线性系统理论基础实验二.docx
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线性系统理论基础实验二
实验报告
课程线性系统理论基础实验日期2016年5月25日
专业班级姓名学号同组人
实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性及实现评分
批阅教师签字
一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。
掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；
2、系统的稳定性分析；
3、系统的最小实现。
二、实验环境
MATLAB6.5
三、实验内容、源程序代码、实验数据及结果分析
（1）能控性、能观测性及系统实现
（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram,ctrb,obsv,lyap,ctrbf,obsvf,mineral；
含义如下：
①gram利用gram矩阵判断系统的能控性和能观测性
②ctrbobsv
利用ctrb和obsv矩阵判断系统的能控性和能观测性
③lyap
X=lyap（A,C）求解满足李雅普诺夫方程的对称矩阵X
其中A,C为给定矩阵，且C为对称矩阵。
④ctrbfobsvf
能控性结构分解和能观测性结构分解
⑤mineral最小实现
（a）已知连续系统的传递函数模型G（s）=
，当a分别取-1、0、1时，判别系统的能控性与能观测性
当a=-1时：
num=[1-1];
den=[1102718];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）;
Qc=ctrb（a,b）
rank（Qc）
Qo=obsv（a,c）
rank（Qo）
运行结果：
Qc=
1-1073
01-10
001
ans=
3
满秩，故系统能控
Qo=
01-1
1-10
-11-27-18
ans=
3
满秩，故系统能观测
当a=0时:
num=[10];
den=[1102718];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）
Qc=ctrb（a,b）
rank（Qc）
Qo=obsv（a,c）
rank（Qo）
运行结果：
Qc=
1-1073
01-10
001
ans=
3
满秩，故系统能控
Qo=
010
100
-10-27-18
ans=
3
满秩，故系统能观测
当a=1时：
num=[11];
den=[1102718];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）;
Qc=ctrb（a,b）
rank（Qc）
Qo=obsv（a,c）
rank（Qo）
运行结果：
Qc=
1-1073
01-10
001
ans=
3
满秩，故系统能控
Qo=
011
110
-9-27-18
ans=
2
非满秩，故系统不完全能观测
（c）已知系统矩阵为
，
，
，判别系统的能控性与能观测性；
a=[6.666-10.6667-0.3333;101;012];
b=[0;1;1];
c=[102];
d=0;
Qc=ctrb（a,b）
rank（Qc）
Qo=obsv（a,c）
rank（Qo）
运行结果：
Qc=
0-11.0000-84.9926
1.00001.0000-8.0000
1.00003.00007.0000
ans=
3
满秩，故系统能控
Qo=
1.000002.0000
6.6660-8.66673.6667
35.7689-67.4375-3.5551
ans=
3
满秩，故系统能观测
（d）求系统
的最小实现。
num=[11];
den=[1102718];
G=tf（num,den）;
Gs=ss（G）;
Gm=minreal（Gs）;
Am=Gm.a
Bm=Gm.b
Cm=Gm.c
Dm=Gm.d
运行结果：
Am=
-3.66360.1575
9.8425-5.3364
Bm=
0.3522
-0.3522
Cm=
0.25000.2500
Dm=
0
（2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为：
，试对系统闭环判别其稳定性
num=[100200];
den=[121200];
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）
[z,p,k]=ss2zp（a,b,c,d,1）;
Flagz=0;
n=length（a）;
fori=1:
n
ifreal（p（i））>0
Flagz=1;
end
end
disp（'系统的零极点模型为'）;z,p,k
ifFlagz==1
disp（'系统不稳定'）;
elsedisp（'系统是稳定的'）;
End
运行结果：
a=
-21-200
100
010
b=
1
0
0
c=
0100200
d=
0
系统的零极点模型为
z=
-2.0000
p=
0
-1
-20
k=
100.0000
系统是稳定的
（b）根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为
，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点
系统闭环的稳定性。
num=[1,3];
den=conv（conv（conv（[10],[15]）,[16]）,[122]）;
rlocus（num,den）;
sys=tf（num,den）;
[k,poles]=rlocfind（sys）;
range=[33:
1:
37]';
cpole=rlocus（num,den,range）;
[range,cpole]
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin（sys）
margin（sys）
运行结果:
selected_point=
-7.3519+6.1957i
ans=
Columns1through5
33.0000-5.5745+0.6697i-5.5745-0.6697i-1.7990-0.0260+1.3210i
34.0000-5.5768+0.6850i-5.5768-0.6850i-1.8154-0.0155+1.3340i
35.0000-5.5791+0.7001i-5.5791-0.7001i-1.8313-0.0052+1.3467i
36.0000-5.5815+0.7147i-5.5815-0.7147i-1.84660.0048+1.3591i
37.0000-5.5838+0.7291i-5.5838-0.7291i-1.86150.0146+1.3712i
Column6
-0.0260-1.3210i
-0.0155-1.3340i
-0.0052-1.3467i
0.0048-1.3591i
0.0146-1.3712i
Gm=
35.5190
Pm=
87.0383
Wcp=
1.3531
Wcg=
0.0500
由图可知，该点时相位裕度大于零，该系统稳定。
（c）Bode图法判断系统稳定性
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
num=[2.7];
den=[1540];
H=tf（num,den）;
Bode（H）
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin（H）
margin（H）
运行结果：
Gm=
7.4074
Pm=
51.7321
Wcp=
2.0000
Wcg=
0.5783
可以看出，该系统的增益裕度Gm大于6dB，且相位裕度在30～60之间，所以闭环系统稳定，而且系统的闭环响应也会较理想，这可从图所示的系统闭环阶跃响应曲线中看出。
num=[2.7];
den=[15-40];
H=tf（num,den）;
Bode（H）
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin（H）
margin（H）
运行结果：
Gm=
Inf
Pm=
-58.0504
Wcp=
NaN
Wcg=
0.5346
从结果可以看出，闭环系统不稳定。
（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
a=[010;001;2500-5];
b=[0;0;10];
c=[-2550];
d=0;
[z,p,k]=ss2zp（a,b,c,d,1）
[G,Q]=ss2tf（a,b,c,d）;
sys=tf（G,Q）;
figure
（1）;
[P,Z]=pzmap（sys）;
rlocus（sys）;
grid;
title（'根轨迹图'）
运行结果：
z=
5.0000
p=
5.0000
-5.0000+5.0000i
-5.0000-5.0000i
k=
50.0000
由运行结果可知，该系统有一个极点是5，所以系统内部不稳定，因为有零极点对消情况，所以系统BIBO稳定。
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