安徽省安庆一中高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.1 函数的单调性与导数(共27ppt).pptx

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,1.3导数在研究函数中的应用,1.3.1函数的单调性与导数,过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.,过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧！

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.,（重点）利用导数判断函数单调性.（难点）掌握利用导数判断函数单调性的方法.,t变化的函,a,a,b,b,t,t,v,数v（t）9.8t6.5的图象.运动员从起跳到最高点,以及从O最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?

O,

（1）,

（2）,探究：

函数的单调性与其导函数的关系图

（1）表示高台跳水运动员的高,的速度v随时间,度h随时间t变化的函数h（t）4.9t26.5t10的图h象,图

（2）表示高台跳水运动员,a,b,b,t,t,v,h,Oa,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h（t）是增函数.相应地,v（t）h（t）0.,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h（t）是减函数.相应地,v（t）h（t）0.,

（1）,

（2）,观察下面一些函数图象,探讨函数的单调性与其导函数正负,的关系.,yx,y,x,1,yx2,y,x,2,yyx3,x,3,x,y1,y,x,4,OO,OO,OO,OO,图3.33,O,yyfx,x0,fx0x,x1,fx1,0）,f（x）在点（x0,f（x0）处的切线的斜率.在x=x0处,右上”式的,这时,函数f（x）在x0附近单调递增;在,如图,导数f（x0）表示函数,f（x）0,切线是“左下,x=x1处,f（x1）0,切线是“左上右下”式的,这时,函数f（x）在x1附近单调递减.,=f（x）在这个区间内单调递减.,一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:

在某个区间（a,b）内,如果f（x）0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增;如果f（x）0,那么函数y,的下列信息:

当1x,当x4,或x1时,当x=4,例1已知导函数f（x）,4时,f（x）0;,f（x）0;,或x=1时1时,f（x）0.,试画出函数f（x）图象的大致形状.,解:

当10,可知f（x）在此区间内单调递增;,当x,在这两个区间内单调递减;,4,或x1时,f（x）0,可知f（x）,当x=4,或x=1时,f（x）=0.综上,函数f（x）图象的大致形状如图所示.,x,y,O,1,4,y=f（x）,例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

（1）f（x）x33x;

（2）f（x）x22x3;,（3）f（x）sinxx,x（0,）;,解:

（1）因为,f（x）=x3+3x,所以,f（x）=3x2+3=3（x2+1）0.因此,函数f（x）=x3+3x在xR上单调递增.如图

（1）所示,x,y,o,（4）f（x）2x33x224x1.fx=x3+3x,图1,x,y,o,fx=x2-2x-3,图2,1,2因为fx=x2-2x-3,所以fx=2x-2=2x-1.当fx0,即x1时,函数fx=x2-2x-3单调递增;当fx0,即x1时,函数fx=x2-2x-3单调递减.函数fx=x2-2x-3的单调递增区间为1，+，,单调递减区间为-，1.函数fx=x2-2x-3的图象如图

（2）所示.,3因为fx=sinx-x,x0,所以,fx=,x,y,o,fx=sinx-x,图3,p,cosx10,因此,函数fx=sinx-x,x0,内单调递减.,如图（3）所示.,当,时,函数fx,当fx0,即,;,时,fx0,函数fx,当fx0,即,.,4因为fx=2x3+3x2-24x+1,所以fx=6x26x24.,2,2,x1,17或x117,单调递增,2,12,17x117,单调递减,fx=2x3+3x2-24x+1的图象如图（4）所示.,函数fx2x33x224x1单调递增区间,为,，,-1-17,-1+17,-,-，,+,2,2,单调递减区间为,.,-1-,17-1+17,2,2,O,x,y,fx=2x3+3x2-24x+1,图（4）,总结提升根据导数确定函数的单调性步骤：

确定函数f（x）的定义域.求出函数的导数.解不等式f（x）0,得函数单调增区间;解不等式f（x）0,得函数单调减区间.,例3如图,水以恒速（即单位时间内注入水的体,积相同）注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,1,2,4,A,o,t,h,B,o,t,h,C,o,t,3h,D,o,t,h,2,A,o,t,h,分析以容器2为例,由于容器上细下粗,所以水以恒速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图象上,A符合上述变化情况.同理,可知其他三种容器的情况.解1B,2A,3D,4C.,思考例3表明,通过函数图象,不仅可以看出函数的增与减,还可以看出其增减的快慢.结合图象,你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡,峭”向上或向下;反之,函数的图象就“平缓”一些.如图所示,函数y=fx在0,a或-a,0内图象“陡峭”,在a,+或-,-a内“平缓”.,o,x,y,a,a,例4已知函数f（x）ax33x2x1在（，）上是减函数，求实数a的取值范围,【解析】f（x）3ax26x1，由题意得3ax26x10在（，）上恒成立,当a0时，由题意得,解得a3.综上可知，实数a的取值范围是a3.,当a0时，6x10，x1不满足题意，a0.,6a0,，3612a0,1.函数y=3xx3的单调增区间是（）,A.（0，+）B.

（1），C.（1，1），+D.）（1,C,）,B.,D.,D,A.（-，-2C.2，+）,（-，-11，+）,x,x,因为f（x）kx-lnx，所以f（x）k-10.,解因为f（x）在（1,）上递增，所以f（x）0恒成立,即k11.所以k1,）.,2.（2014新课标全国2）若函数f（x）kx-lnx在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是（,3函数y=xlnx在区间（0，1）上是（,）,单调增函数单调减函数,）是）减函数，在（,上1是1是）增函数,D.在（,上1是1是）减函数，在（0,上是）是）增函数,C.在（0,1上是,C,1e,1ee,1,e,4函数y=x2（x+3）的单调递减区间是,，,单调递增区间是,.,（2，0）,（，2）,（0，+）,.,（k,k+,k）k）,Z,5函数f（x）=cos2x的单调递减区间是,2,1.求可导函数f（x）单调区间的步骤：

（1）求f（x）

（2）解不等式f（x）0（或f（x）0）（3）确认并指出递增区间（或递减区间）2.证明可导函数f（x）在（a,b）内的单调性的方法：

求f（x）确认f（x）在（a,b）内的符号作出结论,古之成大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志也.,