全国各地中考数学压轴题专集之六三角形.docx

1、全国各地中考数学压轴题专集之六三角形六、三角形1ABC是一张等腰直角三角形纸板，C90，ACBC2（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的ADE和BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2_；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3（如图3）；继续操作下去则第10次剪取时，S10

2、_（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和Q图3图22问题探究（1）如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF求证：BECFEF；若A90，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明FM问题解决（2）如图，在四边形ABDC中，BC180，DBDC，BDC120，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明FM3阅读下面的情景对话，然后解答问题：小华：等边三角形一定是奇异三角形！E（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一

3、定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在RtABC中，ACB90，ABc，ACb，BCa，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a : b : c；（3）如图，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使AEAD，CBCE 求证：ACE是奇异三角形； 当ACE是直角三角形时，求AOC的度数4如图1，在等边ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP，将ABP绕点P按顺时针方向旋转角（0180），得到A1B1P，连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F（1）如图1，当060

4、时，在角变化过程中，BEF与AEP始终存在相似关系，请说明理由；（2）如图2，设ABP，当60180时，在角变化过程中，是否存在BEF与AEP全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理由；B1（3）如图3，当60时，点E、F与点B重合已知AB4，设DPx，A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式B1B15数学课上，李老师出示了如下框中的题目D小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论：AE_DB（填“”，“”或“”）图1 F（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：A

5、E_DB（填“”，“”或“”），理由如下如图2，过点E作EFBC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且EDEC若ABC的边长为1，AE2，求CD的长（请你直接写出结果）6如图，ABC的三条中线分别为AD、BE、CF（1）在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为1，试求以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积D7在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD记旋转转角为，ABO为（1）如图

6、，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（2）如图，当旋转后满足BCx轴时，求与之间的数量关系；（3）当旋转后满足AOD时，求直线CD的解析式Cx8在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，sinEMP （1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设APx，BNy，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长E图1备用图9已知MON

7、60，射线OT是MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120后与射线OM交于点A，求证：PAPB；（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC PB，求POB与PBC的面积之比；（3）当OB2时，射线PB绕点P顺时针旋转120后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足PBDABO，求OP的长T备用图备用图10在ABC中，ACB90，ABC30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0180），得到ABC（1）如图1，当ABCB 时，设AB 与CB相交于点D证明：ACD是等边三角形

8、；（2）如图2，连接AA、BB，设ACA 和BCB 的面积分别为SACA 和SBCB 求证：SACA : SBCB 1 : 3；（3）如图3，设AC中点为E，AB 中点为P，ACa，连接EP，当_时，EP长度最大，最大值为_P图1图2第22题图(3)11如图，ABC是边长为3的等边三角形，点F在边BC上，CF1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG、FG分别交直线AC于点M、N（1）设BEx，MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若AE1，求GMN的面积N备用图备用图12如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正

9、半轴上，点B在第一象限点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA（1）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（2）在点P从O向A运动的过程中，PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（3）点P从点O运动到点A时，点C运动路线的长是多少？y备用图13如图，直线y x2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转45得到射线AN，D为AM上的动点，B为AN上的动点，点C在MAN的内部（1）当AMx轴，且四边形ABCD

10、为梯形时，求BCD的面积；（2）求BCD周长的最小值；（3）当BCD的周长取得最小值，且BD 时，求BCD的面积备用图备用图C14如图，在RtABC中，C90，AB10cm，AC : BC4 : 3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动（1）设点P的运动时间为x（s），PBQ的面积为y（cm2），当PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当点Q在CA上运动，使PQAB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC是否相似，请说明理由；A（3）当x5s

11、时，在直线PQ上是否存在一点M，使BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由E15如图，在ABC中，AB5，AC3，cosA ，D为射线BA上的动点（点D不与点B重合），DEBC交射线CA于点E（1）设CEx，BDy，求y与x的函数关系式；（2）若以线段BD、CE为直径的两圆相切，求DE的长度；（3）当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由16已知：在ABC中，BC2AC，DBCACB，BDBC，CD交线段AB于点E（1）如图l，当ACB90时，则线段DE、CE之间的数量关系为_；（2）如图2，当ACB1

12、20时，求证：DE3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于点G，DKG和DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H若BH10，求CE的长图1F图217如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（4，0）P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线xt与AC相交于点Q设四边形ABPQ关于直线xt的对称的图形与QPC重叠部分的面积为Sy（1）点B关于直线xt的对称点B 的坐标为_；（2）求S与t的函数关系式18在ABC中，A90，点D在线段BC上，EDB C，BEDE，垂足为E，DE

13、与AB相交于点F（1）当ABAC时，（如图1）EBF_；探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当ABkAC时（如图2），求 的值（用含k的式子表示）DD19如图1，在ABC中，ABC90，ABBC，BD为斜边AC上的中线，将ABD绕点D顺时针旋转（0180），得到EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC能形成哪些特殊四边形；图2（3）如图2，将ABC中ABBC改成ABBC时，其他条件不变，直接写出为多少度时（1）中的两个结论同时成立图1备用图20如图11

14、，在ABC中，ACB90，ACBC2，BD是AC边上的中线，CEBD，垂足为EE（1）求sinDCE的值；（2）求证：ABDCAE；（3）若点F在边AB上，且AEF为等腰三角形，求AF的长21N如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B两点重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和等腰BCE，CACD，CBCE，ACD与BCE都是锐角且ACDBCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC（1）求证：ACEDCB；（2）请你判断AMC与DMP的形状有何关系并说明理由；（3）求证：APCBPC22如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB

15、、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点（1）如图，已知RtABC中，ACB90，ACBA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似点；（2）在ABC中，ABC如图，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数P23如图，在ABC中，ABAC，BCa cm，B30动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线BAC运动到点C时停止运动设点P出发x s时，PBC的面积为y cm2已知y与x的函数图象如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断DO

16、E的形状，并说明理由；（2）当a为何值时，DOE与ABC相似？124如图，在RtABC中，C90，ACBC6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且FDE90（1）当DFAB时，连接EF，求cosDEF的值；（2）当点F在线段BC上时，设AEx，BFy，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；F（3）连接CE，若CDE为等腰三角形，求BF的长25某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；现请你继续对下

17、面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC经探究知S四边形P1R1R2P2 SABC ，请证明问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的ABC拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC请探究S四边形P1Q1Q2P2 与S四边形ABCD之间的数量关系问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC若S四边形ABCD 1，求S四边形P2Q2Q3P3 问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，

18、P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式Q326在平面直角坐标系中，直线y kxm（ k ）经过点A（2，4），与y轴相交于点C，点B坐标为（0，7）记ABC的面积为S（1）求m的取值范围；（2）求S关于m的函数关系式；（3）当S取得最大值时，将ABC沿AC翻折得到ABC，求点B 的坐标27如图，RtABC中，ACB90，AC3cm，CB4cm点P、Q分别是AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0t4）（1）当CPQ90时，求t的值；（2）是否存在t，使

19、CPQ成为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q的运动速度（P的速度不变），使CPQ成为等边三角形？如何改变？并求出相应的t值Q28如图，在ABC中，ABCBAC72，将ABC绕点A顺时针旋转度（36180）得到ADE，连接CE，线段BD（或其延长线）分别交AC、CE于点G、F（1）求证：ABGFCG；（2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得ABG与FCG全等？若存在，求出此时旋转角的大小；若不存在，说明理由G29已知RtABC中，ACB90，BC5，tanA 将ABC绕点C逆时针旋转（45135）得到DCE，设直线DE与直线AB相交于点P，连接CP（1）如图1，当CDAB时

20、，求证：PC平分EPA；（2）如图2，当点P在边AB上时，求证：PEPB6；（3）在ABC旋转过程中，连接BE，当BCE的面积为 时，求BPE的度数及PB的长备用图图2图130已知ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE（BCE180），连接AD、BE，设直线BE 与AC、AD 分别交于点O、F（1）如图1，若ABC为等边三角形，则 的值为_，AFB的度数为_；（2）如图2，若ABC满足ACB60，AC，BC求 的值和AFB的度数；图2若E是BC的中点，求OBC面积的最大值图131如图1，ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，ABACE

21、F9，BACDEF90固定ABC，将DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图2（1）始终与AGC相似的三角形有_和_；（2）在图2中，设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式；（3）当x为何值时，AGH是等腰三角形？G图132如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A、B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP_；（直接写出结果）（2）连结AD、BC相交于点Q，设AQC，那么的大小

22、是否随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）图2图133已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线yx交于点C（1）求直线l的解析式；（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线yx于D，求PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；y（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由34如图，RtABC中，A30，BC10cm，点Q

23、在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动作PMPQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F（1）求证：PQEPMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；30（3）设BPx，PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来35如图1，在RtABC中，C90，ACBC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DFDE，DF与射线BC相交于点F（1）如图2，若点D是边AB的中点，求证：DEDF；（2

24、）若AD : DBm，求DE : DF的值；（3）若ACBC6，AD : DB1 : 2，设AEx，BFy求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；以CE为直径的圆与直线AB是否可相切，若可能，求出此时x的值，若不可能，请说明理由FF备用图备用图36（1）如图1，在ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证： （2）如图，在ABC中，BAC90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点如图2，若ABAC1，直接写出MN的长；如图3，求证：MN 2DMENNN图1E37如图，D是ABC的边BC的中点，过AD延长线上

25、的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AOCO，BCEF（1）证明：ABAC；（2）证明：点O是ABC的外接圆的圆心；（3）当AB5，BC6时，连接BE，若ABE90，求AE的长38两个大小相同且含30角的三角板ABC和DEC如图摆放，使直角顶点重合将图中DEC绕点C逆时针旋转30得到图，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点（1）不添加辅助线，写出图中所有与BCF全等的三角形；（2）将图中的DEC绕点C逆时针旋转45得D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程

26、；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1ICIEE1G39已知ABC是等腰直角三角形，A90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图1（1）若BD是AC的中线，如图2，求 的值；（2）若BD是ABC的角平分线，如图3，求 的值；（3）结合（1）、（2），请你推断 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由EEE40RtABC中，ACB90，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90，得到线段BP，连接AP、CP，CP交AB于点N（如图1）（1）若ACBC，求证：

27、NPBPAB；（2）若BC2，当AC的长为多少时，ACBABP？（3）图1中，当点A沿直线AC向下运动（其余条件不变）时，RtABC、PAB、PBC都会变化（如图2），若点A一直运动到BC下方，请在图3中画出相应的图形若BC2，设ACx，BCP的面积为S1，PAB的面积为S2，试问S1、S2是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式P图3P41如图（1），在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EFBE交AB于点F若ACmBC，CEnEA（m，n为实数）试探究线段EF与EG的数量关系（1）如图（2），当m1，n1时，EF与EG的数量关系是_；证明：（2）如图（3），当m1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是_；证明：（3）如图（1），当m，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是_（写出关系式，不必证明）EEE42如图，已知在ABC中，AB4，BC2，以点B为圆心，BC长为半径的弧交边AC于点D，且DBCBACP是边BC延长线上一点，过点P作PQBP，交BD的延长线于点Q设CPx，DQyP（1）求CD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若DAQ2BAC，求CP的长43如图，在平面直角坐标系中，等边OAB的边长是12，点A在第一象限，OB边在x轴的正半轴上将