B的距离之和为5？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）当点P以每分钟1个单位长的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到A，B两点的距离相等？

3．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N为数轴上两个动点，点M从A点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N从B点出发向右运动，速度为M点的3倍，经过多长时间，点M与点N相距50个单位长度？

这时点M、N所对应的数分别是多少？

4．已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且（b+10）2+|a﹣20|=0，P是数轴上的一个动点．

（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．

（2）当P点满足PB=2PA时，求P点对应的数．

（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推，…点P能够移到与A、B重合的位置吗？

若能，请探索第几次移动时重合；若不能，请说明理由．

5．在一条数轴上有A、B两点，点A表示数﹣4，点B表示数6，点P是该数轴上的一个动点（不与A、B重合）表示数x．点M、N分别是线段AP、BP的中点

（1）如果点P在线段AB上，则点M表示的数是　　，则点N表示的数是　　（用含x的代数式表示），并计算线段MN的长；

（2）如果点P在点B右侧，请你计算线段MN的长；

（3）如果点P在点A左侧，则线段MN的长度会改变吗？

如果改变，请说明理由；如果不变，请直接写出结果．

6．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）写出数轴上点B表示的数　　；当t=3时，OP=　　

（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？

（3）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度？

7．动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动，且A、B的速度之比是1：

4（速度单位：

长度单位/秒），3秒后，A、B两点相距15个单位长度．

（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置．

（2）若A、B两点从

（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？

8．如图，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足（a+5）2+|b﹣1|=0

（1）求数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数；

（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：

是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

9．如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）．

（1）线段BA的长度为　　；

（2）当t=3时，点P所表示的数是　　；

（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；

（4）在运动过程中，若OP中点为Q，则QB的长度是否发生变化？

若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含t的代数式QB的长度．

10．如图，数轴原点为O，A、B是数轴上的两点，点A对应的数是1，点B对应的数是﹣4，动点P、Q同时从A、B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）AB两点间的距离是　　；

动点P对应的数是　　；（用含t的代数式表示）

动点Q对应的数是　　；（用含t的代数式表示）

（2）几秒后，点O恰好为线段PQ中点？

（3）几秒后，恰好有OP：

OQ=1：

2？

11．已知数轴上A点表示数a，C点表示数c，且a、c满足|a+24|+（c﹣8）2=0，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．

（1）点A表示的数为　　，点B表示的数为　　．

（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：

PA=　　，PC=　　．

（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q运动过程中，点P与点Q能否重合？

若能，请求出点Q运动的时间．

12．阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．

当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A、B两点都不在原点时，

如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　　；

（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣2，则点A和B之间的距离是　　，若|AB|=2，那么x为　　；

（3）当x是　　时，代数式|x+2|+|x﹣1|=5；

（4）若点A表示的数﹣1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒

个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？

（请写出必要的求解过程）

13．去年“十•一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表：

（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）

日期

10月1日

10月2日

10月3日

10月4日

10月5日

10月6日

10月7日

人数变化（万人）

+1.6

+0.8

+0.4

﹣0.4

﹣0.8

+0.2

﹣1.4

（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？

最少的是哪天？

它们相差多少万人？

（2）若9月30日游客人数为3万人，门票每人次200元，2%的游客符合免费条件，8%的游客符合减半收费条件，求该风景区7天门票总收入是多少万元？

14．小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：

（单位：

元）

星期

一

二

三

四

五

每股涨跌（元）

﹣0.5

+1.5

﹣1.8

+0.8

根据上表回答问题：

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？

15．从2016年1月1日开始，北京市居民生活用气阶梯价格制度正式实施，一般生活用气收费标准如下表所示，比如6口以下的户年天然气用量在第二档时，其中350立方米按2.28元/m3收费，超过350立方米的部分按2.5元/m3收费．小锋一家有五口人，他想帮父母计算一下实行阶梯价后，家里天然气费的支出情况．

（1）如果他家2017年全年使用200立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？

（2）如果他家2017年全年使用400立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？

（3）如果他家2016年需要交1563元天然气费，他家2016年用了多少立方米天然气？

参考答案与试题解析

一．解答题（共15小题）

1．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．

（1）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的之和为5？

若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；

【解答】解：

（1）当P在A点左侧时：

3﹣x+（﹣1﹣x）=5，

解得：

x=﹣

；

当P在B右侧时，x﹣3+x﹣（﹣1）=5，

解得：

；

当P在A、B之间时，x不存在；

（2）①设它们同时出发a分钟时点P到点A、点B的距离相等，此时A，B不重合，由题意得：

﹣a﹣（﹣5a﹣1）=（3﹣20a）﹣（﹣a），

解得：

．

②当A，B重合时，

20a=5a+4，

解得：

，

答：

它们同时出发

分钟或

分钟时点P到点A、点B的距离相等．

2．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，P为数轴上的动点，其对应的数为x．

（1）若点P到A，B两点的距离相等，求点P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使点P到A，B的距离之和为5？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

【解答】解：

（1）∵1﹣（﹣1）=2，2的绝对值是2，1﹣3=﹣2，﹣2的绝对值是2，

∴点P对应的数是1．

（2）当P在A左侧时，3﹣x+（﹣1﹣x）=5，

解得：

x=﹣

；

当P在B右侧时，x﹣3+x﹣（﹣1）=5，

解得：

；

当P在A、B之间时，x不存在；

综上所述，x=﹣

或x=

；

（3））①当B未追上A时，﹣x+1+5x=3﹣20x+x，

解得：

；

∴

分钟时点P到点A、点B的距离相等．

②B追上A时，20x=5x+4，

解得：

，

∴

分钟时点P到点A、点B的距离相等．

答：

当经过

或

分钟时，点P到点A，点B的距离相等．

这时点M、N所对应的数分别是多少？

【解答】解：

设经过x秒点M与点N相距50个单位．

依题意可列方程为：

2x+6x﹣14=50，

解方程，得x=8．

2x=16，16﹣6=10，即点M所对应的数是﹣10．

6x=48，48﹣8=40，即点N所对应的数是40．

答：

经过8秒点M与点N相距50个单位，这时点M、N所对应的数分别是﹣10，40．

4．已知A、B在数轴上对应的数分别用a、b表示，且（b+10）2+|a﹣20|=0，P是数轴上的一个动点．

（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．

（2）当P点满足PB=2PA时，求P点对应的数．

若能，请探索第几次移动时重合；若不能，请说明理由．

【解答】解：

（1）∵（b+10）2+|a﹣20|=0，

∴b+10=0，a﹣20=0，

∴b=﹣10，a=20．

A、B的位置如图所示：

∴AB=|﹣10﹣20|=30；

（2）设P点对应的数为x，当P点满足PB=2PA时，分三种情况讨论：

①若点P在点B的左侧，则PB＜PA，与PB=2PA不符，舍去；

②若点P在AB之间，则x﹣（﹣10）=2（20﹣x），

解得x=10；

③若点P在点A的右侧，则x﹣（﹣10）=2（x﹣20），

解得x=50，

综上所述，P点对应的数为10或50；

（3）由题可得，第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，点P表示的数依次为﹣3，4，﹣5，6…，

∴第n次为（﹣1）n•n，

∵点A表示20，点B表示﹣10，

∴当n=20时，（﹣1）n•n=20；

当n=10时，（﹣1）n•n=10≠﹣10，

∴第20次P与A重合；点P与点B不重合．

5．在一条数轴上有A、B两点，点A表示数﹣4，点B表示数6，点P是该数轴上的一个动点（不与A、B重合）表示数x．点M、N分别是线段AP、BP的中点

（1）如果点P在线段AB上，则点M表示的数是　

　，则点N表示的数是　

　（用含x的代数式表示），并计算线段MN的长；

（2）如果点P在点B右侧，请你计算线段MN的长；

（3）如果点P在点A左侧，则线段MN的长度会改变吗？

如果改变，请说明理由；如果不变，请直接写出结果．

【解答】解：

（1）如图1所示，

∵点A表示数﹣4，点B表示数6，点P表示数x，点M、N分别是线段AP、BP的中点，

∴点M表示

，点N表示

，

∴MN=

﹣

=5，

故答案为：

，

；

（2）如图2所示，

∵点A表示数﹣4，点B表示数6，点P表示数x，点M、N分别是线段AP、BP的中点，

∴点M表示

，点N表示

，

∴MN=

﹣

﹣=5；

（3）不会改变，MN=5，理由同

（2）．

（1）写出数轴上点B表示的数　﹣4　；当t=3时，OP=　18　

（2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？

（3）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度？

【解答】解：

（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，

∴BO=4，

∴数轴上点B表示的数为：

﹣4，

∵动点P从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

∴当t=3时，OP=18；

故答案为：

﹣4，18；

（2）如图1，设点R运动x秒时，在点C处追上点P，则OC=6x，BC=8x，

∵BC﹣OC=OB，

∴8x﹣6x=4，

解得：

x=2，

∴点R运动2秒时，在点C处追上点P．

（3）设点R运动x秒时，PR=2．

分两种情况：

如图2，一种情况是当点R在点P的左侧时，

8x=4+6x﹣2，

即x=1；

如图3，另一种情况是当点R在点P的右侧时，8x=4+6x+2，

即x=3．

综上所述R运动1秒或3秒时PR相距2个单位．

7．动点A、B同时从数轴上的原点出发向相反的方向运动，且A、B的速度之比是1：

4（速度单位：

长度单位/秒），3秒后，A、B两点相距15个单位长度．

（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置．

（2）若A、B两点从

（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间？

【解答】解：

（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，根据题意得：

3（x+4x）=15

解得：

x=1，

则4x=4．

答：

动点A的速度是1单位长度/秒，动点B的速度是4单位长度/秒；

标出A，B点如图：

（2）设y秒时，原点恰好处在两个动点的正中间，根据题意得：

3+y=12﹣4y

解得：

y=1.8，

答：

1.8秒时，原点恰好处在两个动点的正中间．

8．如图，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且满足（a+5）2+|b﹣1|=0

（1）求数轴上到点A、点B距离相等的点C对应的数；

（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：

是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）∵（a+5）2+|b﹣1|=0，

∴a=﹣5，b=1．

设点C对应的数为x，则BC=1﹣x，AC=x+5，

∵BC=AC，

∴1﹣x=x+5，解得：

x=﹣2，

∴点C对应的数为﹣2．

（2）假设存在，点P对应的数为﹣5+2t，

∴PA=2t，PB=|﹣5+2t﹣1|=|2t﹣6|，

∵PA=2PB，

∴2t=2×|2t﹣6|．

当2t=4t﹣12时，t=6；

当2t=12﹣4t时，t=2．

故存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，此时t的值为2秒或6秒．

（1）线段BA的长度为　5　；

（2）当t=3时，点P所表示的数是　6　；

（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；

（4）在运动过程中，若OP中点为Q，则QB的长度是否发生变化？

若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含t的代数式QB的长度．

【解答】解：

（1）∵B是线段OA的中点，

∴BA=

OA=5；

故答案为：

5；

（2）当t=3时，点P所表示的数是2×3=6，

故答案为：

6；

（3）当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t，

当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20﹣2t；

（4）QB的长度发生变化，

当0≤t≤5时，QB=5﹣t，

当5≤t≤10时，QB=5﹣

（20﹣5t）=t﹣5．

（1）AB两点间的距离是　5　；

动点P对应的数是　1+t　；（用含t的代数式表示）

动点Q对应的数是　﹣4+3t　；（用含t的代数式表示）

（2）几秒后，点O恰好为线段PQ中点？

（3）几秒后，恰好有OP：

OQ=1：

2？

【解答】解：

（1）AB两点间的距离是1﹣（﹣4）=5；

动点P对应的数是1+t；（用含t的代数式表示）

动点Q对应的数是﹣4+3t；（用含t的代数式表示）

故答案为：

5，1+t，﹣4+3t；

（2）设t秒后，点O恰好为线段PQ中点，依题意有

1+t+（﹣4+3t）=0，

解得t=

．

故

秒后，点O恰好为线段PQ中点；

（3）P、Q在原点的两边，

2（1+t）+（﹣4+3t）=0，

解得t=

．

P、Q在原点的一边，

2（1+t）=（﹣4+3t），

解得t=6．

故

或6秒后，恰好有OP：

OQ=1：

2．

（1）点A表示的数为　﹣24　，点B表示的数为　﹣8　．

（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：

PA=　t　，PC=　32﹣t　．

若能，请求出点Q运动的时间．

【解答】解：

（1）∵|a+24|+（c﹣8）2=0，

∴a+24=0，c﹣8=0，

解得：

a=﹣24，c=8，

∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数，

∴点B表示的数为﹣8，

故答案为：

﹣24，﹣8；

（2）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，

∴PA=t，

∵AC=32，

∴PC=32﹣t，

故答案为：

t，32﹣t；

（3）设点Q运动x秒时，点P和点Q重合．

当点Q从点A向点C运动时

3x﹣x=16，

解得：

x=8，

当点Q从点C向点A运动时，

3x+x+16=32×2，

x=12，

答：

点Q运动8秒或12秒追上．

12．阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．

当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A、B两点都不在原点时，

如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　4　；

（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是﹣2，则点A和B之间的距离是　|x+2|　，若|AB|=2，那么x为　0或﹣4　；

（3）当x是　﹣3或2　时，代数式|x+2|+|x﹣1|=5；

个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？

（请写出必要的求解过程）

【解答】解：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5﹣2|=3；

数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|﹣3﹣1|=4；

故答案为：

3，4；

（2）∵点A表示的数是x，点B表示的数是﹣2，

∴点A和B之间的距离|x﹣（﹣2）|=|x+2|；

当|AB|=2时，|x+2|=2，

解得x=0或﹣4；

故答案为：

|x+2|，0或﹣4；

（3）∵|x+2|+|x﹣1|=5，

∴①当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1=5，解得x=﹣3；

②当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1=5，此方程无解；

③当x＞1时，x+2+x﹣1=5，解得x=2；

故答案为：

﹣3或2；

（4）设运动n秒后，点Q可以追上点P，

∵点B与点A的距离是10，

∴3n﹣

n=10，

解得n=4，

∴运动4秒后，点Q可以追上点P．

13．去年“十•一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表：

（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）

日期

10月1日

10月2日

10月3日

10月4日

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