系统的能控性能观测性稳定性分析报告.docx
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系统的能控性能观测性稳定性分析报告
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实验报告
课程线性系统理论基础实验日期年月日
专业班级姓名学号同组人
实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现
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一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。
掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；
2、系统的稳定性分析；
3、系统的最小实现。
二、实验内容
（1）能控性、能观测性及系统实现
（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal；
（）已知连续系统的传递函数模型，G（s）
s
a
，
b
3
10s2
27s
18
s
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当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
6.666
10.6667
0.3333
0
（c）已知系统矩阵为A1
0
1
，B
1
，
0
1
2
1
C102，判别系统的能控性与能观测性；
（d）求系统G（s）
s
1
的最小实现。
10s2
27s18
s3
（2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为：
100（s
2）
，
G（s）
20）
s（s1）（s
试对系统闭环判别其稳定性
（b）根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
k（s3）
，试在系统的闭环根轨迹图上选择
G（s）
2
s（s5）（s6）（s
2s2）
一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。
（c）Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
G1（s）
2.7
G2（s）
2.7
5s2
4s
5s2
4s
s
3
s3
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
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0
1
0
0
x
0
0
1x
0
u,y
2550x
250
0
5
10
三、实验环境
1、计算机120台；
2、MATLAB6.X软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤
1、系统能控性、能观性分析
设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：
对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u（t），在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x（t0）转移至预期的终端x（t1），则称此状态是
能控的。
若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。
状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为：
RankQcyRankCBCABCAn1Bp
（2-1）
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状态能控性判别式为：
RankQcRankBABAn1Bn
（2-2）
系统状态能观测性的定义：
对于线性连续定常系统（2-1）,如
果对t0时刻存在ta，t0唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。
状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：
RankQoRankCCACAn1Tn
（2-3）
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有（1-2）式所示关系。
已知系统的传递函数阵表述，求其满足（1-2）式所示关系的状态空间表达式，称为实现。
实现的方式不唯一，实现也不唯一。
其
中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
五、程序源代码
1.（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,minreal；
gram:
求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian矩阵
num=[6-0.6-0.12];
den=[1-10.250.25-0.125];
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H=tf（num,den,'Ts',0.1）
Lc=gram（ss（H）,'c'）
H=
6z^2-0.6z-0.12
-------------------------------------
z^4-z^3+0.25z^2+0.25z-0.125
Sampletime:
0.1seconds
Discrete-timetransferfunction.
Lc=10.7651
7.8769
3.6759
-0.0000
7.8769
10.7651
7.8769
1.8379
3.6759
7.8769
10.7651
3.9385
-0.0000
1.8379
3.9385
2.6913
Ctrb：
计算矩阵可控性
A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5]
B=[69;46;44;84];
Tc=ctrb（A,B）;
rank（Tc）
A=-2.2000
-0.7000
1.5000
-1.0000
0.2000
-6.3000
6.0000
-1.5000
0.6000
-0.9000
-2.0000
-0.5000
1.4000
-0.1000
-1.0000
-3.5000
ans=
3
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Obsv:
计算可观察性矩阵
A=[-2.2-0.71.5-1;0.2-6.36-1.5;0.6-0.9-2-0.5;1.4-0.1-1-3.5]
B=[69;46;44;84];
C=[1234];
Qo=obsv（A,C）;
Ro=rank（Qo）
A=-2.2000
-0.7000
1.5000
-1.0000
0.2000
-6.3000
6.0000
-1.5000
0.6000
-0.9000
-2.0000
-0.5000
1.4000
-0.1000
-1.0000
-3.5000
Ro=
4
Lyap:
解lyapunov方程
A=[00-6;10-11;01-6];
B=[123;456;780];
X=lyap（A,B）
X=
-3.2833
-3.9000
-0.1167
-5.5000
-8.6500
-0.4000
0.2833
-0.0000
-0.0333
Ctrbf:
对线性系统进行能控性分解
A=[00-6;10-11;01-6];
B=[3;1;0];
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C=[001];
[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf（A,B,C）
Abar=
-3.0000
0.0000
-0.0000
9.4868
-3.3000
0.9539
8.6189
-3.1344
0.3000
Bbar=
-0.0000
-0.0000
3.1623
Cbar=-0.9435
0.3315
0
T=-0.1048
0.3145
-0.9435
-0.2983
0.8950
0.3315
0.9487
0.3162
0
K=
1
1
0
Obsvf:
对线性系统进行能观性分解
A=[-21;1-2];
B=[1;0];
C=[1-1];
[AO,BO,CO,T,K]=obsvf（A,B,C）
AO=-1.00000
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Word格式
0.0000
-3.0000
BO=0.7071
0.7071
CO=0
1.4142
T=0.7071
0.7071
0.7071
-0.7071
K=
10
Minreal最小实现
num=[11];
den=[1520];
sys=tf（num,den）
[ABCD]=tf2ss（num,den）
sys=ss（A,B,C,D）;
sysr=minreal（sys）
sys=
s+1
--------------
s^2+5s+20
Continuous-timetransferfunction.
A=-5
-20
1
0
B=
完美整理
Word格式
1
0
C=
1
1
D=
0
sysr=
a=
x1
x2
x1
-5
-20
x2
1
0
b=
u1
x1
1
x2
0
c=
x1
x2
y1
1
1
d=u1
y1
0
Continuous-timestate-spacemodel.
（b）已知连续系统的传递函数模型，G（s）
s
a
，
10s2
27s18
s3
当a分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
a=-1
num=[1,-1];
den=[1,10,27,18];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）
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Word格式
n=length（a）
Qc=ctrb（a,b）
nc=rank（Qc）
ifn==nc,disp（'系统可控'）,
elsedisp（'系统不可控'）,end
Qo=obsv（a,c）
no=rank（Qo）
ifn==no,disp（'系统可观'）,
elsedisp（'系统不可观'）,end
a=0
num=[1,0];
den=[1,10,27,18];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）
n=length（a）
Qc=ctrb（a,b）
nc=rank（Qc）
ifn==nc,disp（'系统可控'）,
elsedisp（'系统不可控'）,end
Qo=obsv（a,c）
no=rank（Qo）
ifn==no,disp（'系统可观'）,
elsedisp（'系统不可观'）,end
a=1
num=[1,1];
den=[1,10,27,18];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）
n=length（a）
Qc=ctrb（a,b）
nc=rank（Qc）
ifn==nc,disp（'系统可控'）,
elsedisp（'系统不可控'）,end
Qo=obsv（a,c）
no=rank（Qo）
ifn==no,disp（'系统可观'）,
elsedisp（'系统不可观'）,end
完美整理
Word格式
6.666
10.6667
0.3333
0
矩阵为A1
0
1
，B
1
，C
102，
0
1
2
1
判别系统的能控性与能观测性；
a=[6.666-10.6667-0.3333;101;012];
b=[0;1;1];
c=[102];
d=0;
n=length（a）
Qc=ctrb（a,b）
nc=rank（Qc）
ifn==nc,disp（'系统可控'）,
elsedisp（'系统不可控'）,end
Qo=obsv（a,c）
no=rank（Qo）
ifn==no,disp（'系统可观'）,
elsedisp（'系统不可观'）,end
（d）求系统G（s）
s
1
的最小实现。
10s2
27s18
s3
num=[11];
den=[1102718];
G=tf（num,den）;
Gs=ss（G）;
Gm=minreal（Gs）;
Am=Gm.a
Bm=Gm.b
Cm=Gm.c
Dm=Gm.d
1stateremoved.
Am=
3.5391-12.1540
5.1323-12.5391
Bm=
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Word格式
0.0606
-0.2425
Cm=
0.2500
0.0625
Dm=
0
（2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为：
100（s
2）
，
G（s）
20）
s（s1）（s
试对系统闭环判别其稳定性
num=[00100200];
den=[121200];
[z,p,k]=tf2zp（num,den）
z=
-2
p=
0
-20
-1
k=
100
（b）根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
k（s3）
G（s）s（s5）（s6）（s22s2），试在系统的闭环根轨迹图上选择
一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。
n1=[1,3];
完美整理
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d1=conv（[1,0],conv（[1,5],conv（[1,6],[1,2,2]）））;
s1=tf（n1,d1）;
rlocus（s1）;
[k,poles]=rlocfind（s1）
（c）Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
G1
（s）
2.7
G2
（s）
2.7
5s2
4s
5s2
4s
s
3
s3
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
G1（s）
num=2.7;
den=[1,5,4,0];
w=logspace（-1,2,47）;
[mag,pha]=bode（num,den,w）;
magdB=20*log10（mag）;
subplot（211）;
semilogx（w,magdB）;
gridon;
title（'BodeDiagram'）;
xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;
ylabel（'GaindB'）;
subplot（212）;
semilogx（w,pha）;
gridon;
xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;
ylabel（'phasedeg'）
G2（s）
num=2.7;
den=[1,5,-4,0];
w=logspace（-1,2,47）;
[mag,pha]=bode（num,den,w）;
magdB=20*log10（mag）;
完美整理
Word格式
subplot（211）;
semilogx（w,magdB）;
gridon;
title（'BodeDiagram'）;
xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;
ylabel（'GaindB'）;
subplot（212）;
semilogx（w,pha）;
gridon;
xlabel（'Frequency（rad/sec）'）;
ylabel（'phasedeg'）
（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
0
1
0
0
x
0
0
1x
0
u,y
2550x
250
0
5
10
A=[010;001;2500-5];
B=[0;0;10];
C=[-2550];
D=0;
[z,p,k]=ss2zp（A,B,C,D）
六、实验数据、结果分析
（b）a=-1
a=
-10
-27
-18
1
0
0
0
1
0
b=
1
完美整理
Word格式
0
0
c=
0
1
-1
d=
0
n=
3
Qc=
1
-10
73
0
1
-10
0
0
1
nc=
3
系统可控
Qo=
0
1
-1
1
-1
0
-11
-27
-18
no=
3
系统可观
a=0
a=
-10
-27
-18
1
0
0
0
1
0
b=
1
0
0
c=
010
d=
0
n=
完美整理
Word格式
3
Qc=
1
-10
73
0
1
-10
0
0
1
nc=
3
系统可控
Qo=
0
1
0
1
0
0
-10
-27
-18
no=
3
系统可观
a=1
a=
-10
-27
-18
1
0
0
0
1
0
b=
1
0
0
c=
0
1
1
d=
0
n=
3
Qc=
1
-10
73
0
1
-10
0
0
1
nc=
3
系统可控
完美整理
Word格式
Qo=
0
1
1
1
1
0
-9
-27
-18
no=
2
6.66610.66670.33330
（c）已知系统矩阵为A1
0
1
，B
1
，
0
1
2
1
C102，判别系统的能控性与能观测性；
n=
3
Qc=
0
-11.0000
-84.9926
1.0000
1.0000
-8.0000
1.0000
3.0000
7.0000
nc=
3
系统可控
Qo=
1.0000
0
2.0000
6.6660
-8.6667
3.6667
35.7689
-67.4375
-3.5551
no=
3
系统可观
（d）求系统G（s）
s
1
的最小实现。
10s2
27s18
s3
Am=
完美整理
Word格式
3.5391-12.1540
5.1323-12.5391
Bm=
0.0606
-0.2425
Cm=
0.25000.0625
Dm=
0
（2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
z=
-2
p=
0
-20
-1
k=
100
（b）根轨迹法判断系统稳定性
完美整理
Word格式
selected_point=
-7.7666+4.5820i
k=
selected_point=
2.4076e+03
poles=
-7.8112+4.5449i
-7.8112-4.5449i
2.7927+4.6955i
2.7927-4.6955i
-2.9630+0.0000i
完美整理
Word格式
（c）Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
G1
（s）
2.7
G2
（s）
2.7
5s2
4s
5s2
4s
s
3
s3
用Bode图法判断系统闭环的
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