大学高等数学公式费了好大的劲汇总.docx
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大学高等数学公式费了好大的劲汇总
高等数学公式
导数公式：
（tgx）'=sec2x（arcsinx）'=1（ctgx）'=-csc2x-x2（secx）'=secx⋅tgx（arccosx）'=-1（cscx）'=-cscx⋅ctgx-x2（ax）'=axlna（arctgx）'=1
1+x2
（log1
ax）'=xlna（arcctgx）'=-1
1+x2
基本积分表：
⎰tgxdx=-lncosx+C⎰dx=⎰sec2⎰ctgxdx=lnsinx+Ccos2xxdx=tgx+C⎰secxdx=lnsecx+tgx+C⎰dx⎰csc2
sin2x=xdx=-ctgx+C
⎰cscxdx=lncscx-ctgx+C⎰secx⋅tgxdx=secx+C⎰dx⎰cscx⋅ctgxdx=-cscx+Ca2+x2=1aarctgx
a+C
x=ax
⎰dx⎰adxlna+Cx2-a2=12alnx-a
x+a+C⎰shxdx=chx+C
⎰dx
a2-x2=1a+x2alna-x+C⎰chxdx=shx+C⎰dx
a2-x2=arcsinxa+C⎰dx
x2±a2=ln（x+x2±a2）+C
ππ
22
In
n=⎰sinxdx=⎰cosnxdx=n-1
00nIn-2
⎰2a2dx=x2
x+x2+a2+aln（x+x2+a2
22）+C⎰x2-a2dx=x22a2
2x-a-2lnx+x2-a2+C⎰a2-x2dx=x22a2x
2a-x+2arcsina+C
三角函数的有理式积分：
sinx=2u1-u2x2du
1+u2， cosx=1+u2， u=tg2， dx=1+u21
一些初等函数：
两个重要极限：
ex-e-x
双曲正弦:
shx=2
ex+e-x
双曲余弦:
chx=limsinx=1x→0x1lim（1+）x=e=2.718281828459045...2x→∞x
thx=shxex-e-x
双曲正切:
chx=ex+e-x
arshx=ln（x+x2+1）
archx=±ln（x+x2-1）
arthx=11+x
2ln1-x
三角函数公式：
·诱导公式：
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβsinα+sinβ=2sinα+βcos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ2cosα-β
tg（α±β）=tgα±tgβsinα-sinβ=2cosα+βα-β
1tgα⋅tgβ2sin2ctgα⋅cosα+cosβ=2cosα+βα-β
ctg（α±β）=ctgβ12cos2
ctgβ±ctgαcosα-cosβ=2sinα+βα-β
2sin2
·倍角公式：
sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α
ctg2α-1ctg2α=2ctgα
2tgαtg2α=1-tg2α
·半角公式：
sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα3tgα-tg3αtg3α=1-3tg2α
sin
tg
α2=±=±-cosα+cos cos=±2221-cos1-cosαsinαα1+cos1+cosαsinα== ctg=±==1+cosαsinα1+cosα21-cosαsinα1-cosαα2
·正弦定理：
abc===2R·余弦定理：
c2=a2+b2-2abcosCsinAsinBsinC
·反三角函数性质：
arcsinx=π
2-arccosx arctgx=π
2-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
（uv）（n）k（n-k）（k）=∑Cnuv
k=0n
=u（n）v+nu（n-1）v'+n（n-1）（n-2）n（n-1）（n-k+1）（n-k）（k）uv''++uv++uv（n）
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）
f（b）-f（a）f'（ξ）=F（b）-F（a）F'（ξ）
曲率：
当F（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：
ds=+y'2dx,其中y'=tgα
平均曲率：
K=∆α∆α:
从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；∆s：
MM'弧长。
∆s
M点的曲率：
K=∆αdαy''
∆lims→0∆s=ds=（1+y'2）3.
直线：
K=0;
半径为a的圆：
K=1
a.
定积分的近似计算：
b
矩形法：
⎰f（x）≈b-a
n（y0+y1++yn-1）
a
b
梯形法：
⎰f（x）≈b-a
an[12（y0+yn）+y1++yn-1]
b
抛物线法：
⎰f（x）≈b-a[（y0+yn）+2（y2+y4++yn-2）+4（y1+y3++
a3nyn-1）]
定积分应用相关公式：
功：
W=F⋅s
水压力：
F=p⋅A
引力：
F=km1m2
r2,k为引力系数
b
函数的平均值：
y=1
b-a⎰f（x）dx
a
b
12
b-a⎰f（t）dt
a
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：
d=M1M2=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2向量在轴上的投影：
PrjuAB=cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。
Prju（a1+a2）=Prja1+Prja2a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角：
cosθ=
ic=a⨯b=ax
bxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+az⋅bx+by+bz222222az,c=a⋅bsinθ.例：
线速度：
v=w⨯r.bz
ay
by
cyazczbz=a⨯b⋅ccosα,α为锐角时，ax向量的混合积：
[abc]=（a⨯b）⋅c=bxcx
代表平行六面体的体积。
平面的方程：
1、点法式：
A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0，其中n={A,B,C},M0（x0,y0,z0）
2、一般方程：
Ax+By+Cz+D=0
xyz3++=1abc
平面外任意一点到该平面的距离：
d=Ax0+By0+Cz0+D
A2+B2+C2
⎧x=x0+mtx-x0y-y0z-z0⎪===t,其中s={m,n,p};参数方程：
⎨y=y0+ntmnp⎪z=z+pt0⎩
二次曲面：
x2y2z2
12+2+2=1abc
x2y2
2+=z（,p,q同号）2p2q
3、双曲面：
x2y2z2
2+2-2=1abc
x2y2z2
2-2+2=（马鞍面）1abc
多元函数微分法及应用
全微分：
dz=∂z∂z∂u∂u∂udx+dy du=dx+dy+dz∂x∂y∂x∂y∂z全微分的近似计算：
∆z≈dz=fx（x,y）∆x+fy（x,y）∆y
多元复合函数的求导法：
dz∂z∂u∂z∂vz=f[u（t）,v（t）]=⋅+⋅ dt∂u∂t∂v∂t
∂z∂z∂u∂z∂vz=f[u（x,y）,v（x,y）]=⋅+⋅∂x∂u∂x∂v∂x
当u=u（x,y），v=v（x,y）时，
du=∂u∂u∂v∂vdx+dy dv=dx+dy ∂x∂y∂x∂y
隐函数的求导公式：
FxFFdydyd2y∂∂隐函数F（x,y）=0=-2=（-x）＋（-x）⋅dxFy∂xFy∂yFydxdx
FyFx∂z∂z隐函数F（x,y,z）=0=-=-∂xFz∂yFz
∂F
⎧F（x,y,u,v）=0∂（F,G）∂u隐函数方程组：
J==⎨∂GG（x,y,u,v）=0∂（u,v）⎩∂u
∂u1∂（F,G）∂v1∂（F,G）=-⋅=-⋅∂xJ∂（x,v）∂xJ∂（u,x）
∂u1∂（F,G）∂v1∂（F,G）=-⋅=-⋅∂yJ∂（y,v）∂yJ∂（u,y）
微分法在几何上的应用：
∂F∂v=Fu∂GGu∂vFvGv
⎧x=ϕ（t）x-xy-y0z-z0⎪空间曲线⎨y=ψ（t）在点M（x0,y0,z0）0==''ϕ（t）ψ（t）ω'（t0）00⎪z=ω（t）⎩
在点M处的法平面方程：
ϕ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）=0
⎧FyFzFzFxFx⎪F（x,y,z）=0若空间曲线方程为：
则切向量T={,,⎨GGGxGx⎪yzGz⎩G（x,y,z）=0
曲面F（x,y,z）=0上一点M（x0,y0,z0），则：
1、过此点的法向量：
n={Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}
x-x0y-y0z-z03==Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）
方向导数与梯度：
6FyGy2、过此点的切平面方程：
Fx（x0,y0,z0）（x-x0）+Fy（x0,y0,z0）（y-y0）+Fz（x0,y0,z0）（z-z0）=0
∂f∂f∂f
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l=cosϕ+sinϕ
∂l∂x∂y其中ϕ为x轴到方向l的转角。
∂f∂f
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）=i+j
∂x∂y
∂f
它与方向导数的关系是=gradf（x,y）⋅e，其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j，为l方向上的
∂l
单位向量。
∴
∂f
是gradf（x,y）在l上的投影。
∂l
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）=fy（x0,y0）=0，令：
fxx（x0,y0）=A, fxy（x0,y0）=B, fyy（x0,y0）=C⎧⎧A<0,（x0,y0）为极大值2AC-B>0时，⎨⎪
⎩A>0,（x0,y0）为极小值⎪⎪2
则：
⎨AC-B<0时， 无极值⎪AC-B2=0时, 不确定⎪⎪⎩
重积分及其应用：
⎰⎰f（x,y）dxdy=⎰⎰f（rcosθ,rsinθ）rdrdθ
D
D'
曲面z=f（x,y）的面积A=⎰⎰
D
⎛∂z⎫⎛∂z⎫
⎪1+⎪+dxdy⎪
⎝∂x⎭⎝∂y⎭
2
2
=
Mx
=M
⎰⎰xρ（x,y）dσ
D
⎰⎰ρ（x,y）dσ
D
D
=
MyM
=
⎰⎰yρ（x,y）dσ
D
⎰⎰ρ（x,y）dσ
D
D
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ix=⎰⎰y2ρ（x,y）dσ, 对于y轴Iy=⎰⎰x2ρ（x,y）dσ平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a>0）的引力：
F={Fx,Fy,Fz}，其中：
Fx=f⎰⎰
D
ρ（x,y）xdσ
（x+y+a）
2
2
22
Fy=f⎰⎰3
D
ρ（x,y）ydσ
（x+y+a）
2
2
22
Fz=-fa⎰⎰3
D
ρ（x,y）xdσ
（x+y+a）
2
2
3
22
柱面坐标和球面坐标：
⎧x=rcosθ⎪
柱面坐标：
f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,θ,z）rdrdθdz,⎨y=rsinθ, ⎰⎰⎰ΩΩ⎪z=z
⎩
其中：
F（r,θ,z）=f（rcosθ,rsinθ,z）
⎧x=rsinϕcosθ⎪2
球面坐标：
⎨y=rsinϕsinθ， dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=rsinϕdrdϕdθ
⎪z=rcosϕ⎩
2π
πr（ϕ,θ）
⎰⎰⎰f（x,y,z）dxdydz=⎰⎰⎰F（r,ϕ,θ）r
Ω
Ω
2
sinϕdrdϕdθ=⎰dθ⎰dϕ
⎰F（r,ϕ,θ）r
2
sinϕdr
重心：
=
1M
⎰⎰⎰xρdv, =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰yρdv, =
Ω
Ω
1M
⎰⎰⎰zρdv， 其中M==⎰⎰⎰ρdv
Ω
Ω
Ω
转动惯量：
Ix=⎰⎰⎰（y2+z2）ρdv， Iy=⎰⎰⎰（x2+z2）ρdv， Iz=⎰⎰⎰（x2+y2）ρdv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
⎧x=ϕ（t）
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
（α≤t≤β）,则：
⎨
y=ψ（t）⎩
⎰
L
⎧x=t
f（x,y）ds=⎰f[ϕ（t）,ψ（t）]'2（t）+ψ'2（t）dt （α<β） 特殊情况：
⎨
⎩y=ϕ（t）α
β
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
⎧x=ϕ（t）设L的参数方程为⎨，则：
y=ψ（t）⎩
β
⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy=
α⎰{P[ϕ（t）,ψ（t）]ϕ'（t）+Q[ϕ（t）,ψ（t）]ψ'（t）}dtL
两类曲线积分之间的关系：
⎰Pdx+Qdy=⎰（Pcosα+Qcosβ）ds，其中α和β分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式：
⎰⎰（
D∂Q∂P∂Q∂P-）dxdy=Pdx+Qdy格林公式：
（-）dxdy=Pdx+Qdy⎰⎰∂x∂y∂x∂yLDL
∂Q∂P1当P=-y,Q=x-=2时，得到D的面积：
A=⎰⎰dxdy=xdy-ydx∂x∂y2LD
·平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P（x,y），Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积：
在∂Q∂P＝时，Pdx+Qdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中：
∂x∂y
（x,y）∂Q∂P＝。
注意奇点，如（0,0），应∂x∂y
u（x,y）=
（x0,y0）⎰P（x,y）dx+Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。
曲面积分：
22对面积的曲面积分：
f（x,y,z）ds=f[x,y,z（x,y）]+z（x,y）+z（x,y）dxdyxy⎰⎰⎰⎰
∑Dxy
对坐标的曲面积分：
⎰⎰P（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy，其中：
∑
⎰⎰R（x,y,z）dxdy=±⎰⎰R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正号；
∑Dxy
⎰⎰P（x,y,z）dydz=±⎰⎰P[x（y,z）,y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；
∑Dyz
⎰⎰Q（x,y,z）dzdx=±⎰⎰Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
∑Dzx
两类曲面积分之间的关系：
⎰⎰Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds
∑∑
高斯公式：
⎰⎰⎰（
Ω∂P∂Q∂R++）dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds∂x∂y∂z∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度：
∂P∂Q∂R散度：
divν=++,即：
单位体积内所产生的流体质量，若divν<0,则为消失...
通量：
⎰⎰A∂x∂y∂z
⋅nds=⎰⎰Ands=⎰⎰（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）ds，
∑∑∑
因此，高斯公式又可写成：
⎰⎰⎰divAdv=Ands
Ω∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰（∂R∂Q∂P∂R∂Q∂
∑∂y-∂z）dydz+（∂z-∂x）dzdx+（∂x-P∂y）dxdy=Pdx+Qdy+RdzΓ
dydzdzdxdxdycosαcosβcosγ
上式左端又可写成：
⎰⎰∂∂∂=∂∂
∑∂x∂y∂z⎰⎰∂∂x∂y∂zPQR∑PQR
空间曲线积分与路径无∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P
∂y=∂z∂z=∂x∂x=∂y
旋度：
rotAijk
=∂∂∂
∂x∂y∂z
PQ
向量场AR沿有向闭曲线ΓPdx+Qdy+Rdz=A⋅tds
ΓΓ
常数项级数：
+q+q2++qn-1=1-qn
等比数列：
11-q
等差数列：
1+2+3++n=（n+1）n
2
调和级数：
1+111
2+3++n是发散的
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
⎧ρ<1时，级数收敛⎪设：
ρ=limn，则⎨ρ>1时，级数发散n→∞⎪ρ=1时，不确定⎩
2、比值审敛法：
⎧ρ<1时，级数收敛U⎪设：
ρ=limn+1，则⎨ρ>1时，级数发散n→∞Un⎪ρ=1时，不确定⎩
3、定义法：
sn=u1+u2++un;limsn存在，则收敛；否则发散。
n→∞
交错级数u1-u2+u3-u4+（或-u1+u2-u3+,un>0）的审敛法——莱布尼兹定理：
⎧⎪un≥un+1如果交错级数满足⎨，那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。
limu=0⎪⎩n→∞n
绝对收敛与条件收敛：
（1）u1+u2++un+，其中un为任意实数；
（2）u1+u2+u3++un+
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果
（2）发散，而
（1）收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
1（-1）n
调和级数：
∑n发散，而∑n1 级数：
∑n2收敛；
≤１时发散1 p级数：
∑npp>1时收敛
幂级数：
1x<1时，收敛于1-x1+x+x2+x3++xn+x≥1时，发散
对于级数（3）a0+a1x +a2x2++anxn+，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x数轴上都收敛，则必存在R，使x>R时发散，其中R称为收敛半径。
x=R时不定
1ρ≠0时，R=
a求收敛半径的方法：
设limn+1=ρ，其中an，an+1是（3）ρ=0时，R=+∞n→∞anρ=+∞时，R=0
函数展开成幂级数：
ρ
f''（x0）f（n）（x0）2函数展开成泰勒级数：
f（x）=f（x0）（x-x0）+（x-x0）++（x-x0）n+2!
n!
f（n+1）（ξ）余项：
Rn=（x-x0）n+1,f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：
limRn=0n→∞（n+1）!
f''（0）2f（n）（0）nx0=0时即为麦克劳林公式：
f（x）=f（0）+f'（0）x+x++x+2!
n!
一些函数展开成幂级数：
m（m-1）2m（m-1）（m-n+1）nx++x+ （-1n!
2n-1x3x5xsinx=x-+-+（-1）n-1+ （-∞5!
（2n-1）!
（1+x）m=1+mx+
欧拉公式：
⎧eix+e-ix
cosx=⎪⎪2eix=cosx+isinx 或⎨ix-ix⎪sinx=e-e
⎪2⎩
三角级数：
a0∞
f（t）=A0+∑Ansin（nωt+ϕn）=+∑（ancosnx+bnsinnx）2n=1n=1
其中，a0=aA0，an=Ansinϕn，bn=Ancosϕn，ωt=x。
正交性：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[-π,π]上的积分＝0。
傅立叶级数：
∞
a0∞
f（x）=+∑（ancosnx+bnsinnx），周期=2π2n=1
π⎧1（n=0,1,2）⎪an=⎰f（x）cosnxdx π-π⎪其中⎨π⎪b=1f（x）sinnxdx （n=1,2,3）⎪nπ⎰-π⎩
11π2
1+2+2+=835 111π2
+2+2+=224246
正弦级数：
an=0，bn=余弦级数：
bn=0，an=111π21+2+2+2+=6234111π21-2+2-2+=122342ππ2⎰f（x）sinnxdx n=1,2,3 f（x）=∑b0nsinnx是奇函数π
π⎰0f（x）cosnxdx n=0,1,2 f（x）=a0+∑ancosnx是偶函数2
周期为2l的周期函数的傅立叶级数：
a0∞nπxnπxf（x）=+∑（ancos+bnsin），周期=2l2n=1ll
l⎧1nπxdx （n=0,1,2）⎪an=⎰f（x）cosl-ll⎪其中⎨l⎪b=1f（x）sinnπxdx （n=1,2,3）⎪nl⎰l-l⎩
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
y'=f（x,y） 或 P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0
可分离变量的微分方程：
一阶微分方程可以化为g（y）dy=f（x）dx的形式，解法：
⎰g（y）dy=⎰f（x）dx 得：
G（y）=F（x）+C称为隐式通解。
dyy=f（x,y）=ϕ（x,y），即写成的函数，解法：
dxx
ydydududxduy设u=，则=u+x，u+=ϕ（u），∴=分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxxϕ（u）-ux齐次方程：
一阶微分方程可以写成
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy1+P（x）y=Q（x）dx
-P（x）dx当Q（x）=0时,为齐次方程，y=Ce⎰
P（x）dx-P（x）dx当Q（x）≠0时，为非齐次方程，y=（⎰Q（x）e⎰dx+C）e⎰
dy2+P（x）y=Q（x）yn，（n≠0,1）dx
全微分方程：
如果P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：
∂u∂udu（x,y）=P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0=P（x,y）=Q（x,y）∂x∂y
∴u（x,y）=C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f（x）≡0时为齐次d2ydy+P（x）+Q（x）y=f（x）2dxdxf（x）≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
（*）y''+py'+qy=0，其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：
（∆）r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是（*）式中y'',y',y的系数；
2、求出（∆）式的两个根r1,r2
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出（*）式的通解：
二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=f（x），p,q为常数f（x）=eλxPm（x）型，λ为常数；f（x）=eλx[Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx]型
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