大学高等数学公式费了好大的劲汇总.docx
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大学高等数学公式费了好大的劲汇总
高等数学公式
导数公式:
(tgx)'=sec2x(arcsinx)'=1(ctgx)'=-csc2x-x2(secx)'=secx⋅tgx(arccosx)'=-1(cscx)'=-cscx⋅ctgx-x2(ax)'=axlna(arctgx)'=1
1+x2
(log1
ax)'=xlna(arcctgx)'=-1
1+x2
基本积分表:
⎰tgxdx=-lncosx+C⎰dx=⎰sec2⎰ctgxdx=lnsinx+Ccos2xxdx=tgx+C⎰secxdx=lnsecx+tgx+C⎰dx⎰csc2
sin2x=xdx=-ctgx+C
⎰cscxdx=lncscx-ctgx+C⎰secx⋅tgxdx=secx+C⎰dx⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+Ca2+x2=1aarctgx
a+C
x=ax
⎰dx⎰adxlna+Cx2-a2=12alnx-a
x+a+C⎰shxdx=chx+C
⎰dx
a2-x2=1a+x2alna-x+C⎰chxdx=shx+C⎰dx
a2-x2=arcsinxa+C⎰dx
x2±a2=ln(x+x2±a2)+C
ππ
22
In
n=⎰sinxdx=⎰cosnxdx=n-1
00nIn-2
⎰2a2dx=x2
x+x2+a2+aln(x+x2+a2
22)+C⎰x2-a2dx=x22a2
2x-a-2lnx+x2-a2+C⎰a2-x2dx=x22a2x
2a-x+2arcsina+C
三角函数的有理式积分:
sinx=2u1-u2x2du
1+u2, cosx=1+u2, u=tg2, dx=1+u21
一些初等函数:
两个重要极限:
ex-e-x
双曲正弦:
shx=2
ex+e-x
双曲余弦:
chx=limsinx=1x→0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045...2x→∞x
thx=shxex-e-x
双曲正切:
chx=ex+e-x
arshx=ln(x+x2+1)
archx=±ln(x+x2-1)
arthx=11+x
2ln1-x
三角函数公式:
·诱导公式:
·和差角公式:
·和差化积公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβsinα+sinβ=2sinα+βcos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ2cosα-β
tg(α±β)=tgα±tgβsinα-sinβ=2cosα+βα-β
1tgα⋅tgβ2sin2ctgα⋅cosα+cosβ=2cosα+βα-β
ctg(α±β)=ctgβ12cos2
ctgβ±ctgαcosα-cosβ=2sinα+βα-β
2sin2
·倍角公式:
sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α
ctg2α-1ctg2α=2ctgα
2tgαtg2α=1-tg2α
·半角公式:
sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα3tgα-tg3αtg3α=1-3tg2α
sin
tg
α2=±=±-cosα+cos cos=±2221-cos1-cosαsinαα1+cos1+cosαsinα== ctg=±==1+cosαsinα1+cosα21-cosαsinα1-cosαα2
·正弦定理:
abc===2R·余弦定理:
c2=a2+b2-2abcosCsinAsinBsinC
·反三角函数性质:
arcsinx=π
2-arccosx arctgx=π
2-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)(n)k(n-k)(k)=∑Cnuv
k=0n
=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)(n-2)n(n-1)(n-k+1)(n-k)(k)uv''++uv++uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
f(b)-f(a)f'(ξ)=F(b)-F(a)F'(ξ)
曲率:
当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式:
ds=+y'2dx,其中y'=tgα
平均曲率:
K=∆α∆α:
从M点到M'点,切线斜率的倾角变化量;∆s:
MM'弧长。
∆s
M点的曲率:
K=∆αdαy''
∆lims→0∆s=ds=(1+y'2)3.
直线:
K=0;
半径为a的圆:
K=1
a.
定积分的近似计算:
b
矩形法:
⎰f(x)≈b-a
n(y0+y1++yn-1)
a
b
梯形法:
⎰f(x)≈b-a
an[12(y0+yn)+y1++yn-1]
b
抛物线法:
⎰f(x)≈b-a[(y0+yn)+2(y2+y4++yn-2)+4(y1+y3++
a3nyn-1)]
定积分应用相关公式:
功:
W=F⋅s
水压力:
F=p⋅A
引力:
F=km1m2
r2,k为引力系数
b
函数的平均值:
y=1
b-a⎰f(x)dx
a
b
12
b-a⎰f(t)dt
a
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上的投影:
PrjuAB=cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。
Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
cosθ=
ic=a⨯b=ax
bxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+az⋅bx+by+bz222222az,c=a⋅bsinθ.例:
线速度:
v=w⨯r.bz
ay
by
cyazczbz=a⨯b⋅ccosα,α为锐角时,ax向量的混合积:
[abc]=(a⨯b)⋅c=bxcx
代表平行六面体的体积。
平面的方程:
1、点法式:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax+By+Cz+D=0
xyz3++=1abc
平面外任意一点到该平面的距离:
d=Ax0+By0+Cz0+D
A2+B2+C2
⎧x=x0+mtx-x0y-y0z-z0⎪===t,其中s={m,n,p};参数方程:
⎨y=y0+ntmnp⎪z=z+pt0⎩
二次曲面:
x2y2z2
12+2+2=1abc
x2y2
2+=z(,p,q同号)2p2q
3、双曲面:
x2y2z2
2+2-2=1abc
x2y2z2
2-2+2=(马鞍面)1abc
多元函数微分法及应用
全微分:
dz=∂z∂z∂u∂u∂udx+dy du=dx+dy+dz∂x∂y∂x∂y∂z全微分的近似计算:
∆z≈dz=fx(x,y)∆x+fy(x,y)∆y
多元复合函数的求导法:
dz∂z∂u∂z∂vz=f[u(t),v(t)]=⋅+⋅ dt∂u∂t∂v∂t
∂z∂z∂u∂z∂vz=f[u(x,y),v(x,y)]=⋅+⋅∂x∂u∂x∂v∂x
当u=u(x,y),v=v(x,y)时,
du=∂u∂u∂v∂vdx+dy dv=dx+dy ∂x∂y∂x∂y
隐函数的求导公式:
FxFFdydyd2y∂∂隐函数F(x,y)=0=-2=(-x)+(-x)⋅dxFy∂xFy∂yFydxdx
FyFx∂z∂z隐函数F(x,y,z)=0=-=-∂xFz∂yFz
∂F
⎧F(x,y,u,v)=0∂(F,G)∂u隐函数方程组:
J==⎨∂GG(x,y,u,v)=0∂(u,v)⎩∂u
∂u1∂(F,G)∂v1∂(F,G)=-⋅=-⋅∂xJ∂(x,v)∂xJ∂(u,x)
∂u1∂(F,G)∂v1∂(F,G)=-⋅=-⋅∂yJ∂(y,v)∂yJ∂(u,y)
微分法在几何上的应用:
∂F∂v=Fu∂GGu∂vFvGv
⎧x=ϕ(t)x-xy-y0z-z0⎪空间曲线⎨y=ψ(t)在点M(x0,y0,z0)0==''ϕ(t)ψ(t)ω'(t0)00⎪z=ω(t)⎩
在点M处的法平面方程:
ϕ'(t0)(x-x0)+ψ'(t0)(y-y0)+ω'(t0)(z-z0)=0
⎧FyFzFzFxFx⎪F(x,y,z)=0若空间曲线方程为:
则切向量T={,,⎨GGGxGx⎪yzGz⎩G(x,y,z)=0
曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
x-x0y-y0z-z03==Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度:
6FyGy2、过此点的切平面方程:
Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0
∂f∂f∂f
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l=cosϕ+sinϕ
∂l∂x∂y其中ϕ为x轴到方向l的转角。
∂f∂f
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)=i+j
∂x∂y
∂f
它与方向导数的关系是=gradf(x,y)⋅e,其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j,为l方向上的
∂l
单位向量。
∴
∂f
是gradf(x,y)在l上的投影。
∂l
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令:
fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C⎧⎧A<0,(x0,y0)为极大值2AC-B>0时,⎨⎪
⎩A>0,(x0,y0)为极小值⎪⎪2
则:
⎨AC-B<0时, 无极值⎪AC-B2=0时, 不确定⎪⎪⎩
重积分及其应用:
⎰⎰f(x,y)dxdy=⎰⎰f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
D
D'
曲面z=f(x,y)的面积A=⎰⎰
D
⎛∂z⎫⎛∂z⎫
⎪1+⎪+dxdy⎪
⎝∂x⎭⎝∂y⎭
2
2
=
Mx
=M
⎰⎰xρ(x,y)dσ
D
⎰⎰ρ(x,y)dσ
D
D
=
MyM
=
⎰⎰yρ(x,y)dσ
D
⎰⎰ρ(x,y)dσ
D
D
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix=⎰⎰y2ρ(x,y)dσ, 对于y轴Iy=⎰⎰x2ρ(x,y)dσ平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力:
F={Fx,Fy,Fz},其中:
Fx=f⎰⎰
D
ρ(x,y)xdσ
(x+y+a)
2
2
22
Fy=f⎰⎰3
D
ρ(x,y)ydσ
(x+y+a)
2
2
22
Fz=-fa⎰⎰3
D
ρ(x,y)xdσ
(x+y+a)
2
2
3
22
柱面坐标和球面坐标:
⎧x=rcosθ⎪
柱面坐标:
f(x,y,z)dxdydz=⎰⎰⎰F(r,θ,z)rdrdθdz,⎨y=rsinθ, ⎰⎰⎰ΩΩ⎪z=z
⎩
其中:
F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)
⎧x=rsinϕcosθ⎪2
球面坐标:
⎨y=rsinϕsinθ, dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=rsinϕdrdϕdθ
⎪z=rcosϕ⎩
2π
πr(ϕ,θ)
⎰⎰⎰f(x,y,z)dxdydz=⎰⎰⎰F(r,ϕ,θ)r
Ω
Ω
2
sinϕdrdϕdθ=⎰dθ⎰dϕ
⎰F(r,ϕ,θ)r
2
sinϕdr
重心:
=
1M
⎰⎰⎰xρdv, =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰yρdv, =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰zρdv, 其中M==⎰⎰⎰ρdv
Ω
Ω
Ω
转动惯量:
Ix=⎰⎰⎰(y2+z2)ρdv, Iy=⎰⎰⎰(x2+z2)ρdv, Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)ρdv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
⎧x=ϕ(t)
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
(α≤t≤β),则:
⎨
y=ψ(t)⎩
⎰
L
⎧x=t
f(x,y)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t)]'2(t)+ψ'2(t)dt (α<β) 特殊情况:
⎨
⎩y=ϕ(t)α
β
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
⎧x=ϕ(t)设L的参数方程为⎨,则:
y=ψ(t)⎩
β
⎰P(x,y)dx+Q(x,y)dy=
α⎰{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)}dtL
两类曲线积分之间的关系:
⎰Pdx+Qdy=⎰(Pcosα+Qcosβ)ds,其中α和β分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式:
⎰⎰(
D∂Q∂P∂Q∂P-)dxdy=Pdx+Qdy格林公式:
(-)dxdy=Pdx+Qdy⎰⎰∂x∂y∂x∂yLDL
∂Q∂P1当P=-y,Q=x-=2时,得到D的面积:
A=⎰⎰dxdy=xdy-ydx∂x∂y2LD
·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
·二元函数的全微分求积:
在∂Q∂P=时,Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
∂x∂y
(x,y)∂Q∂P=。
注意奇点,如(0,0),应∂x∂y
u(x,y)=
(x0,y0)⎰P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x0=y0=0。
曲面积分:
22对面积的曲面积分:
f(x,y,z)ds=f[x,y,z(x,y)]+z(x,y)+z(x,y)dxdyxy⎰⎰⎰⎰
∑Dxy
对坐标的曲面积分:
⎰⎰P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:
∑
⎰⎰R(x,y,z)dxdy=±⎰⎰R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
∑Dxy
⎰⎰P(x,y,z)dydz=±⎰⎰P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
∑Dyz
⎰⎰Q(x,y,z)dzdx=±⎰⎰Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。
∑Dzx
两类曲面积分之间的关系:
⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
∑∑
高斯公式:
⎰⎰⎰(
Ω∂P∂Q∂R++)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds∂x∂y∂z∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度:
∂P∂Q∂R散度:
divν=++,即:
单位体积内所产生的流体质量,若divν<0,则为消失...
通量:
⎰⎰A∂x∂y∂z
⋅nds=⎰⎰Ands=⎰⎰(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds,
∑∑∑
因此,高斯公式又可写成:
⎰⎰⎰divAdv=Ands
Ω∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
⎰⎰(∂R∂Q∂P∂R∂Q∂
∑∂y-∂z)dydz+(∂z-∂x)dzdx+(∂x-P∂y)dxdy=Pdx+Qdy+RdzΓ
dydzdzdxdxdycosαcosβcosγ
上式左端又可写成:
⎰⎰∂∂∂=∂∂
∑∂x∂y∂z⎰⎰∂∂x∂y∂zPQR∑PQR
空间曲线积分与路径无∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P
∂y=∂z∂z=∂x∂x=∂y
旋度:
rotAijk
=∂∂∂
∂x∂y∂z
PQ
向量场AR沿有向闭曲线ΓPdx+Qdy+Rdz=A⋅tds
ΓΓ
常数项级数:
+q+q2++qn-1=1-qn
等比数列:
11-q
等差数列:
1+2+3++n=(n+1)n
2
调和级数:
1+111
2+3++n是发散的
级数审敛法:
1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):
⎧ρ<1时,级数收敛⎪设:
ρ=limn,则⎨ρ>1时,级数发散n→∞⎪ρ=1时,不确定⎩
2、比值审敛法:
⎧ρ<1时,级数收敛U⎪设:
ρ=limn+1,则⎨ρ>1时,级数发散n→∞Un⎪ρ=1时,不确定⎩
3、定义法:
sn=u1+u2++un;limsn存在,则收敛;否则发散。
n→∞
交错级数u1-u2+u3-u4+(或-u1+u2-u3+,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理:
⎧⎪un≥un+1如果交错级数满足⎨,那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。
limu=0⎪⎩n→∞n
绝对收敛与条件收敛:
(1)u1+u2++un+,其中un为任意实数;
(2)u1+u2+u3++un+
如果
(2)收敛,则
(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果
(2)发散,而
(1)收敛,则称
(1)为条件收敛级数。
1(-1)n
调和级数:
∑n发散,而∑n1 级数:
∑n2收敛;
≤1时发散1 p级数:
∑npp>1时收敛
幂级数:
1x<1时,收敛于1-x1+x+x2+x3++xn+x≥1时,发散
对于级数(3)a0+a1x +a2x2++anxn+,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
x数轴上都收敛,则必存在R,使x>R时发散,其中R称为收敛半径。
x=R时不定
1ρ≠0时,R=
a求收敛半径的方法:
设limn+1=ρ,其中an,an+1是(3)ρ=0时,R=+∞n→∞anρ=+∞时,R=0
函数展开成幂级数:
ρ
f''(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数:
f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)++(x-x0)n+2!
n!
f(n+1)(ξ)余项:
Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:
limRn=0n→∞(n+1)!
f''(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式:
f(x)=f(0)+f'(0)x+x++x+2!
n!
一些函数展开成幂级数:
m(m-1)2m(m-1)(m-n+1)nx++x+ (-1n!
2n-1x3x5xsinx=x-+-+(-1)n-1+ (-∞5!
(2n-1)!
(1+x)m=1+mx+
欧拉公式:
⎧eix+e-ix
cosx=⎪⎪2eix=cosx+isinx 或⎨ix-ix⎪sinx=e-e
⎪2⎩
三角级数:
a0∞
f(t)=A0+∑Ansin(nωt+ϕn)=+∑(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1
其中,a0=aA0,an=Ansinϕn,bn=Ancosϕn,ωt=x。
正交性:
1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[-π,π]上的积分=0。
傅立叶级数:
∞
a0∞
f(x)=+∑(ancosnx+bnsinnx),周期=2π2n=1
π⎧1(n=0,1,2)⎪an=⎰f(x)cosnxdx π-π⎪其中⎨π⎪b=1f(x)sinnxdx (n=1,2,3)⎪nπ⎰-π⎩
11π2
1+2+2+=835 111π2
+2+2+=224246
正弦级数:
an=0,bn=余弦级数:
bn=0,an=111π21+2+2+2+=6234111π21-2+2-2+=122342ππ2⎰f(x)sinnxdx n=1,2,3 f(x)=∑b0nsinnx是奇函数π
π⎰0f(x)cosnxdx n=0,1,2 f(x)=a0+∑ancosnx是偶函数2
周期为2l的周期函数的傅立叶级数:
a0∞nπxnπxf(x)=+∑(ancos+bnsin),周期=2l2n=1ll
l⎧1nπxdx (n=0,1,2)⎪an=⎰f(x)cosl-ll⎪其中⎨l⎪b=1f(x)sinnπxdx (n=1,2,3)⎪nl⎰l-l⎩
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
y'=f(x,y) 或 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
可分离变量的微分方程:
一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式,解法:
⎰g(y)dy=⎰f(x)dx 得:
G(y)=F(x)+C称为隐式通解。
dyy=f(x,y)=ϕ(x,y),即写成的函数,解法:
dxx
ydydududxduy设u=,则=u+x,u+=ϕ(u),∴=分离变量,积分后将代替u,xdxdxdxxϕ(u)-ux齐次方程:
一阶微分方程可以写成
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
dy1+P(x)y=Q(x)dx
-P(x)dx当Q(x)=0时,为齐次方程,y=Ce⎰
P(x)dx-P(x)dx当Q(x)≠0时,为非齐次方程,y=(⎰Q(x)e⎰dx+C)e⎰
dy2+P(x)y=Q(x)yn,(n≠0,1)dx
全微分方程:
如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程,即:
∂u∂udu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0=P(x,y)=Q(x,y)∂x∂y
∴u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
f(x)≡0时为齐次d2ydy+P(x)+Q(x)y=f(x)2dxdxf(x)≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)y''+py'+qy=0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:
(∆)r2+pr+q=0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y'',y',y的系数;
2、求出(∆)式的两个根r1,r2
3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f(x),p,q为常数f(x)=eλxPm(x)型,λ为常数;f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型