三元一次方程及其解法.docx
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三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法
1.三元一次方程的定义：
含有三个未知数的一次整式方程
2.三元一次方程组：
由三个一次方程（一元、二元或三元）组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组
3.三元一次方程组的解：
能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值
解题思路：
利用消元思想使三元变二元，再变一元
4.三元一次方程组的解法：
用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．
例题解析
一、三元一次方程组之特殊型
例1：
解方程组
分析：
方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。
解法1：
代入法，消x.
把③分别代入①、②得
解得
把y=2代入③，得x=8.
∴
是原方程组的解.
根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：
类型一：
有表达式，用代入法型.
针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：
消z.
①×5得5x+5y+5z=60④
④-②得4x+3y=38⑤
由③、⑤得
解得
把x=8,y=2代入①得z=2.
∴
是原方程组的解.
根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：
类型二：
缺某元，消某元型.
例2：
解方程组
分析：
通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
解：
由①+②+③得4x+4y+4z=48，
即x+y+z=12.④
①-④得x=3，
②-④得y=4，
③-④得z=5，
∴
是原方程组的解.
典型例题举例：
解方程组
解：
由①+②+③得2（x+y+z）=60，
即x+y+z=30.④
④-①得z=10，
④-②得y=11，
④-③得x=9，
∴
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型三：
轮换方程组，求和作差型.
例3：
解方程组
分析1：
观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:
y=1:
2得y=2x；由x:
z=1:
7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即
，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。
解法1：
由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.
把x=1，代入y=2x，得y=2；
把x=1，代入z=7x，得z=7.
∴
是原方程组的解.
分析2：
由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:
y:
z=1：
2：
7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。
解法2：
由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.
把k=1，代入x=k，得x=1；
把k=1，代入y=2k，得y=2；
把k=1，代入z=7k，得z=7.
∴
是原方程组的解.
典型例题举例：
解方程组
分析1：
观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x=
y；由③得z=
.从而利用代入法求解。
解法1：
略.
分析2：
受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:
y:
z的形式呢？
通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:
x=15:
10，由③×3得y:
z=15:
12,于是得到x:
y:
z=10:
15:
12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。
解法2：
由②、③得x:
y:
z=10:
15:
12.
设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.
把k=3，代入x=10k，得x=30；
把k=3，代入y=15k，得y=45；
把k=3，代入z=12k，得z=36.
∴
是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型四：
遇比例式找关系式，遇比设元型.
二、三元一次方程组之一般型
例4：
解方程组
分析：
对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：
一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：
（一）消元的选择
1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；
2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。
（二）方程式的选择
采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
解：
（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）
①+③得5x+2y=16，④（体现第一次使用在①③后做记号√）
②+③得3x+4y=18，⑤（体现第二次使用在②③后做不同记号△）
由④、⑤得
解得
把x=2，y=3代人②，得z=1.
∴
是原方程组的解.
典型例题举例：
解方程组
分析：
通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。
以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。
解：
②×2得6x－4y+10z=22，④
2x+4y+3z=9，①
①+④得8x+13z=31.⑤
②×3得9x－6y+15z=33，⑥
5x－6y+7z=13，③
⑥－③得4x+8z=20.
x+2z=5.⑦
由⑤、⑦得
解得
把x=-1，z=3代人①，得
.
∴
是原方程组的解.
在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。
课堂练习
1.解下列方程组
（1）
（2）
2．解下列方程组
（1）
（2）
3．有这样一个数学题：
在等式
中，当x=1时，y=1；当y=3时，y=9，当x=5时，y=5.
（1）请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？
（2）你能求出a,b,c的值吗？
4.解方程组
5.解方程组
6.解方程组
7.解方程组
，
三元一次方程组的实际应用
EG01:
某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？
共有多少套？
解：
设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得
x+y+z=60
24x/9=20y/15=16z/12
解得x=12,y=24,z=24
24×12/9=32
答：
安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.
EG02:
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。
解:
设甲是x，乙是y，丙是z
则x+y+z=35
（1）
甲数的2倍比乙数大5
2x-y=5
（2）
乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2
y/3=z/2（3）
由
（2）和（3）得到
y=2x-5,z=2y/3=（4x-10）/3
代入
（1）
x+2x-5+4x/3-10/3=35
13x/3=130/3
x=10
y=2x-2=15
z=2y/3=10
所以
甲是10，乙是15，丙是10
EX:
1.有甲乙丙三种货物，若购物甲种3件，乙种7件，丙1件需要31.5元，如果购买甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若购甲乙丙各一件，需要10.5元。
问甲乙丙每件各多少元？
2.汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？
去时上下坡路各有多少公里？
3.某校初中三个年级一共有651人，初二的学生数比初三学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%。
求三个年级各有多少人？
AW:
1式子：
3x+7y+z=31.54x+10y+z=42x+y+z=10.5
答案：
？
？
？
这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5）就行，真不知楼上怎么算出来的。
。
2：
去时上坡x平路y下坡z
x+y+z=142x/28+y/30+z/35=4.5z/28+y/30+x/35=4.7答案：
x=42y=30z=70
3:
初一：
x初二：
y初三：
zx+y+z=651y=1.1zx=1.05y答案：
x=231y=220z=200
训练集中营1。
现有1角，5角，1元硬币各10枚．从中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取几枚？
2。
甲地到乙地全称是3.3KM，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时行3KM，平路每小时行4KM，下坡每小时行5KM，那么，从甲地到乙地需行51分，从乙地到甲地需行53.4分，求从甲地到乙地时的上坡。
平路。
下坡的路程各是多少？
3。
水费价格：
不超过6立方米部分，每立方米2元。
超过6立方米至10立方米部分，每立方米4元。
超过10立方米部分，每立方米8元。
某居民三月和四月共用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用水量？
如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？
4。
某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分。
某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分。
这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？
5。
学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：
3，三种球共41个，求三种球各有多少
6。
一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？
7。
小红买了面值为50分和230分的邮票共8枚，共用去9元4角问50分和230分的邮票各买几枚？
8。
运往某地的两批货物，第一批为440吨，用8节火车车厢和10辆汽车正好运完；第二批货物520吨，多用了2节火车车厢而少用了5辆汽车，正好运完。
求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
9。
1、有一批零件共420个，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少个？
10。
、张红用7元钱买2角和5角一张的邮票共20张，问两种邮票各买多少张？
11。
有甲乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和是47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，求这两个数。
12。
某车队运一批货物，若每辆装3.5吨，就有2吨运不走，若每辆多装0.5吨，则还可以装其他货物1吨，问有多少辆车？
多少吨货物？
13。
已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．
（1）若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时．求甲、乙两车的速度；
（2）假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少米？
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