九年级数学第三章直线与圆.docx

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九年级数学第三章直线与圆

九年级数学第三章直线与圆、圆与圆的位置关系全章教案

课题：

3.1直线与圆的位置关系

（1）

教学目标：

1、利用投影演示，动手操作探索直线和圆的运动变化过程，经历直线与圆的三种位置关系得产生过程；

2、在运动中体验直线与圆的位置关系，并观察理解直线与圆的“公共点的个数”的变化，培养猜想、分析、概括、归纳能力。

3、正确判别直线与圆的位置关系，或根据直线与圆的位置关系正确的得出圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系或直线与圆的公共点的个数。

教学重点：

直线与圆的三种位置关系

教学难点：

直线与圆的三种位置关系的性质和判定俄正确运用

教学过程：

一、创设情景，引入新课

电脑演示：

海上日出

1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?

2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?

你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?

二、探究直线与圆的位置关系

1、动手操作：

作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,

仔细观察，直线和圆的交点个数如何变化？

在学生回答得基础上，教师指出：

由直线和圆的公共点的个数，得出直线和圆的三种位置关系：

（1）相交：

直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；

（2）相切：

直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；

（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

2、做一做：

如图，O为直线L外一点,OT⊥L,且OT=d。

请以O为圆心,分别以

为半径画圆.所画的圆与直线l有什么位置关系?

3、直线与圆的位置关系量化

观察所画图形，你能从d和r的关系发现直线l和圆O的位置关系吗？

学生回答后，教师总结并板书：

如果⊙O的半径w为r,圆心O到直线l的距离为d,,那么：

（1）直线l和⊙O相交

d＜r;

（2）直线l和⊙O相切

d=r；

（3）直线l和⊙O相离

d＞r;

三、例题分析，课堂练习

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？

为什么？

（1）r=2cm,

（2）r=2.4cm,（3）r=3cm.（此题为课本第49页课内练习第1题的第2小题）

分析：

因为题中给出了⊙C的半径，所以解题的关键是求圆心到直线的距离，然后与r比较，确定⊙C与AB的关系。

练习：

课本第49页课内练习第1题的第1小题，作业题第1题。

例2、已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?

练习：

作业题第2、3题

例3、（即课本的例1）

如图,海中有一个小岛P,该岛四周12海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A点观测P在北偏东60°处,行驶10海里后到达B点观测P在北偏东45°处,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

分析：

要解决这个问题，首先要把它转化为数学问题，画出图形。

要判断货轮是否有触礁危险，关键是看航线与暗礁圆区的位置关系。

练习：

在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴的速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度和方向，问气象站正南方60千米的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？

若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间。

四、课堂小结：

这节课我们学习了哪些内容？

用到了那些数学思想方法？

五、作业：

见课课通

课题：

3.1直线与圆的位置关系

（2）之一

教学目标：

1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；

2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；

3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。

教学重点：

圆的切线的判定定理

教学难点：

定理的运用中，辅助线的添加方法。

教学过程：

一、回顾与思考

投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题：

（1）

在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？

（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l是圆的切线？

你是怎样判断的？

教师指出：

根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定方法。

（板书课题）

二、探索判定定理

1、学生动手操作：

在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A作直线l⊥OA。

思考：

（可与同伴交流）

（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？

（2）直线l与⊙O的位置有什么关系？

根据什么？

（3）由此你发现了什么？

启发学生得出结论：

由于圆心O到直线l的距离等于圆的半径，因此直线l一定与圆相切。

请学生回顾作图过程，切线l是如何作出来的？

它满足哪些条件？

①经过半径的外端；②垂直于这条半径。

从而得到切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、做一做

（1）下列哪个图形的直线l与⊙O相切？

（）

小结：

证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：

①过半径外端

②垂直于这条半径。

（2）课本第52页课内练习第1题

（3）课本第51页做一做

小结：

过圆上一点作圆的切线分两步：

①连结该点与圆心得半径；②过该点作已连半径的垂线。

过圆上一点画圆的切线有且只有一条。

三、应用定理，强化训练

例1、已知：

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。

求证：

直线AB是⊙O的切线。

分析：

欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上一点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端点，因此只要证明OC⊥AB，因为OA=OB，CA=CB，易证OC⊥AB。

学生口述，教师板书

证明：

连结OC，

∵OA=OB，CA=CB

∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一性质）

∴直线AB是⊙O的切线。

例2、如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米。

求证：

AB与⊙O相切。

分析：

因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C，只需证明OC等于⊙O的半径3厘米即可。

证明：

过O作OC⊥AB，垂足为C，

∵OA=OB=5厘米，AB=8厘米

∴AC=BC=4厘米

∴在Rt△AOC中，

厘米，

又∵⊙O的直径长为6厘米，

∴OC的长等于⊙O的半径

∴直线AB是⊙O的切线。

完成以上两个例题后，让学生思考：

以上两例辅助线的添加法是否相同？

有什么规律吗？

在学生回答的基础上，师生一起归纳出一下规律：

（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直。

（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径。

练习1：

判断下列命题是否正确

（1）经过半径的外端的直线是圆的切线

（2）垂直于半径的直线是圆的切线；

（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；

（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；

（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。

采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由。

练习2、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB=

厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆。

求证：

小圆与直线AB相切。

练习3、如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°。

求证：

直线DC是⊙O的切线。

练习2、3请两名学生板演，教师巡视，个别辅导。

四、小结：

1、切线的判定定理：

经过并且垂直于的直线是圆的切线。

2、到目前为止，判定一条直线是圆的切线有三种方法，分别是：

（1）根据切线的定义判定：

即与圆有公共点的直线是圆的切线。

（2）根据圆心到直线的距离来判定：

即与圆心的距离等于的直线是圆的切线。

（3）根据切线的判定定理来判定：

即经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线。

3、证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种：

（1）如果已知直线过圆上某一点，则作，后证明。

（2）如果直线与圆的公共点没有明确，则，后证明。

五、作业：

见课课通第170页的第1------8题。

课题：

3.1直线与圆的位置关系

（2）之二

教学目标：

1、进一步掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决问题；

2、通过例题教学，培养和提高学生分析问题解决问题的能力。

教学重点与难点：

综合运用切线的判定定理。

教学过程：

一、知识回顾

判定直线与圆相切，常用的方法有哪些？

1、利用切线的定义；2、利用圆心到直线的距离等于圆的半径；3、利用切线的判定定理。

二、基础热身

1、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC，以AB上的高CD为直径作一个圆，与这个圆相切的直线有（）

A、ACB、AC、BCC、ABD、AC、BC、AB

2、如图，点A在⊙O上，由下列条件能判定直线AB和⊙O相切的有（）

①∠B=40°，∠O=50°，②sinB=1/2,③tanB×tanO=1,

④⊙O过OB的中点，∠O=60°

A、①B、①②C、①②③D、①③④

3、已知⊙O的直径为10厘米，如果圆心O到直线l的距离为4.5厘米，那么直线l与⊙O有个公共点。

三、例题讲解

例1、（即课本的例2）已知如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC,∠A=30°。

求证：

直线AB是⊙O的切线。

例2、如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°的方向移动，受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？

分析：

引导学生画出图形，判断四个城市会不会受到台风的影响主要是看在图上表示城市的点是否会落在台风圆区的两条切线所夹的区域来解决。

三、课内练习

1、课本第53页作业题第5、6题

四、作业：

课课通地171页第9---14

课题：

3.1直线与圆的位置关系（3）

教学目标：

1、通过动手操作，反复尝试，合作交流，经历圆的切线的性质定理的产生过程，培养探索精神和合作意识；

2、体验、理解圆的切线的两个性质，并正确合理、灵活运用。

教学重点：

切线的两个性质

教学难点：

切线的判定和性质的综合运用

教学过程：

一、复习引入

1、判断直线与圆相切有哪些方法？

（1）、利用切线的定义；

（2）、利用圆心到直线的距离等于圆的半径；（3）、利用切线的判定定理。

2、合作学习：

（1）如图，直线AP与⊙O相切于点A，连结OA，∠OAP等于多少度？

在⊙O上再任意取一些点，过这些点作⊙O的切线，连结圆心和切点，半径与切线所成的角为多少度？

有此你发现了什么？

（2）任意画一个圆，作这个圆的一条切线，过切点作切线的垂线，你发现了什么？

你的发现与你的同伴的发现相同吗？

二、形成新知

圆的切线的性质定理：

经过切点的半径垂直于圆的切线；

经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

三、应用新知

例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。

求证：

AC平分∠DAB。

分析：

从条件想，CD是⊙O的切线，可考虑连结CO，利用切线的性质定理可知OC⊥CD，由AD⊥CD，易知OC∥AD。

如果从结论看，要证AC平分∠DAB，须证明∠DAC=∠CAB，

由于∠CAB=∠ACO，所以只要证明∠DAC=∠ACO即可。

证明过程由学生自己完成。

小结：

在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径。

练习：

课本第55页第1题和第2题。

例2（即课本的例4）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径。

分析：

要求⊙O的半径，可以考虑建立与圆的半径有关的直角三角形，

因为BC是⊙O的切线，所以连结OC，这样四边形ABCO是直角梯形，过A点作OC的垂线，求得圆的半径。

过程由学生自己完成。

例3（即课本例5）

如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD。

求证：

。

分析：

要证明

，需要找到一个角等于

的一半，或者是∠ACD的两倍。

因为直线AB与

⊙O相切于点C，所以OC⊥AB，因此考虑作∠COD的平分线。

证明:

作OE⊥DC于点E,

∵△ODC是等腰三角形，

∴∠COE=

∵直线AB与⊙O相切于点C，

∴OC⊥AB，即∠ACD+∠OCE=Rt∠

∴∠ACD=∠COE,

即

。

例4、（补充例题）已知如图，AB是⊙O的直径，BC是与圆相切于点B的切线，弦AD∥OC。

求证：

DC是⊙O的切线。

练习：

课本第56页的作业题第1、2、4、6题

四、小结：

1、判定切线的三种方法

2、切线的两个性质；

3、常用的辅助线添加方法。

五、作业：

见课课通

课题：

3.2三角形的内切圆

教学目标：

1、通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；

2、通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；

3、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；

4、通过引例和例1的教学，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识；

5、通过例2的教学，进一步掌握用代数方法解几何题的思路，渗透方程思想。

教学重点：

三角形内切圆的概念和画法。

教学难点：

三角形内切圆有关性质的应用。

教学过程

一、知识回顾

1、确定圆的条件有哪些？

（1）.圆心与半径；

（2）不在同一直线上的三点

2、什么是角平分线？

角平分线有哪些性质？

（角平线上的点到这个角的两边的距离相等。

）

3、左图中△ABC与⊙O有什么关系？

（△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆

圆心O点叫△ABC的外心）

二、创设情境，引入新课

1、合作学习：

李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：

裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。

应该怎样画出裁剪图？

探索：

（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？

（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？

（3）如何确定这个圆的圆心？

2、探究三角形内切圆的画法：

（1）．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？

（圆心0在∠ABC的平分线上。

）

（2）．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？

（圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。

）

（3）．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？

（作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径）

（4）．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？

（只能作一个，因为三角形的三条内角

平分线相交只有一个交点。

）

教师示范作图。

3、三角形内切圆的有关概念

（1）定义：

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较。

（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。

三、新知应用

例1：

如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，

求∠BOC的度数。

解：

∵点O是△ABC的内心

∴BO是∠ABC的平分线，OC是∠ACB的平分线

∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCB=1/2∠ACB

∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125°

∴∠BOC=180°-1/2×125°=117.5°

小结：

已知内心往往连接内心和顶点，则连线平分内角。

练习：

课本第59页作业题第1题和第3题。

例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为３cm。

求圆柱底面的半径。

分析：

首先要根据题意画出图形，如图，要求圆柱底面半径，要把它归纳到某个直角三角形中，由

△ABC是等边三角形可得AD=1.5，连接OA即得OA平分∠ACB=30°。

例3、如图，设△ABC的周长为c,内切

⊙o和各边分别相切于D,E,F

求证：

AE+BC=

分析：

AE、AF即△ABC的顶点A到△ABC的内切圆⊙O的切线长，易证明AE=AF，BD=BF、CD=CF，

后面由学生自己完成。

练习：

第59页课内练习第2题，作业题第5题

备选例题：

如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。

求证：

DE=DB。

四、小结：

1、什么叫三角形的内切圆？

怎样作三角形的内切圆？

2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比：

图形

⊙O的名称

△ABC的名称

⊙O叫做△ABC的内切圆

△ABC叫做⊙O的外切三角形

⊙O叫做△ABC的外接圆

△ABC叫做⊙O的内接三角形

圆心O的名称

圆心O确定

“心”的性质

圆心O叫做△ABC的内心

作两角的角平分线

内心O到三边的距离相等

圆心O叫做△ABC外心

作两边的中垂线

外心O到三个顶点的距离相等

3、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系：

如图，⊙I切△ABC三边于点D、E、F，

则AD=AF=

BD=BE=

CE=CF=

特别地，当∠C=Rt∠时，如图，四边形CEID是正方形，

内切圆的半径

（其中r、l分别是内切圆的半径和三角形的周长）

掌握这些结论对解填空题额、选择题很有帮助。

四、布置作业：

见课课通。

课题：

圆与圆的位置关系

教学目标：

1、通过作图并用运动的观点，经历两圆的五种位置关系的产生过程；

2、采用合作交流的方法，体验两圆内切与外切的区别，两圆内含与外离的区别；

3、从两圆的交点个数及两圆的半径、圆心距之间的数量关系两方面理解两圆的五种位置关系；

4、利用两圆的位置关系解决有关实际问题。

教学重点和难点：

两圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系

教学过程：

一、创设情景，引入新课

出示有关两圆关系的图片，如：

奥运会的五环标志（圆与圆相交）自行车的两个车轮（两圆外离），两个齿轮组成的传动装置（两圆外切、内切）、飞镖靶（两圆内含）等。

板书课题：

圆与圆的位置关系

二、探究两圆的位置关系

1、合作学习：

（1）画一条线段O1O2，在O1O2上取一点T，分别以点O1，O2为圆心，O1T，O2T为半径作⊙O1和⊙O2，⊙O1和⊙O2有几个公共点？

两圆的圆心距O1O2与两圆的半径之间有怎样的数量关系？

（2）如果把点T取在线段O1O2的延长线上，再画⊙O1和⊙O2，此时两圆有几个公共点？

两圆的圆心距离O1O2两圆的半径之间有怎样的数量关系？

2、归纳：

（1）当两圆有唯一的公共点时，叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。

相切的两个圆除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，我们就说这两个圆外切（如图1）；，相切的两个圆，除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切（如图2）。

（2）设两个圆的半径为R和r,（R＞r），圆心距为d，则可得

两圆外切

d=R+r;两圆内切

d=R-r。

（3）用电脑出示下图，并演示这两个图形沿着通过两圆圆心的直线折叠的过程，让学生观察连心线与切点的关系怎样？

在学生回答的基础上，教师指出：

通过观察我们发现，相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由此我们得到相切两圆的连心线的性质：

相切两圆的连心线必经过切点。

3、应用新知：

（1）已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径．（注意相切分外切和内切两种）

（2）课本第62页第1题

（3）例题1：

为了要在直径为50毫米的圆形铁片中冲压出直径最大且全等的四个小圆片,小聪和他的同学设计了如图的方案,其中每相邻两个小圆外切,每个小圆与⊙O内切.这是一个具有4条对称轴AC,BD,L1L2的对称图形.试求出小圆片的直径（结果保留3个有效数字）

解：

设小圆片的半径为r,由图形的轴对称性，可得四边形ABCD是正方形，所以△ABC是等腰直角三角形。

∵相邻两个小圆片外切

∴AB=BC=2r,

∵每个小圆都与⊙O内切

∴AC=2AO=2（25-r）

由

解得

∴

。

答：

圆片的最大直径约为20.7毫米。

4、试验与操作

分别以1厘米、4厘米为半径，用圆规画圆，使他们外切。

然后相向或反向移动两个圆片，你发现两圆还有哪些位置关系？

在这些位置关系中，R、r、d之间分别有怎样的关系？

归纳:

两圆的位置关系还有以下三种情况：

当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交（如图1）；当两个圆没有公共点时，叫做两圆相离，相离的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离（如图2），如果一个圆上点都在另一个圆的内部。

我们就说这两个圆内含（如图3）

观察上图，可以得到：

设两个圆的半径为R和r,圆心距为d,则

（1）两圆相交

R-r＜d＜R+r;

（2）两圆外离

d＞R+r;

（3）两圆内含

d＜R-r（R＞r）;

练习：

第62页第2题和作业题第1题和第2题。

四、小结：

圆与圆的位置关系、数量关系、公共点的个数

五、作业：

见课课通

课题：

第三章直线与圆、圆与圆的位置关系复习

教学目标：

1、通过复习理解直线和圆、圆与圆的位置关系

2、掌握直线与圆相切的判定与性质定理；

3、理解三角形的内切圆、三角形内心的性质，并会利用内心性质解题。

4、通过解题思路的探索，提高学生观察、分析和解决问题的能力。

5、培养正确的学习方法和良好的学习习惯。

教学重点：

掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。

教学难点：

切线的判定和性质的综合运用。

教学过程：

一、梳理知识点

学生完成课本第64页的小结部分

二、例题讲解

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？

为什么？

分析：

求圆心C到AB的距离，再与半径r比较。

例2、如图，△ADC内接圆O，AB是⊙O的直径，且∠EAC=∠D，

求证：

AE是⊙O的切线。

分析：

要证AE是⊙O的切线，只要证OA⊥AE，即证∠OAE=90°。

学生自己完成证明过程。

提问：

上题中若去掉“AB是⊙O的直径”这个题设条件，原题为“如图，△ADC内接圆O，且∠EAC=∠D”，AE仍是⊙O的切线吗？

小结：

判定切线时，往往需要添加辅助线，其规律是：

①如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心得到辅助线半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；

②如果已知条件即没有给出圆上一点，也没有指