最新中考数学八大单元高分突破第七单元图形与变换.docx

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最新中考数学八大单元高分突破第七单元图形与变换

第七单元图形与变换

第１课时　图形平移、对称与旋转（含位似）

第２课时　投影与视图（含尺规作图）

第１课时　图形平移、对称与旋转（含位似）

考点１　图形的平移

１．定义：

把图形上所有的点都按　同一方向　　移动相同的距离叫做平移，原来的图形叫做原像，在新位置的图形叫做该图形在平移下的像．

２．性质：

ａ．平移不改变图形的形状和　大小　（如长度、角度、面积以及平行关系等）；ｂ．平移还不改变直线的　方向　　；ｃ．一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等　　．

考点２　图形的对称

１．轴对称图形与中心对称图形

２．常见轴对称图形、中心对称图形

（１）常见的轴对称图形：

等腰三角形、

等腰梯形、菱形、矩形、正方形等；

（２）常见的中心对称图形：

平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；

（３）常见的既是中心对称图形又是轴对称图形：

菱形、矩形、正方形、正六边形，圆等.

３．轴对称与中心对称

考点３　图形的旋转

１．定义：

将一个平面图形F上的每一个点绕这个平面内一个　定点旋转同一个角度　　　（即把F上每一个点与定点的连线绕定点旋转角α）得到图形F’，图形的这种变换就叫旋转，这个定点叫旋转中心，角叫作旋转角．

２．旋转的三大要素：

　旋转中心　　、旋转方向和旋转角．

３．旋转的性质：

①对应点到旋转中心的距离　　相等　；②对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于　旋转角　　；③旋转不改变图形的形状和大小．

考点４　网格中图形变换作图

１．平移作图的基本步骤

（１）根据题意，确定平移方向和平移距离；

（２）找出原图形的关键点；

（３）按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各关键点的对应点；

（４）按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到平移后的图形．

２．对称作图的基本步骤

轴对称（或中心对称）图形的作法：

先找出图形的各顶点，作出它们关于对称轴（或原点）的对称点，然后根据原图连接各顶点的对称点即可．

３．旋转作图的基本步骤

（１）根据题意，确定旋转中心及旋转方向、旋转角

（２）找出原图形的关键点

（３）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点

（４）按原图形依次连接得到的各关键点的对应点，得到旋转后的图形．

４．位似作图的基本步骤

（１）确定位似中心；

（２）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点

（３）画出新图形

题型一　对称图形的识别

例１　随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（　A　）

【解析】在Ａ选项中，图形按其中心旋180°后能与原图重合，是中心对称图形，而其他三项都按其中心旋转180°后不能与原图重合，所以不是中心对称图形．

【点评与拓展】识别中心对称图形的方法是将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点是对称中心；而识别轴对称图形的方法是把一个图形沿着一条直线翻折过来，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．

变式题１　下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）

【解析】

题型二　网格中图形变换作图

例２　如图，方格纸中的每个小正方形边长都是１个单位长度，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点Ａ的坐标为（1,1）点Ｂ的坐标为（4,1）.

（１）先将Rt△ABC向左平移５个单位长度，再向下平移１个单位长度得到Rt△A1B1C1，试在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

（２）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A1B2C2，试在图中画出Rt△A1B2C2.

【思路分析】（１）根据网格结构找出点A、B、C移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；（２）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A1、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．

解：

（1）Rt△A1B1C1如图所示；A1（-4，0）.

（2）Rt△A1B2C2如图所示.

变式题２　如图，在边长为１的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的顶点上．

【点评与拓展】轴对称的基本作图步骤是：

（１）先找出已知图形中能够确定形状的关键点，如顶点、端点或中点等；（２）分别过这些关键点向对称轴作垂线，并延长至另一侧，使其两侧的线段相等，得到的点为这些关键点的对称点；（３）顺次连接作出的点，即可得到已知图形的对称图形．当然，作格点图形的对称图形，可以用数格点法显得简单．

题型三　旋转操作的相关证明与计算

例３如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，将△ABC绕点Ｂ沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.

（１）线段A1C1的长度是　　10　　，∠CBA1的度数是　135°　　　．

（２）连接CC1，求证：

四边形CBA1C1是平行四边形．

【思路分析】（１）由于将△ABC绕点Ｂ沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1，根据旋转的性质可以得到A1C1＝AC，∠CBC1＝90°，而△ABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出∠CBA1的度数；（２）由∠A1C1B=∠C1BC＝90°可以得到A1C1∥BC，又A1C1＝AC＝BC，利用平行四边形的判定即可明题目的问题．

（１）解：

∵将△ABC绕点Ｂ沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1，∴A1C1＝10，∠CBC1＝90°，而△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A1BC1＝45°，∴∠CBA1=135°；

（２）证明：

∵∠A1C1B=∠C1BC=90°，

∴A1C1∥BC.又∵A1C1=AC=BC，

∴四边形CBA1C1是平行四边形

【难点分析】本题难点在于利用旋转的性质得到相等的边和角，进而利用等腰直角三角形的性质求得角度.

变式题３　如图，在△ABC中AB=BC=1,∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转30°得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F.

（1）求证：

四边形BC1DA是菱形；

（2）求ED的长.

（1）证明：

∵∠ABC=120°，AB=BC，

∴∠A=（180°-120°）÷2=30°，

由题意可知∠A1=∠A=30°，

∵旋转角为30°，

∴∠ABA1=30°，

∴∠A1=∠ABA1，

∴A1C1∥AB，

同理AC∥BC1，

∴四边形BC1DA是平行四边形，

∵AB=BC1，

∴四边形BC1DA是菱形.

第２课时　投影与视图（含尺规作图）

考点１　投影

１．投影：

物体在光线的照射下，把物体映成它的影子叫做投影．

２．　平行投影：

由平行光线形成的投影，例：

阳光下树影的形成．

３．　中心投影：

从一点发出的光线形成的投影，例：

灯光下物体影子的形成．

考点２　视图

１．三视图

（１）从正面观察物体时，看到的图叫做　主视图　　；

（２）从左侧面观察物体时，看到的图叫做　左视图　　；

（３）从上面观察物体时，看到的图叫做　俯视图　　．

　３．小正方块组成几何体的视图判断方法

（１）找准所判断视图的观察方向；

（２）从视图观察方向看几何体．

①判断主视图时，从前往后看，几何体从左往右有几列，每一列最高有几层，对应到主视图中即有几列，每一列即有几个正方形，并注意每列中正方形的摆放位置．

②判断左视图时，从左往右看，几何体左往右有几列，每一列最高有几层，对应到左视图中即有几列，每一列即有几个正方形，并注意每列中正方形的摆放位置．

③判断俯视图时，从上往下看，几何体从前往后有几行，每一行有几个，对应到俯视图即有几行，每行有几个，注意每行中正方形摆放位置．依据上述步骤，判断如图①所示几何体得到的三种视图如图②．

４．根据视图还原几何体的方法

（１）对于常见的几何体的还原，一般可以通过识记，正确理解正方体、圆柱、圆锥、球体与它们的三视图之间的关系，熟练掌握给出几何体得到三视图或者给出三视图得到几何体两者之间的转化；

（２）对于非常见几何体，可以通过俯视图得出几何体底面的基本形状，再由主视图和左视图得出几何体的图形，并对比三视图来判断所得几何体是否正确，注意三视图中的虚、实线及其位置．

５．计算组成几何体的小正方块个数的方法

根据三视图确定组成几何体的小正方块个数，首先可由俯视图来确定几何体的最底层形状（打基础），再由主视图在俯视图的基础上累加小正方块（疯狂盖），最后由左视图来排除多余的小正方块（拆违章），从而实现几何体个数的确定．

６．几何体面积和体积计算

由几何体的三视图及其所标尺寸，计算几何体的表面积或体积问题，关键是先还原几何体，得出几何图形，再将三视图中的尺寸对应标注在几何体上，最后利用几何体相关计算公式求解．如：

常见几何体的体积或表面积计算公式．

考点３　立体图形的展开与折叠

1.常见几何体的展开与折叠

２．正方体展开图的类型

熟练掌握正方体的各种展开图是解决与正方体有关的展开与折叠问题的关键．正方体展开图有下列四种类型：

第一类：

“141”型；特点：

四个连成一排，两侧各有一个正方形．如下图：

如图中数字“１与６”相对，“２与４”相对，“３与５”相对．

第二类：

“132”型；特点：

三个连成一排，两侧分别连着１个和２个正方形．如下面３个图形：

图①中，“１与６”，“２与４”，“３与５”相对，图②与图③中，“１与５”，“２与４”，“３与６”相对．

第三类：

“222”型；特点：

两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形．如下面１个图形：

图中“１和３”，“２与５”，“４与６”相对．

第四类：

“３３”型；特点：

三个正方形连成一排的一侧还有三个连成一排的正方形，如下面１个图形：

图中“１和３”，“２与５”，“４与６”相对．

注意：

由上面几个展开图可以看出，不会出现两种形式的图形即“凹”字型和“田”型．如下面２个图形：

注：

图①与图②两种形式不是正方体的表面展图．

考点４　尺规作图

１．定义：

只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．

２．步骤

（１）根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；

（２）分析作图的方法和过程；

（３）用直尺和圆规进行作图；

（４）写出作图步骤，即作法．

３．几个基本的尺规作图

（１）作一条线段等于已知线段；

（２）作一个角等于已知角；

（３）作已知角的平分线；

（４）作已知线段的垂直平分线；

（５）过直线外一点作已知直线的垂线．

题型一　三视图

例１　将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在桌面上，它的俯视图是（　D　）

【解析】该卷简纸可以看似一个中空的圆柱，从正上方看卷筒卫生纸，会看到两个同心圆．如图示：

变式题１如图几何体的主视图（　D）

【解析】根据三视图的概念：

在正面由前向后观察物体得到的视图叫主视图，从正面看第一列有２个正方体，第二列有１个正方体，第三列有１个正方体．图示展示如下：

题型二　还原几何体以及有关计算

变式题２　如图是一个几何体的三视图，则原几何体是　长方体　　　．

【解析】由主视图和左视图为矩形判断出是柱体，由俯视图是矩形可判断出这个几何体应该是长方体．图形展示如图：

题型三　立体图形的展开图

例３　如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“２”相对的面上的数字（B　　）

【解析】本题是寻找正方体展开图中的对面问题，其解法主要有三种：

一是动手直接折叠，这样简单，直观，有利于培养动手能力；二是观察图形，分析图形的折叠情况，这样有利于培养空间想象能力；三是利用规律：

在正方体的展开图中隔一行或隔一列的两个面就是对面，图中的２与４两个面隔着３这一列，因此２与４是对面．图形折叠展示如解图：

【点评与拓展】立体图形与其展开图的相互转化关系，由展开图想象还原立体图形或者由立体图形想象出展开后的图形是解决问题的关键．

变式题３　如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（　D　）

【解析】长方体展开图是6个小矩形，其中横排有4个，上下两侧各有1个，且相对的面是全等的，即横排的4个小矩形中，每隔一个的两个矩形全等，由此知A正确.如图以面1与面2之间的公共棱剪开并展开：