安徽省安庆一中高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.1 函数的单调性与导数(共27ppt).pptx

1、,1.3 导数在研究函数中的应用,1.3.1 函数的单调性与导数,过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风 驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.,过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本 节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用 吧！,1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.,（重点）利用导数判断函数单调性.（难点）掌握利用导数判断函数单调性的方法.,t变化的函,a,a,b,b,t,t,v,数 v(t)9.8t 6.5 的图象.运动 员从起跳到最高点,以及从O最高点到入水这两段时间的运动 状态有什么区别?,O,(1),(2),探究：函数的单调性与其导函数的关系图(1)表示高台跳水运动员的

2、高,的速度 v随时间,度 h随时间 t变化的函数 h(t)4.9t2 6.5t 10 的图h象,图(2)表示高台跳水运动员,a,b,b,t,t,v,h,Oa,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增 加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v(t)h(t)0.,从最高点到入水,运动员离水面的高度 h随时间t的增加而 减小,即h(t)是减 函数.相应地,v(t)h(t)0.,(1),(2),观察下面一些函数图象,探讨函数的单调性与其导函数正负,的关系.,y x,y,x,1,y x2,y,x,2,yy x3,x,3,x,y 1,y,x,4,OO,OO,OO,OO,图3.3 3,O,yy

3、 f x,x0,f x0 x,x1,f x1,0),f(x)在点(x0,f(x0)处的切 线的斜率.在x=x0 处,右上”式的,这时,函数f(x)在 x0 附近单调递增;在,如图,导数f(x0)表示函数,f(x)0,切线是“左下,x=x1处,f(x1)0,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f(x)在x1附近单调递减.,=f(x)在这个区间内单调递减.,一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在 这个区间内单调递增;如果f(x)0,那么函数y,的下列信息:,当1 x,当 x4,或 x1时,当 x=4,例1已知导函数 f(x),

4、4时,f(x)0;,f(x)0;,或 x=1时1时,f(x)0.,试画出函数f（x）图象的大致形状.,解:当1 0,可知 f(x)在此区间 内单调递增;,当 x,在这两个区间内单调递减;,4,或 x1时,f(x)0,可知 f(x),当 x=4,或 x=1时,f(x)=0.综上,函数f(x)图象的 大致形状如图所示.,x,y,O,1,4,y=f(x),例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)x3 3x;(2)f(x)x2 2x 3;,(3)f(x)sinx x,x(0,);,解:(1)因为,f(x)=x3+3 x,所以,f(x)=3 x2+3=3(x2+1)0.因此,函数 f(x

5、)=x3+3 x在 xR上单调递增.如图(1)所示,x,y,o,(4)f(x)2x3 3x2 24x 1.f x=x3+3x,图1,x,y,o,f x=x2-2x-3,图2,1,2因为fx=x2-2x-3,所以f x=2x-2=2x-1.当 f x0,即x 1时,函数fx=x2-2x-3单调递增;当 f x0,即x 1时,函数fx=x2-2x-3单调递减.函 数fx=x2-2x-3的单调递增区间为1，+，,单调递减区间为-，1.函数fx=x2-2x-3的 图象如图(2)所示.,3因为f x=sinx-x,x 0,所以,fx=,x,y,o,f x=sinx-x,图3,p,cos x 1 0,因此

6、,函数f x=sinx-x,x0,内单调递减.,如图（3）所示.,当,时,函数f x,当fx 0,即,;,时,fx 0,函数f x,当fx 0,即,.,4因为f x=2x3+3x2-24x+1,所以fx=6x2 6x 24.,2,2,x 1,17 或x 117,单调递增,2,12,17 x 117,单调递减,f x=2x3+3x2-24x+1的 图象如图（4）所示.,函数f x 2x3 3x2 24x 1单调递增区间,为,，,-1-17,-1+17,-,-，,+,2,2,单调递减区间为,.,-1-,17-1+17,2,2,O,x,y,f x=2x3+3x2-24x+1,图（4）,总结提升根据导

7、数确定函数的单调性步骤：确定函数f(x)的定义域.求出函数的导数.解不等式f(x)0,得函数单调增区间;解不等式f(x)0,得函数单调减区间.,例3如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体,积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找 出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,1,2,4,A,o,t,h,B,o,t,h,C,o,t,3h,D,o,t,h,2,A,o,t,h,分析以容器2为例,由于容器上 细下粗,所以水以恒速注入时,开 始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图象上,A符合上述变化情况.同理,可知其他三种容器的情况.解1B,2A,3D,4C.,思考例3 表明

8、,通过函数图象,不仅可以看出函数 的增与减,还可以看出其增减的快慢.结合图象,你 能从导数的角度解释增减快慢的 情况吗?,一般地,如果一个函数 在某一范围内导 数的绝对值较大,那么 函数 在这个范围内 变 化得快,这时,函 数的图象就比较“陡,峭”向上或向下;反之,函数的图象就“平缓”一 些.如图所示,函数y=f x在0,a或-a,0内图象“陡峭”,在a,+或-,-a 内“平缓”.,o,x,y,a,a,例4已知函数f(x)ax33x2x1在(，)上 是减函数，求实数a的取值范围,【解析】f(x)3ax26x1，由题意得3ax26x10在(，)上恒成立,当a0时，由题意得,解得a3.综上可知，实

9、数a的取值范围是a3.,当a0时，6x10，x 1 不满足题意，a0.,6a 0,，36 12a 0,1.函数y=3xx3的单调增区间是(),A.(0，+)B.(1)，C.(1，1)，+D.)(1,C,),B.,D.,D,A.（-，-2 C.2，+）,（-，-11，+）,x,x,因为f(x)kx-ln x，所以f(x)k-1 0.,解因为f(x)在(1,)上递增，所以f(x)0恒成立,即k 1 1.所以k 1,).,2.（2014新课标全国2）若函数 f(x)kx-ln x在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是(,3函数y=xlnx在区间(0，1)上是(,),单调增函数单调减函数,)是)减

10、函数，在(,上1是1是)增函数,D.在(,上1是1是)减函数，在(0,上是)是)增函数,C.在(0,1上是,C,1e,1ee,1,e,4函数y=x2(x+3)的单调递减区间是,，,单调递增区间是,.,(2，0),(，2),(0，+),.,(k,k+,k)k),Z,5函数f(x)=cos2x的单调递减区间是,2,1.求可导函数f(x)单调区间的步骤：,(1)求 f(x)(2)解不等式f(x)0(或 f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：求f(x)确认f(x)在(a,b)内的符号作出结论,古之成大事者，不惟有超世之才，亦必有坚 忍不拔之志也.,