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小学英语语法总结

一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习

识别不等式（组）类应用题的几个标志，供解题时参考.

一.下列情况列一元一次不等式解应用题

1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.

例1．为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：

00至22：

00用电千瓦时元（“峰电”价）,22：

00至次日8：

00每千瓦时元（“谷电”价）,而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?

分析：

本题的一个不等量关系是由句子“当‘峰电’用量不超过每月总电量的百分之几时,使用‘峰谷’电合算”得来的，文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.

解:

设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得+（1－x）＜.

解得x＜89℅

答：

当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时，使用“峰谷”电合算．

2．应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断．

例2．周未某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2：

3．

⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比；

⑵当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰Ａ处，且Ａ处离山顶的路程尚有千米．试问山脚离山顶的路程有多远？

⑶在题⑵所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从Ａ处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：

①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）．

解：

⑴甲、乙两组行进速度之比为3：

2．

⑵设山腰离山顶的路程为x千米，依题意得方程为

，

解得x＝

（千米）．经检验x＝

是所列方程的解，

答：

山脚离山顶的路程为

千米．

⑶可提问题：

“问B处离山顶的路程小于多少千米？

”再解答如下：

设B处离山顶的路程为ｍ千米（ｍ＞0）

甲、乙两组速度分别为3k千米／时，2k千米／时（k＞0）

依题意得

＜

，解得ｍ＜（千米）.

答:

B处离山顶的路程小于千米.

说明:

本题由于所要提出的问题被两个条件所限制,因此,所提问题应从句子“乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:

乙组从A处走到B处所用的时间比甲组从山顶下到B处所用的时间来得少,即可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.

二.下列情况列一元一次不等式组解应用题

1.应用题中含有两个（或两个以上,下同）不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.

例3.已知服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料米,B种布料米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料米,B种布料米,可获利润50元.若设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.

（1）求y（元）与x（套）的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;

（2）服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?

最大利润是多少?

分析:

本题存在的两个不等量关系是:

①合计生产M、N型号的服装所需A种布料不大于70米;②合计生产M、N型号的服装所需B种布料不大于52米.

解:

（1）

即

.

依题意得

解之,得40≤x≤44.

∵x为整数,∴自变量x的取值范围是40,41,42,43,44.

（2）略

2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.

例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请回答下列问题:

（1）用含x的代数式表示m;

（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.

分析:

不等字眼“不足3本”即是说全部课外读物减去5（x－1）本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.

解:

（1）m=3x+8

（2）由题意,得

∴不等式组的解集是:

5

∵x为正整数,∴x=6.

把x=6代入m=3x+8,得m=26.答:

略

例5.某城市的出租汽车起步价为10元（即行驶距离在5千米以内都需付10元车费）,达到或超过5千米后,每行驶1千米加元（不足1千米也按1千米计）.现某人乘车从甲地到乙地,支付车费元,问从甲地到乙地的路程大约是多少?

分析:

本题采用的是“进一法”,对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”,许多同学在解题时都视而不见,最终都列成了方程类的应用题,事实上,顾客所支付的元车费是以上限11公里来计算的,即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间.理论上收费是按式子10+（x-5）来进行的,而实际收费是取上限值来进行的.

解:

设从甲地到乙地的路程大约是x公里,依题意,得

10+5×＜10+（x-5）≤

解得10＜x≤11

答:

从甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里.

用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：

⑴审题，找出不等关系；

⑵设未知数；

⑶列出不等式；

⑷求出不等式的解集；

⑸找出符合题意的值；

⑹作答。

（分配问题）

1、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？

。

设：

一共有X个小朋友，则玩具总数=3X+4件。

第二次分的时候，前面X-1个小朋友每人得到4件，则一共有4（X-1）=4X-4件。

余下的不足3件，也就是0<（3X+4）-（4X-4）<3

化简得0<-X+8<3，8>X>5

因为小朋友的人数为整数，所以X的取值有2个，分别是6人和7人。

当6个小朋友时，玩具总数22件，前5个每人分4件，最后1人得2件；

当7个小朋友时，玩具总数25件，前6个每人分4件，最后1人得1件。

2、解放军某连队在一次执行任务时，准备将战士编成8个组，如果每组人数比预定人数多1名，那么战士人数将超过100人，则预定每组分配战士的人数要超过多少人？

设：

预定每组x人。

由已知得：

8x+8>100

解得：

x>

根据实际情况，解得预定每组分配战士的人数至少12人。

3、把若干颗花生分给若干只猴子。

如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。

问猴子有多少只，花生有多少颗？

解：

设有x只猴子和y颗花生，则：

y-3x=8，①

5x-y＜5，②

由①得：

y=8+3x，③

③代入②得5x-（8+3x）＜5,

∴x＜

因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11.

经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意.

答：

有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.

4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。

问这些书有多少本？

学生有多少人？

设有X名学生，那么有（3X+8）本书，于是有

0≤（3x+8）-5（x-1）<3

0≤-2x+13<3

-13≤-2x<-10

5

因为x整数，所以X=6。

即有6名学生，有26本书。

5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。

设宿舍有x间

∵如果每间数宿舍住4人，则有20人没有宿舍住

∴学生人数为4x+20

∵如果每间住8人，则有一间宿舍住不满

∴0<8x-（4x+20）<8,x为整数

∴0<4x-20<8

∴20<4x<28

∴5

∴x=6即宿舍有6间，学生人数有4x+20=44人

6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。

问有笼多少个？

有鸡多少只？

设有x个笼子

4x+1<40得x<=9

5（x-2）+3>4x+1得x>8

所以x=9

7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。

请问：

有多少辆汽车？

设有X辆汽车

4X+20=8（X-1）

4X+20=8X-8

4X=28

X=7

有7辆汽车

8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

（1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：

（2）可能有多少间宿舍、多少名学生？

你得到几个解？

它符合题意吗？

不空也不满表示最后一间房有1~5人。

6（x-1）<4x+19<6x

10间宿舍，59人

11间宿舍，63人

12间宿舍，67人

3组解

（积分问题）

1、某次数学测验共20道题（满分100分）。

评分办法是：

答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。

某学生有1道未答。

那么他至少答对几道题才能及格？

因为总共有20道题，一道未答，则总共答了19道题。

设答对X道，则答错（19-X）道题。

根据题意得：

5X-2（19-X）>=60

7X>=98

X>=14

所以，至少答对14题就及格了。

2、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？

解：

设至少需要做对x道题（x为自然数）。

4x－2×（25－x）≥60

4x－50＋2x≥60

6x≥110

X≥19

答：

至少需要做对19道题。

3、一次知识竞赛共有15道题。

竞赛规则是：

答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。

结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？

设神箭队答对x题。

则答错15-2-x，即（13-x）题

8x-4（13-x）>90

解得x>71/6

所以至少答对12道题

设飞艇队答对x题。

则答错（15-x）题

8x-4（15-x）>90

解得x>25/2

所以至少答对13道题

4、在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？

8次：

5x8=40,40-2=38,38>35

追问

不等式的方法.....？

回答

恩。

。

。

因为每名射手打10枪必须打完

5.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？

可令白球的个数x，则红球的个数（60-2x）/3；

依题意有：

x＜（60-2x）/3＜2x，得：

＜x＜12，，

故：

15＜2x＜24，-24＜-2x＜-15，得：

12＜（60-2x）/3＜15，

（60-2x）/3=13时，x不是整数；因此（60-2x）/3=14；得x=9；

所以：

白球的个数9，红球的个数14.

（比较问题）

1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：

如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：

包括校长在内全部按全票的6折优惠。

已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？

240*=144240*=120

假定有X个学生就有

240+120x>144（x+1）

X=4所以至少4人选甲旅行社比较好

2、李明有存款600元，王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元，王刚每月存款200元，试问到第几个月，李明的存款能超过王刚的存款。

答：

第x个月,的存款能超过的存款

600+500x>2000+200x

x>14/3

取x=5

到第5个月,李明的存款能超过王刚的存款

3、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：

两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：

家长，学生都按八折收费。

假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？

设有X名学生去旅游。

则500*2+*500X=*500（X+2）

解得X=4

所以，当学生人数少于4人时，乙旅行社便宜。

当学生人数等于4人时，甲乙旅行社一样便宜。

当学生人数大于4人时，甲旅行社便宜。

（行程问题）

1、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？

解：

设后半小时的速度至少为x千米/小时

50+（1-1/2）x≥120

50+1/2x≥120

1/2x≥70

x≥140

答：

后半小时的速度至少是140千米/小时。

2、爆破施工时，导火索燃烧的速度是s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？

假设导火索长为X厘米

人要跑100米，速度为5m/s，那么人就要跑100/2=20秒，

导火索长为xcm，速度为s，那么导火索燃烧的时间就是X/秒

导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全，就是：

X/》20

就是x》16

3、王凯家到学校千米，现在需要在18分钟内走完这段路。

已知王凯步行速度为90米/分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？

设王凯至少需要跑x分钟

210x+90（18-x）≤2100

210x+1620-90x≤2100

120x≤480

x=4

答：

所以至少需要跑4分钟

4、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？

解：

设后半小时的速度至少为x千米/小时

50+（1-1/2）x≥120

50+1/2x≥120

1/2x≥70

x≥140

答：

后半小时的速度至少是140千米/小时。

（车费问题）

1、出租汽车起价是10元（即行驶路程在5km以内需付10元车费）,达到或超过5km后,每增加1km加价元（不足1km部分按1km计）,现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费元,从甲地到乙地的路程超过多少km?

解析本题属于列不等式解应用题.

设甲地到乙地的路程大约是xkm,

据题意,得

16<10+（x-5）≤,

解之,得10

即从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km.

2、某种出租车的收费标准是：

起步价7元（即行驶距离不超过3km都需要7元车费），超过3km，每增加1km，加收元（不足1km按1km计）。

某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。

设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km？

解：

设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm

＜7+（x-3）≤19

＜（x-3）≤12

4＜x-3≤5

7＜x≤8

答：

此人从甲地到乙地经过的路程是7—8km（不含7千米，含8千米）。

（工程问题）

1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？

设以后几天内平均每天至少要完成x土方

（6-1-2）x≥300-60

3x≥240

x≥80

2.用每分钟抽吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。

B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？

设B型抽水机每分钟抽x吨水，则：

×30/20=吨

×30/22=吨

≤x≤

≤≤

B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽~吨水

3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？

设以后每天至少加工x个零件，才能在规定的时间内超额完成任务，根据题意列方程：

3*24+（15-3）*x>408

12x>336

x>28

答;以后每天至少加工28个零件，才能在规定时间内超额完成任务。

4、某车间有组装1200台洗衣机的任务，若最多用8天完成，每天至少要组装多少台？

1200÷8＝150

（浓度问题）

1、在1千克含有40克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：

至少加入多少食盐？

解：

设再加入x克食盐

40+x为食盐质量1000+x为溶液总质量

（40+x）÷（1000+x）≥20%

解得x≥200

答：

至少加200克食盐

2、一种灭虫药粉30千克，含药率是15%，现在要用含药率比较高的同种药粉50千克和它混合，使混合的含药率大于20%，求所用药粉的含药率的范围。

解：

设所用药粉的含药率为a，可得：

30x15%+50a>20%（30+50）

+50a>16

50a>

a>

答：

所用药粉含药率应大于23%.

（增减问题）

1、一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。

在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？

解：

△x'==

弹簧的弹性系数：

K=m’g/△x'=1×10/=2000N/m

设最多可挂重物为mkg，则根据胡克定律可得：

mg=k△x，m=k△x/g

又因为，△x≤30-20=10cm=

所以，m≤k△x/g=2000×10=20（Kg）

即m≤20kg

答：

略。

2、几个同学合影，每人交元，一张底片元，扩印一张相片元，每人分一张，将收来的钱尽量用完，这张照片上的同学至少有多少个？

+<=

<=

<=x

所以至少要4个人

3、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5㎝，几个小时以后，蜡烛的长度不足10㎝？

答：

当y＜10时，25-5x＜10，

解这个不等式得x＞3．

所以3h后蜡烛的长度不足10cm．

（销售问题）

1、商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。

（1）试求该商品的进价和第一次的售价；

（2）为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？

设进价是x元,

（1-10%）*（x+30）=x+18

x=90

设剩余商品售价应不低于y元,

（90+30）*M*65%+（90+18）*M*25%+（1-65%-25%）*M*y≥90*M*（1+25%）

y≥75

剩余商品的售价应不低于75元

2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。

售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。

如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？

设按原价的x折出售

所以：

1000×1/2×10+1000×1/2×10×x/10>=7×1000+2000

5000+500x>=9000

5x>=40

x>=8

所以至多打8折

3.“中秋节”期间苹果很热销，一商家进了一批苹果，进价为每千克元，销售中有6%的苹果损耗，商家把售价至少定为每kg多少元，才能避免亏本？

元

1000×=1500

1500÷（1-6%）≤实际价格

2、某电影院暑假向学生优惠开放，每张票2元。

另外，每场次还可以售出每张5元的普通票300张，如果要保持每场次票房收入不低于2000元，那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张？

设应售出X张学生优惠票，当收入等于2000元时：

2X+5*300=2000

2X=500

X=250

即每场至少售出250张学生优惠票。

4．某中学需要刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，出租用刻录机需120元外，每张光盘还需成本4元（包括空白光盘费）。

问刻录这批电脑光盘，该校如何选择，才能使费用较少？

8x>120+4x

x>30

答：

如果少于30张，电脑公司刻合适，

如果等于30张，（不考虑飞盘）都可以。

如果大于30张，那还是自刻便宜！

而且刻录张数越多，自刻越便宜！

题外话：

现在的刻录机很便宜，空白光盘成本才1元左右，还是自己刻录省钱。

5.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

解：

设乙工种招聘x人

x≥2（150-x）

∴x≥100

W[工资]=600（150-x）+1000x=400x+90000

∵400>0,

∴x=100时，W[工资]最少=400×100+90000=130000（元）

甲乙工人各招聘50人、100人时每月所付的工资最少为130000元

6.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？

设14元一本的小说可以买x本，则8元一本的小说可以买（80-x）本。

根据题意，有：

750≤14x+8（80-x）≤850（若想列为方程组则可拆为两个不等式）

750≤640+6x≤850

110≤6x≤210

≤x≤21

取整数，则可得知：

14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买21本。

（数字问题）1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数

分析：

这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。

题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：

个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：

20<原两位数<40。

解法

（1）:

设十位上的数为x,则个位上的数为（x+2）,原两位数为10x+（x+2）,

由题意可得：

20<10x+（x+2）<40,

解这个不等式得，1

∵x为正整数，∴1

∴当x=2时，∴10x+（x+2）=24,

当x=3时，∴10x+（x+2）=35,

答：

这个两位数为24或35。

解法

（2）:

设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,

由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。

将

（1）代入

（2）得，20<11x+2<40,

解不等式得：

1

∵x为正整数，1

∴