全国各地中考数学压轴题专集之六三角形.docx
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全国各地中考数学压轴题专集之六三角形
六、三角形
1．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2．
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？
请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2＝_______；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取时，S10＝_______．
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
Q
图3
图2
2．
问题探究
（1）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：
BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
FM
问题解决
（2）如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
FM
3．阅读下面的情景对话，然后解答问题：
小华：
等边三角形一定是奇异三角形！
E
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：
“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，
若Rt△ABC是奇异三角形，求a:
b:
c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），
D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在
点E，使AE＝AD，CB＝CE．
①求证：
△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
4．如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在相似关系，请说明理由；
（2）如图2，设∠ABP＝β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？
若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
B1
（3）如图3，当α＝60°时，点E、F与点B重合．已知AB＝4，设DP＝x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．
B1
B1
5．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
D
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：
AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
图1
F
（2）特例启发，解答题目
解：
题目中，AE与DB的大小关系是：
AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”），理由如下．
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
6．如图，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．
（1）在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，试求以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积．
D
7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α，∠ABO为β．
（1）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；
（3）当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．
C
x
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin∠EMP＝．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
E
图1
备用图
9．已知∠MON＝60°，射线OT是∠MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B．
（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A，求证：
PA＝PB；
（2）在
（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC＝PB，求△POB与△PBC的面积之比；
（3）当OB＝2时，射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．
T
备用图
备用图
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：
△A′CD是等边三角形；
（2）如图2，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′．
求证：
S△ACA′:
S△BCB′＝1:
3；
（3）如图3，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝__________°时，EP长度最大，最大值为__________．
P
图1
图2
第22题图（3）
11．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，点F在边BC上，CF＝1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG、FG分别交直线AC于点M、N．
（1）设BE＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若AE＝1，求△GMN的面积．
N
备用图
备用图
12．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．
（1）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？
若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（3）点P从点O运动到点A时，点C运动路线的长是多少？
y
备用图
13．如图，直线y＝－x＋2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45°得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部．
（1）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（2）求△BCD周长的最小值；
（3）当△BCD的周长取得最小值，且BD＝时，求△BCD的面积．
备用图
备用图
C
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC:
BC＝4:
3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）设点P的运动时间为x（s），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；
A
（3）当x＝5s时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
E
15．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝，D为射线BA上的动点（点D不与点B重合），DE∥BC交射线CA于点E．
（1）设CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式；
（2）若以线段BD、CE为直径的两圆相切，求DE的长度；
（3）当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？
若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
16．已知：
在△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB，BD＝BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图l，当∠ACB＝90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为____________________；
（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：
DE＝3CE；
（3）如图3，在
（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于点G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），
延长DK交AB于点H．若BH＝10，求CE的长．
图1
F
图2
17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x＝t与AC相交于点Q
．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．
y
（1）点B关于直线x＝t的对称点B′的坐标为___________；
（2）求S与t的函数关系式．
18．在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB＝AC时，（如图1）
①∠EBF＝_________°；
②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．
D
D
19．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．
（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；
（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC能形成哪些特殊四边形；
图2
（3）如图2，将△ABC中AB＝BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时
（1）中的两个结论同时成立．
图1
备用图
20．如图11，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BD是AC边上的中线，CE⊥BD，垂足为E．
E
（1）求sin∠DCE的值；
（2）求证：
∠ABD＝∠CAE；
（3）若点F在边AB上，且△AEF为等腰三角形，求AF的长．
21．
N
如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B两点重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
（1）求证：
△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：
∠APC＝∠BPC．
22．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
P
23．如图①，在△ABC中，AB＝AC，BC＝acm，∠B＝30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B－A－C运动到点C时停止运动．设点P出发xs时，△PBC的面积为ycm2．已知y与x的函数图象如图②所示，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？
1
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求cos∠DEF的值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
F
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
25．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）
问题1：
如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知S四边形P1R1R2P2＝S△ABC，请证明．
问题2：
若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的△ABC拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3：
如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD＝1，求
S四边形P2Q2Q3P3．
问题4：
如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
Q3
26．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m（－≤k≤）经过点A（2，4），与y轴相交于点C，点B坐标为（0，7）．记△ABC的面积为S．
（1）求m的取值范围；
（2）求S关于m的函数关系式；
（3）当S取得最大值时，将△ABC沿AC翻折得到△AB′C，求点B′的坐标．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．点P、Q分别是AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）当∠CPQ＝90°时，求t的值；
（2）是否存在t，使△CPQ成为等边三角形？
若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为等边三角形？
如何改变？
并求出相应的t值．
Q
28．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝72°，将△ABC绕点A顺时针旋转α度（36°＜α＜180°）得到△ADE，连接CE，线段BD（或其延长线）分别交AC、CE于点G、F．
（1）求证：
△ABG∽△FCG；
（2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得△ABG与△FCG全等？
若存在，求出此时旋转角α的大小；若不存在，说明理由．
G
29．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90º，BC＝5，tan∠A＝．将△ABC绕点C逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE，设直线DE与直线AB相交于点P，连接CP．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：
PC平分∠EPA；
（2）如图2，当点P在边AB上时，求证：
PE＋PB＝6；
（3）在△ABC旋转过程中，连接BE，当△BCE的面积为时，求∠BPE的度数及PB的长．
备用图
图2
图1
30．已知△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB．将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、F．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，则的值为________，∠AFB的度数为________；
（2）如图2，若△ABC满足∠ACB＝60°，AC＝，BC＝．
①求的值和∠AFB的度数；
图2
②若E是BC的中点，求△OBC面积的最大值．
图1
31．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90º．固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图2．
（1）始终与△AGC相似的三角形有___________和___________；
（2）在图2中，设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
G
图1
32．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A、B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝_________；（直接写出结果）
（2）连结AD、BC相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否随点P的移动而变化？
请说明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？
（只需直接写出你的猜想，不必证明）
图2
图1
33．已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y＝x交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y＝x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？
若有，求出当S最大时x的值；
y
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？
若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：
△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？
并证明你的猜想；
30°
（3）设BP＝x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．
35．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．
（1）如图2，若点D是边AB的中点，求证：
DE＝DF；
（2）若AD:
DB＝m，求DE:
DF的值；
（3）若AC＝BC＝6，AD:
DB＝1:
2，设AE＝x，BF＝y．
①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切，若可能，求出此时x的值，若不可能，请说明理由．
F
F
备用图
备用图
36．
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：
＝．
（2）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：
MN2＝DM·EN．
N
N
图1
E
37．如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．
（1）证明：
AB＝AC；
（2）证明：
点O是△ABC的外接圆的圆心；
（3）当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．
38．两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．
（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；
（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；
（3）在
（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：
G1I＝CI．
E
E1
G
39．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1．
（1）若BD是AC的中线，如图2，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；
（3）结合
（1）、
（2），请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？
若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由．
E
E
E
40．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接AP、CP，CP交AB于点N（如图1）．
（1）若AC＝BC，求证：
△NPB∽△PAB；
（2）若BC＝2，当AC的长为多少时，△ACB∽△ABP？
（3）图1中，当点A沿直线AC向下运动（其余条件不变）时，Rt△ABC、△PAB、△PBC都会变化（如图2），若点A一直运动到BC下方，请在图3中画出相应的图形．若BC＝2，设AC＝x，△BCP的面积为S1，△PAB的面积为S2，试问S1、S2是否都为定值？
若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式．
P
图3
P
41．如图
（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．若AC＝mBC，CE＝nEA（m，n为实数）．
试探究线段EF与EG的数量关系．
（1）如图
（2），当m＝1，n＝1时，EF与EG的数量关系是____________；
证明：
（2）如图（3），当m＝1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是____________；
证明：
（3）如图
（1），当m，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是____________．（写出关系式，不必证明）
E
E
E
42．如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝2，以点B为圆心，BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC＝∠BAC．P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交BD的延长线于点Q．设CP＝x，DQ＝y．
P
（1）求CD的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若∠DAQ＝2∠BAC，求CP的长．
43．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的边长是12，点A在第一象限，OB边在x轴的正半轴上．将△
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