等腰三角形三线合一.docx
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等腰三角形三线合一
等腰三角形三线合一
1、如图，已知AC平分/BAD,CE丄AB于E,
CF丄AD于F,且BC="CD."
（1）
求证：
△BCE◎△DCF
（2）若AB=17,AD=9,求AE的长.
2、如图，已知AB=AC,/A=36°AB的中垂线
MN交AC于点D,交AB于点M,
求证：
（1）BD平分/ABC;
（2）△BCD为等腰三角形.
3、已知：
如图/BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE丄AB,DF丄AC,垂足分别为E,F.
⑴试说明：
BE=CF;
⑵若AF=3,BC=4，求△ABC的周
长.
4、如图，△ABC中，AC=BC,ZACB=90°点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G,连接
BE、BF、GD
5、如图，在等腰Rt△ABC中，/C=90°D是斜边上AB上任一点，AE丄CD于E,BF丄CD交CD的延长线于F，CH丄AB于H点，交AE
于G.
（1）试说明AH=BH
（2）求证：
BD=CG.
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系
6、（本题14分）如图
（1）,在厶ABC和厶EDC
中，DABC边AC上一点，CA平分/BCE,
BC=CD,AC=CE.
圈⑷09
（2）
（1）求证：
△ABCEDC;
（2）如图
（2）,若/ACB=60°连接BE交
AC于F,G为边CE上一点，满足CG=CF,连接DG交BE于H.
1求/DHF的度数；
2
BE平分/ABC.
若EB平分/DEC,试说明:
参考答案
1、
（1）证明见解析
（2）1
2、
（1）证明见解析
（2）证明见解析
3、
（1）证明详见解析；
（2）10.
4、
（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
5、
（1）见解析；
（2）见解析；（3）AE=EF+BF，理由见解析
6、
（1）略
（2）①/DHF="60°"②略
【解析】
1、试题分析：
（1）根据角平分线的性质可以得出CF="CE,"在证明就可以得出
DF=BE；
⑵先证明，就可以得出AF=AE，设
DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.
试题解析：
（1）TAC平分/BAD,CE丄AB于
E,CF丄AD于F
・•・CE=CF,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
•・•CE=CF
BC=CD,
・•・Rt△BCE也Rt△DCF（HL）.
（2）由
（1）得，Rt△BCE也Rt△DCF
・•・DF=EB，设DF=EB=X
由Rt△AFC也Rt△AEC（HL）
可知AF=AE即：
AD+DF=AB-BE
•・•AB=17,AD=9,DF=EB=x
9+x=17-x解得，x=4
.•・AE=AB-BE=17-4=1
点睛：
本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：
全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
2、试题分析：
（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M,求得△ABD是等腰三角形，即可求得/ABD的度数，然后根据等边对等角，求得/DBC的度数，从而得证；
（2）根据
（1）的结论和外角的性质，可得
/BDC=/C,再根据等角对等边得证.
试题解析：
（I）：
MN为AB的中垂线，
••AD=BD,
贝A=/ABD=36,
•・•AB=AC，/A=36°,
•/ABC=/C=72°，
•/DBC=3°6，
因此，BD平分/ABC；
（2）由①和/2="36°/C="72°",
•/BDC=18°0-36°-72°=72°，
・•・/C=/ABD+/DBC=/BDC,
・•・△BCD为等腰三角形.
3、试题分析：
（1）连接DB、DC,根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：
DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED也Rt△CFD（HL）,得出结论；
（2）先证明△AEDAFD，得AF=AE=3,再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF-CF+BC，代入求值即可．
试题解析：
连接DB、DC，
（1）：
AD平分/BAC,DE丄AB,DF丄AC,・・・DE=DF,
：
DG垂直平分BC,
••DB=DC,
在Rt△BED和Rt△CFD中，
DE=DF，BD=CD，
・•・Rt△BED也Rt△CFD（HL）,
•BE=CF；
（2）T/DAE=/DAF,ZAED=/AFD=90,AD=AD,
・•・△AEDBAAFD,
•AF=AE=3,
由
（1）得：
BE=CF,
•△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF-CF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10．
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.
4、试题分析：
（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF,CD=DE,推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出
△BEF是直角三角形，求出
/AFC=/BEC=/ACD=90，/CAF=/ECB,
根据全等三角形的判定定理得出
△ACF◎△CBE，根据全等三角形的性质得证；
（2）作/ACB的平分线交AD于M,根据ASA
推出△ACMCBG得出/ADC=/M,CD=BM，根据SAS推出△DCMDBG，求出/M=/BDG,即可得出答案.
试题解析：
（1）连接DE,
•・•点E、C关于AD对称，・•・AD为CE的垂直平分线，
・•・CD=DE,•・•D为CB中点，・•・CD=DE=DB,
・•・/DCE=/CED，/DEB=/DBE,
•・•/DCE+/CED+/DEB+/DBE=180,
・•・/CEB=90,
•・•/ECB+/ACF=90，/CAF+/ACF=90,
・•・/ECB=/CAF,
在厶ACF和厶CBE中，
MAF=^BCE
{AC=CB
・・
・•・△ACFCBE（AAS）,
・•・CF=BE，右・CF=EF，二EF=EB,
・•・△EFB为等腰直角三角形.
（2）作/ACB的平分线交AD于M,
在厶ACM和厶CBG中，
ZJCAS1=ZBCG
（AC=CB
・・\-_:
・•・△ACMCBG（ASA）,
••CM=BG,
在厶DCM和厶DBG中，
MC=GB
（ZMCD=ZGBD=45s
・・__
・•・△DCMDBG（SAS）,
・•・/ADC=/GDB.
5、试题分析：
（1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△ACGCBD，根据全等三角形的性质证明；
（3）证明△ACECBF即可.
试题解析：
（1）・AC=BC,CH丄AB・•・AH=BH
（2）・ABC为等腰直角三角形，且CH丄AB
:
丄ACG=45°
•・•/CAG+/ACE=90°°/BCF+/ACE=90・•・/CAG=ZBCF
在厶ACG和厶CBD中
^.CAG=ZBCD
{AC=CB
ZACg_CBD
・•・△ACGCBD（ASA）
BD=CG
（3）AE=EF+BF
理由如下：
在厶ACE和厶CBF中，
ZCAE=ZBCF
2AE8ZCFE
AC^CB
・•・△ACECBF,
・•・AE=CF,CE=BF,
・•・AE=CF=CE+EF=BF+EF.
6、（I）：
CA平分/BCE,
:
丄ACB=ZACE.
在厶ABC和厶EDC中
•・•BC=CD，/ACB=ZACE,AC=CE
・•・△ABCBAEDC（SAS）
（2）①在△BCF和厶DCG中
•・•BC=DC,ZBCD=ZDCE,CF=CG,
・•・△BCFBADCG（SAS）,
•••/CBF=ZCDG.
•・•/CBF+ZBCF=ZCDG+ZDHF
:
丄BCF=/DHF=60°.
②•・•EB平分/DEC,
・•・/DEH=/BEC.
•・•/DHF=60°,
:
丄HDE=60°/DEH.
•・•/BCE=60°+60°=120°,
:
丄CBE=180°-120°/BEC=60°/BEC.
:
丄HDE=/CBE./A=/DEG.
•・•△ABC◎△EDC,△BCF◎△DCG（已证）・•・//BFC=ZDGC,
•・•/ABF=ZBFC-/A,/HDE=ZDGC-ZDEG,:
丄ABF=/HDE,
・•・/ABF=/CBE,
・•・BE平分/ABC.
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