数学建模储油罐的变位识别与罐容表的标定.docx

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数学建模储油罐的变位识别与罐容表的标定

储油罐的变位识别与罐容表的标定

摘要

本文运用定积分、重积分，数理统计等知识研究储油罐变位后对罐容表的影响。

观测油罐探针的变化，分情况讨论变位油罐进/出油的罐内油液体积。

采用图形结合建立数学模型。

用定积分求解椭圆面积，进而求出油位高对应储油罐（无变位）的油容量的对应关系，利用数理统计与Excel2003对数据分析并绘制图形，建立当前最优的实验储油罐无变位模型（模型一）。

模型二即是实验储油罐纵向倾斜（固定角）的数学模型。

对模型一、二两组数据进行对比，估算出油位高度相同时不变位以及变位后储油罐内油容量，再将两部分的油容量相减可算出油位高度和油容量的函数，得出罐体变位后油位高度间隔为1厘米的罐容表的标度。

模型四采用大量图形分析和数学知识，建立空间直角坐标系，将问题分出四种情况讨论。

建立当前最优的实际储油罐无变位模型（模型三），并与模型四进行对比可得关于油位高度和油容量的函数，那么将相隔10cm油位高的油容量代入模型即求得。

关键词：

定积分重积分数理统计图形结合

一、问题重述

加油站的储油罐是大家非常熟悉的一种储油罐，就目前世界各地来看，它不能脱离我们的现实生活。

所以我们有必要对储油罐进行彻底的了解。

根据我们所学的知识，用数学模型方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

通常加油站的储油罐都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用专业的测量仪器测出罐内的储油体积与罐内油位高度，通过预先标定的罐容表（罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

但是，许多储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会地基变形发生纵向倾斜和横向偏转等变化（称为变位），从而导致罐容表发生改变。

根据以上的情况，为了掌握罐体变位后对罐容体的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的圆柱体）做了罐体无变位和倾斜角为一定角的纵向变位两种情况的实验，且得到了实验数据。

在实验图形的基础上，我们深入了实际油罐的变位分析。

实际油罐的图形，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

问题一：

对实验储油罐建立数学模型研究罐体变位后对罐容的影响，并给出罐体变位后高度间隔为1cm的罐容标值。

问题二：

对实际储油罐建立罐体变位后标定罐容表的模型；利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据；给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值；利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性和方法的可靠性。

二、模型假设

1．在进/出油进罐过程中，是一个连续过程

2．油罐只有纵向倾斜和横向偏转两种变位，且仪表读数准确

3.若有罐体纵向倾斜式往左边倾斜，罐体的横向偏转是向内偏转

4.油罐倾斜不会导致意外发生，倾角不宜过大

5.题目所给的数据真实可靠

三、符号说明

V：

无变位的实验储油罐内的体积

H：

无变位与变位油位探针的高度的实验罐内液面高度

L：

无变位的储油罐椭圆柱体的长度

a：

实验端面椭圆的长半轴长

b：

实验端面椭圆的短半轴长

V1：

无变位实际储油罐内储油体积

V2：

无变位实际储油罐（同一液面高下）（任意高度）椭圆柱储油体积

V3：

无变位实际储油罐（同一液面高度）下椭球体内储油体积

a1：

实际储油罐合成椭球的半轴长

b2：

实际储油罐合成椭球的半轴长

c3：

实际储油罐合成椭球的半轴长

h1:

探针底部到水平面的距离

l1:

油罐底与水平面接触点到探针底部的距离

:

油罐纵向倾斜角

β:

油罐横向倾斜角

H/:

油位探针的读数

H//:

如图5所示

h/:

如图5所示

Va:

如图5所示

Vb:

如图5所示

Vc:

如图5所示

Vd:

如图5所示

V总：

倾斜时油的总体积

V/:

实际油罐变位后液体体积

V1/：

实际油罐变位后冠球体内液体体积

V2/：

实际油罐变位后圆柱体内液体体积

r：

圆柱体截面圆半径

四、模型分析

问题一的分析

为了掌握罐容体变位后对罐容表的影响，我们只需掌握罐体无变位和变位分别对罐容表标定，在等高情况下将两种情况的罐容表对比，对储油罐的变位进行标识，根据这种情况，掌握罐体变位对罐容表的影响。

对题目所给的数据进行处理，分析及结合图形四，建立两个积分方程，得出罐内油位高度与储有量的对应关系。

问题二的分析

问题二的图形变成实际图形，在问题一的基础上，同样建立两个积分方程，分析实际情况下储油罐的变位识别和罐容表的标定。

五、问题求解

问题一：

实验罐体在无变位的情况下，我们找出罐内油位高度与罐内油量的体积的对应关系，即得出一个关于无变位的罐容表数学模型（模型一）。

对油罐端面椭圆图形的分析建立如图

模型一：

（1）

模型检验：

实验采集数据折线图与模型一数据拟合图对比：

图2实验采集数据折线图

图3模型一数据拟合图

模型二：

实验罐体在变位（纵向倾斜固定角α）的情况下，我们找出罐内油位高度与罐内油量的体积的对应关系，即得出一个关于变位的罐容表数学模型（模型二）。

对油罐端面椭圆图形的分析建立如图

图4实验椭圆柱罐倾斜图

（1）当油没有没过油浮子时，右侧y的最大高度

所以，当-b≤y≤-（b-h）时

则罐内储油的体积为

（2）当油没过浮子时，油位探针就会有具体的读数，当油刚没过右边罐底的最小部时

则-b≤y≤-[b-（h1+H，）]

0≤z≤ytanα

（3）当油已没过右端底部到右端顶之间时，可将所求体积分成四个部分求解，则有如图所示

：

图5实验椭圆柱油罐正面示意图

模型检验：

实验采集数据折线图与模型二数据拟合图对比：

图6（实际）

图7（模型计算）

模型三：

我们将两端的球罐体合并在一起，即得一个椭球体，

图9

方程为：

实际油罐体的无变位模型：

问题二：

实际罐体在无变位的情况下，我们找出罐内油位高度与罐内油量的体积的对应关系，即得出一个关于无变位的罐容表数学模型（模型三）。

对油罐端面椭圆图形的分析如图所示：

模型四：

实际罐体在变位（纵向倾斜和横向偏转）的情况下，我们找出罐内油位高度与罐内油量的体积的对应关系，得到模型四（对油罐端面椭圆图形的分析如图所

图10实际油罐圆柱体变位图

示）:

V/=V1/+V2/

分为四种情况讨论：

情况一：

由于高端是干的，在数量上是有界的z-方向的液体表面

图11

情况二：

由于高端是干的，在数量上是有界的z-方向的液体表面

图12

情况三：

由于高端部分覆盖，积分分为两部分：

图13

情况四：

底部和顶部覆盖

图14

模型检验：

实验采集数据折线图与模型三数据拟合图对比：

图15

图16模型拟合图

六、模型评价与推广

评价

本文是对储油罐变位后对罐容表的影响的分析，通过对实验无变位油罐、实验变位油罐、实际无变位油罐和实际变位油罐储油容积与油高的关系，文中可以由油位计的读数计算出储油罐内的大概储油体积，并且用文中通过各种情况给出了比较直观的的图形，根据题中所给的问题，建立了各种情况的模型，计算出的最后结果比较接近实际值，可是式子过于繁琐，计算量大。

但是方法直观易懂，比较好理解。

推广

本文中的模型可用于估算水库里的水由于地质变化的水量

七、参考文献

[1]刘玉琏,傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义（第五版）下册：

333-365.高等教育出版社，2008.

[2]张德丰.MATLAB数值分析与应用（第2版）.国防工业出版社，2009.

[3]赵海,卧式储油罐内油品体积标定的适用方法，