4比导学案.docx
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4比导学案
4 比（精选教案）
1 比的意义和性质
第一课时
1．课件播放“神舟”五号顺利升空课件。
文字播报：
2003年10月15日，我国第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。
在太空中，执行此次任务的航天员杨利伟在飞船里向人们展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
画面定格在两面国旗：
杨利伟展示的两面旗都是长15cm，宽10cm。
提问：
我们可以怎样表示它们长和宽的关系呢？
学生交流得出：
（1）用比多比少的方法来表示：
长比宽多5cm，宽比长少5cm。
（2）用倍数关系来表示：
长是宽的
，宽是长的
。
2．导入新课。
在描述两个量之间的关系时，我们除了可以用“多多少、少多少、几倍、几分之几”来描述外，还可以用“比”来描述两个量之间的关系，今天我们就来学习比的知识。
（一）教学比的意义
1．同类量的比。
（1）启发探索。
教师启发：
除了用已经学过的这些方法来表示长和宽的关系外，我们还可以怎样表示这两个数量之间的关系？
学生自学教材第48页。
（2）学生自学，教师巡视，进行个别指导。
（3）组织汇报。
指名回答，通过交流得出：
我们可以把这两个数量之间的关系说成长和宽的比是15比10，宽和长的比是10比15。
教师指出：
不论长和宽的比，还是宽和长的比，都是两个长度的比，相比的两个量是同类的量，这样的两个比我们称为同类量的比。
2．不同类量的比。
（1）投影出示“神舟”五号进入运行轨道后，在距地350km的高空的运行数据：
平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km。
让学生用算式表示飞船的速度。
教师：
这些数据提供了哪些信息？
根据这些信息我们可以求什么？
怎么求？
学生列式求飞船的速度：
42252÷90。
（2）用比来表示路程和时间的关系。
提问：
路程和时间的关系能不能用比来表示呢？
应该怎样表示呢？
学生得出：
表示路程和时间的关系也还有一种形式，就是用路程和时间的比来表示，如“神舟”五号运行路程和时间的比是42252比90。
（3）提问：
路程和时间，是不是同类的量？
教师指出：
两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。
如“路程比时间”又表示速度。
3．概括比的意义。
着重说明这些例子都是通过两数相除来表示两个数量之间的关系，它们都可以用比来表示，所以两个数的比表示两个数相除。
（二）比的读写方法和各部分的名称
1．学生自学教材第49页。
思考：
几比几怎样写、怎样读？
比的各部分名称是什么？
2．指名汇报交流。
（1）比可以写成“几∶几”的形式，也可以写成分数形式，但仍读作几比几。
（2）比的各部分名称。
15
∶
10
＝15÷10＝
3．比值。
（1）什么是比值？
怎么求比值？
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
求比值的方法：
比的前项除以后项。
（2）比值可以怎样表示？
比值是一个数，可以用分数、小数、整数表示。
（3）讨论：
比值和比有什么联系和区别？
两者的联系：
比值是比的前项除以后项所得的商，它可以用分数表示；比也可以写成分数形式。
两者的区别：
比值是一个数，有时可以用小数甚至整数表示；比表示两个数的关系，不能用一个小数或一个整数来表示。
（三）比与除法、分数的关系
1．提问：
比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？
教师结合学生的反馈，整理成如下表格：
除法
被除数
÷（除号）
除数
商
分数
分子
－（分数线）
分母
分数值
比
前项
：
（比号）
后项
比值
比和除法、分数的区别：
除法是一种运算，分数是一种数，比表示两个数的关系。
2．提问：
比的后项可以是0吗？
为什么？
比的后项不能为0，因为0没有意义。
【设计意图】从用除法表示两个量之间的关系到用比来描述两个量之间的关系，让学生感受知识之间的内在联系，有利于学生对比的意义的理解。
比的意义和各部分名称让学生自学了解，可以提高学生的自学能力。
比、分数和除法的关系有一定难度，让学生通过小组合作完成，在解决问题的同时，又可以促进学生合作交流能力的提高。
教材第49页“做一做”。
1．第1题。
因为还没有学比的基本性质和化简比，所以第1题中练习本的本数之比写成6∶8就可以了，这里不要求化成最简单的整数比，花的钱数之比也是如此。
让学生把答案填写在教材上。
组织交流、校对答案。
（如果有学生写出的比，前、后项互换了位置，可以通过质疑，使学生明白：
交换了比的前、后项，比的具体含义就变了，由小敏是小亮的几分之几，变成了小亮是小敏的几倍。
）
提问：
两人买练习本的本数之比和所花的钱数之比相等吗？
为什么？
（因为单价相同，买的本数越多，花的钱数也越多，所以本数的倍数关系与总价的倍数关系相同。
）
2．第2题。
让学生说说：
未知的前项或后项是怎样求的？
前项＝后项×比值 后项＝前项÷比值
学生独立把答案填写在教材上。
3．教材第52页“练习十一”第1题。
这道题创设了学校三个兴趣小组比较人数的问题情境，让学生按比较的要求写出人数比。
练习时，可以提醒学生看清楚条件，根据要求写出比，并且知道比的前、后项不能颠倒。
今天这节课，我们学习了比的许多知识。
首先我们学习了比的意义，两个数的比表示两个数相除；接下来我们学习了读比和写比，以及比的各部分名称；我们还学习了比与分数、除法的关系。
板书设计
拓展练习
一、填空题。
一张正方形方格纸被涂成了黑白相间的图案。
（如右图）
1．白格与黑格个数的比是：
________。
2．白格与全部格子个数的比是：
________。
二、求比值。
34∶320 5∶0.25 1.2∶14
三、在下面的方格图中，画出两个边长比是3∶1的正方形。
参考答案
一、1.12∶13 2.12∶25
二、
20
三、画法不唯一。
（提示：
可以是一个正方形边长3格，另一个正方形边长1格；也可以一个正方形边长6格，另一个正方形边长2格画长6格。
）
第二课时
1．填一填，想一想。
（1）20÷5＝（20×10）÷（ × ）＝（ ）
（2）
＝
＝
想一想：
你是根据什么填空的？
（根据商不变的规律和分数的基本性质）
指名说说：
什么叫商不变的规律？
什么叫分数的基本性质？
[商不变的规律：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
]
2．导入。
我们学过了商不变的规律、分数的基本性质，联系比和除法、分数的关系，想一想：
在比中有什么样的规律呢？
这节课我们就来研究这方面的问题。
（一）比的基本性质
1．启发诱导，发现问题。
求比值：
6∶8 12∶16
学生完成后，课件出示：
6∶8＝6÷8＝
＝
12∶16＝12÷16＝
＝
启发思考：
6∶8和12∶16这两个比不同，可是它们的比值却相同，这里面有什么规律呢？
2．观察比较，发现规律。
（1）利用比和除法的关系来研究比中的规律。
组织学生将6∶8转化成6÷8，通过商不变的规律来认识比中的规律。
6÷
8＝（6×2）÷
（8×2）＝12÷
16
6∶8＝（6×2）∶（8×2）＝12∶16
6∶
8＝（6÷2）∶
（8÷2）＝3∶
4
6÷8＝（6÷2）÷（8÷2）＝3÷4
（2）利用比和分数的关系来研究比中的规律。
学生独立思考探究。
教师巡视，进行个别辅导。
指名汇报。
3．归纳总结，概括规律。
（1）提问：
刚才我们根据比和除法、分数的关系进行探究，发现比也存在着一种规律，谁能把其中的规律总结出来呢？
学生独立思考后在小组内交流规律。
（2）全班交流，总结比的基本性质。
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
这叫做比的基本性质。
追问：
这里“相同的数”为什么要强调0除外呢？
因为分数的分母和除数不能为0，如果是0就没有意义了。
根据比与分数、除法的关系，比的后项也不能为0。
（二）化简比
教师指出：
根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
1．认识最简单的整数比。
提问：
谁知道什么样的比可以称作是最简单的整数比？
教师根据学生的回答进行归纳：
最简单的整数比要满足两个条件：
一是比的前项和后项都是整数，二是比的前项和后项的公因数只有1。
指名举出几个最简单的整数比。
（3∶4，7∶11，43∶5，15∶4……）
2．教学例题1第
（1）小题。
（1）“神舟”五号搭载了两面联合国旗，一面长15cm，宽10cm（前面展示过），另一面长180cm，宽120cm（见下图）。
（2）学生分别写出这两面联合国国旗长和宽的比。
小联合国旗长和宽的比是15∶10。
大联合国旗长和宽的比是180∶120。
（3）思考：
这两个比是最简单的整数比吗？
为什么？
（这两个比不是最简单的整数比，它们的前项和后项除了公因数1还有其他的公因数。
）
（4）尝试化简。
思考：
怎样才能把它们化成最简单的整数比呢？
学生尝试化简。
（5）汇报交流。
15∶10＝（15÷5）∶（10÷5）＝3∶2
180∶120＝（180÷60）∶（120÷60）＝3∶2
提问：
5是15和10的什么数？
60又是180和120的什么数？
分别让学生说一说，然后小结出化简整数比的方法：
只要把比的前、后项除以它们的最大公因数即可。
想一想：
这两个比化简后结果相同，说明了什么？
（这两面旗的大小不同，形状相同。
）
3．教学例题1第
（2）小题。
出示例题：
把下面各比化成最简单的整数比。
∶
0.75∶2
（1）观察这两个比，说说它们与第
（1）小题中的比有什么不同？
（这两个比里有分数、小数。
）
（2）小组讨论。
怎么把这两个比化成最简单的整数比？
（3）组织交流。
∶
＝（
×18）∶（
×18）＝3∶4 （乘分母的最小公倍数）
0．75∶2＝（0.75×100）∶（2×100）＝75∶200＝3∶8
（前、后项先化成整数，再化简）
可能会有学生想到不同的方法。
比如，用分数除法的方法计算：
÷
＝
×
＝
对此，教师应给予肯定。
因为比可以写成分数形式，所以
就是3∶4。
如果没有学生想到这样的方法，教师就不必介绍了。
因为这种方法只适合化简两个数组成的比，三个数组成的连比就不适用了。
（4）小结。
提问：
当一个比的前、后项不是整数时，怎样把它化成最简单的整数比？
如果一个比的前、后项是分数的，就把前后项同时乘分母的最小公倍数；如果一个比的前、后项是小数的，先把它们都化成整数，再化简。
【设计意图】在教学比的基本性质时，注重对学生知识的迁移和概括能力的培养，让学生从商不变的规律和分数的基本性质迁移到比的基本性质，在获得一定的感性认知的基础上对比的基本性质进行概括。
在教学化简比的过程中，注重目标意识的培养，明确化简比的目标后通过各种转化途径来实现目标。
1．教材第51页“做一做”。
出示题目后，让学生独立完成，再组织学生进行集体订正。
2．教材第52页“练习十一”第2题。
先分别写出每个红旗长与宽的比，再结合比的基本性质进行判断。
3．教材第53页“练习十一”第4题。
出示题目，要求学生认真审题，可以先观察后项乘上或除以多少才是100，然后让学生独立完成，教师巡视，注意辅导部分学生。
其中前两小题很容易观察找出这个数，第（3）小题稍难些，如有学生感到困难，教师可提示，先去掉相同的单位“万”，也就是同时除以10000，再观察寻找。
本题可要求学生书写化简的过程，例如：
275万∶250万＝275∶250＝（275÷2.5）∶（250÷2.5）＝110∶100。
4．教材第53页“练习十一”第5题。
课件出示题目后，让学生思考有什么办法能够求出哪种蔬菜的钙、磷含量比的比值最高，哪种最低？
学生试算后，比较出结果。
5．教材第53页“练习十一”第6题。
课件出示题目，让学生判断“小亮的说法对吗？
”可以让学生通过小组讨论的形式解决：
“前、后项是带有不同单位的比，应该怎样化简？
”学生交流后汇报。
教师板书化简过程：
155cm∶1m＝155∶100＝31∶20。
今天这节课我们学习了：
1．比的基本性质：
比的前项和后项都乘或都除以相同的数（0除外），比值不变。
2．最简单的整数比的要求：
比的前项和后项都是整数，比的前项和后项公因数只有1。
3．化简比的方法整数比：
前、后项同时除以最大公因数；分数比：
前、后项乘分母的最小公倍数；小数比：
前、后项先化成整数，再化简。
板书设计
1．比的意义和性质
第二课时
6∶8＝（6×2）∶（8×2）＝12∶16
6∶8＝（6÷2）∶（8÷2）＝3∶4
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
（除以最大公因数）
∶
＝（
×18）∶（
×18）＝3∶4 （乘分母的最小公倍数）
0．75∶2＝（0.75×100）∶（2×100）＝75∶200＝3∶8 （前、后项先化成整数，再化简）
拓展练习
一、把下面的比化成最简单的整数比。
25∶55 1.2∶7.5
∶
二、解决问题。
1．甲数和乙数的比是3∶5，乙数和丙数的比是10∶7。
甲数和丙数的比是多少？
2．两个长方形重叠部分的面积（如右图）相当于大长方形面积的
，相当于小长方形面积的
。
大长方形和小长方形面积的最简单的整数比是多少？
参考答案
一、5∶11 4∶25 2∶1
二、1.6∶7 （提示：
先把两个比中，代表乙数的那一项转化成相同的数，也就是把3∶5转化成6∶10。
）
2．4∶3 （提示：
从重叠部分的面积相当于大长方形面积的
，可以得出大长方形面积相当于8个重叠部分面积，从重叠部分的面积相当于小长方形面积的
，可以得出小长方形面积相当于6个重叠部分面积，所以大长方形面积和小长方形面积比就是8∶6。
）
2 比的应用
1．复习。
“六一”儿童节快到了，学校买来300本图书平均分给六个年级的同学，每个年级的同学可以分到多少本图书？
学生独立解答，指名汇报交流。
2．导入新课。
在实际生活中，有时并不是把一个数量平均分配的，而是按一定的比来进行分配。
今天我们就来学习这类问题。
【设计意图】按比例分配是平均分的延伸，先复习平均分问题，可以引起学生将平均分和按比例分配进行比较，通过比较来理解按比例分配的意义。
1．投影出示例题2。
【阅读与理解】
（1）了解情境中的生活信息。
让学生说说生活中的稀释情况。
（2）已知条件：
500mL是配好后的稀释液的体积，1∶4表示的是浓缩液和水的体积比。
（3）所求问题：
浓缩液和水的体积分别是多少？
【分析与解答】
（1）分析“1∶4”表示的意思。
提问①：
题目中有一个比“1∶4”，同学们知道这个比表示什么意思吗？
提问②：
从这个比中可得到哪些信息？
学生交流后得出：
1∶4表示浓缩液和水的体积比，从这个比可以知道浓缩液的体积是水的
，浓缩液的体积是稀释液的
，水的体积是稀释液的
。
（2）学生尝试解决问题。
教师巡视，辅导有困难的学生。
（3）组织交流。
指名汇报，学生可能会有以下两种不同的方法：
方法一：
先算出每份的体积，再分别算出浓缩液和水的体积。
每份是：
500÷（1＋4）＝100（mL）
浓缩液有：
100×1＝100（mL）
水有：
100×4＝400（mL）
方法二：
先找出各部分数占总数的几分之几，再根据分数乘法的意义，分别算出浓缩液和水的体积。
分的总份数：
1＋4＝5
浓缩液有：
500×
＝100（mL）
水有：
500×
＝400（mL）
【回顾与反思】
（1）检验答案的合理性。
提问：
我们可以用怎样的方法来检验呢？
引导学生交流检验方法：
①把浓缩液与水的体积相加，看是不是等于稀释液的总量500mL。
100＋400＝500（mL）
②计算浓缩液体积和水体积的比，看是不是等于1∶4。
100∶400＝1∶4
（2）书写答句。
2．小结。
小组讨论：
通过刚才的学习和讨论，你认为应该怎样解决类似的问题？
（解决这类问题，主要有两种方法：
把一个总数按一定的比来分配，可以把各部分数的比看做份数关系，先求出每一份是多少，再求每个部分数是多少；也可以把各部分数的比转化为部分数占总数的几分之几，直接求总数的几分之几是多少。
）
1．教材第55页“练习十二”第1题。
这道题是配合例题的练习，解题思路和例题相同。
练习时，可以让学生独立解答，允许学生用适合自己的解法，提醒学生要注意检验。
2．教材第55页“练习十二”第2题。
这道题也是按比例分配的问题，题目中没有给出比，只给出了冲兑蜂蜜水所需要的蜂蜜和水的份数，在用分配的方法解决问题时可以将它们转化成份数比“1∶9”。
3．教材第55页“练习十二”第3题。
这道题也没有给出每个橡皮艇上救生员人数和游客人数的比，解题时可以根据每个橡皮艇上救生员和游客的人数得出它们的比是“1∶7”。
这节课，我们探究了比的应用，了解到了生活中的另一种分配方式——按比例分配。
解决按比例分配问题有不同的方法，但我们一般都先计算出总份数，再用“总量×部分数所对应的分数”求部分数。
拓展练习
解决问题。
1．科学研究表明，儿童体内水分与其他物质的比是4∶1。
小军的体重是35千克，他体内含的水分及其他物质各有多少千克？
2．用一根360厘米长的铁丝刚好做成一个长方体的框架（不计接头），这个框架的长、宽、高的比是3∶2∶1。
这个长方体的长、宽、高分别是多少？
3．某工厂甲、乙两车间人数比是3∶4，如果从乙车间调12人到甲车间，两车间人数刚好相等。
这两个车间一共有多少人？
参考答案
1．水分有28千克，其他物质有7千克。
2．长45厘米，宽30厘米，高15厘米。
3．168人 [提示：
总人数不变，原来乙车间占总人数的
，调12人到甲车间后，乙车间占总人数的
，所以列式是：
12÷（
－
）。
]
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