线性系统理论基础实验二.docx
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线性系统理论基础实验二
实验报告
课程线性系统理论基础实验日期2016年5月25日
专业班级姓名学号同组人
实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性及实现评分
批阅教师签字
一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。
掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析;
2、系统的稳定性分析;
3、系统的最小实现。
二、实验环境
MATLAB6.5
三、实验内容、源程序代码、实验数据及结果分析
(1)能控性、能观测性及系统实现
(a)了解以下命令的功能;自选对象模型,进行运算,并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,mineral;
含义如下:
①gram利用gram矩阵判断系统的能控性和能观测性
②ctrbobsv
利用ctrb和obsv矩阵判断系统的能控性和能观测性
③lyap
X=lyap(A,C)求解满足李雅普诺夫方程的对称矩阵X
其中A,C为给定矩阵,且C为对称矩阵。
④ctrbfobsvf
能控性结构分解和能观测性结构分解
⑤mineral最小实现
(a)已知连续系统的传递函数模型G(s)=
,当a分别取-1、0、1时,判别系统的能控性与能观测性
当a=-1时:
num=[1-1];
den=[1102718];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);
Qc=ctrb(a,b)
rank(Qc)
Qo=obsv(a,c)
rank(Qo)
运行结果:
Qc=
1-1073
01-10
001
ans=
3
满秩,故系统能控
Qo=
01-1
1-10
-11-27-18
ans=
3
满秩,故系统能观测
当a=0时:
num=[10];
den=[1102718];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)
Qc=ctrb(a,b)
rank(Qc)
Qo=obsv(a,c)
rank(Qo)
运行结果:
Qc=
1-1073
01-10
001
ans=
3
满秩,故系统能控
Qo=
010
100
-10-27-18
ans=
3
满秩,故系统能观测
当a=1时:
num=[11];
den=[1102718];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);
Qc=ctrb(a,b)
rank(Qc)
Qo=obsv(a,c)
rank(Qo)
运行结果:
Qc=
1-1073
01-10
001
ans=
3
满秩,故系统能控
Qo=
011
110
-9-27-18
ans=
2
非满秩,故系统不完全能观测
(c)已知系统矩阵为
,
,
,判别系统的能控性与能观测性;
a=[6.666-10.6667-0.3333;101;012];
b=[0;1;1];
c=[102];
d=0;
Qc=ctrb(a,b)
rank(Qc)
Qo=obsv(a,c)
rank(Qo)
运行结果:
Qc=
0-11.0000-84.9926
1.00001.0000-8.0000
1.00003.00007.0000
ans=
3
满秩,故系统能控
Qo=
1.000002.0000
6.6660-8.66673.6667
35.7689-67.4375-3.5551
ans=
3
满秩,故系统能观测
(d)求系统
的最小实现。
num=[11];
den=[1102718];
G=tf(num,den);
Gs=ss(G);
Gm=minreal(Gs);
Am=Gm.a
Bm=Gm.b
Cm=Gm.c
Dm=Gm.d
运行结果:
Am=
-3.66360.1575
9.8425-5.3364
Bm=
0.3522
-0.3522
Cm=
0.25000.2500
Dm=
0
(2)稳定性
(a)代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为:
,试对系统闭环判别其稳定性
num=[100200];
den=[121200];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)
[z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d,1);
Flagz=0;
n=length(a);
fori=1:
n
ifreal(p(i))>0
Flagz=1;
end
end
disp('系统的零极点模型为');z,p,k
ifFlagz==1
disp('系统不稳定');
elsedisp('系统是稳定的');
End
运行结果:
a=
-21-200
100
010
b=
1
0
0
c=
0100200
d=
0
系统的零极点模型为
z=
-2.0000
p=
0
-1
-20
k=
100.0000
系统是稳定的
(b)根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
,试在系统的闭环根轨迹图上选择一点,求出该点的增益及其系统的闭环极点位置,并判断在该点
系统闭环的稳定性。
num=[1,3];
den=conv(conv(conv([10],[15]),[16]),[122]);
rlocus(num,den);
sys=tf(num,den);
[k,poles]=rlocfind(sys);
range=[33:
1:
37]';
cpole=rlocus(num,den,range);
[range,cpole]
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(sys)
margin(sys)
运行结果:
selected_point=
-7.3519+6.1957i
ans=
Columns1through5
33.0000-5.5745+0.6697i-5.5745-0.6697i-1.7990-0.0260+1.3210i
34.0000-5.5768+0.6850i-5.5768-0.6850i-1.8154-0.0155+1.3340i
35.0000-5.5791+0.7001i-5.5791-0.7001i-1.8313-0.0052+1.3467i
36.0000-5.5815+0.7147i-5.5815-0.7147i-1.84660.0048+1.3591i
37.0000-5.5838+0.7291i-5.5838-0.7291i-1.86150.0146+1.3712i
Column6
-0.0260-1.3210i
-0.0155-1.3340i
-0.0052-1.3467i
0.0048-1.3591i
0.0146-1.3712i
Gm=
35.5190
Pm=
87.0383
Wcp=
1.3531
Wcg=
0.0500
由图可知,该点时相位裕度大于零,该系统稳定。
(c)Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
num=[2.7];
den=[1540];
H=tf(num,den);
Bode(H)
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(H)
margin(H)
运行结果:
Gm=
7.4074
Pm=
51.7321
Wcp=
2.0000
Wcg=
0.5783
可以看出,该系统的增益裕度Gm大于6dB,且相位裕度在30~60之间,所以闭环系统稳定,而且系统的闭环响应也会较理想,这可从图所示的系统闭环阶跃响应曲线中看出。
num=[2.7];
den=[15-40];
H=tf(num,den);
Bode(H)
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(H)
margin(H)
运行结果:
Gm=
Inf
Pm=
-58.0504
Wcp=
NaN
Wcg=
0.5346
从结果可以看出,闭环系统不稳定。
(d)判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
a=[010;001;2500-5];
b=[0;0;10];
c=[-2550];
d=0;
[z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d,1)
[G,Q]=ss2tf(a,b,c,d);
sys=tf(G,Q);
figure
(1);
[P,Z]=pzmap(sys);
rlocus(sys);
grid;
title('根轨迹图')
运行结果:
z=
5.0000
p=
5.0000
-5.0000+5.0000i
-5.0000-5.0000i
k=
50.0000
由运行结果可知,该系统有一个极点是5,所以系统内部不稳定,因为有零极点对消情况,所以系统BIBO稳定。