大学高等数学公式费了好大的劲汇总.docx

1、大学高等数学公式费了好大的劲汇总高等数学公式导数公式：(tgx)=sec2x(arcsinx)=1(ctgx)=-csc2x-x2(secx)=secxtgx(arccosx)=-1(cscx)=-cscxctgx-x2(ax)=axlna(arctgx)=11+x2(log1ax)=xlna(arcctgx)=-11+x2基本积分表：tgxdx=-lncosx+Cdx=sec2ctgxdx=lnsinx+Ccos2xxdx=tgx+Csecxdx=lnsecx+tgx+Cdxcsc2sin2x=xdx=-ctgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Csecxtgxdx=secx+Cdx

2、cscxctgxdx=-cscx+Ca2+x2=1aarctgxa+Cx=axdxadxlna+Cx2-a2=12alnx-ax+a+Cshxdx=chx+Cdxa2-x2=1a+x2alna-x+Cchxdx=shx+Cdxa2-x2=arcsinxa+Cdxx2a2=ln(x+x2a2)+C22Inn=sinxdx=cosnxdx=n-100nIn-22a2dx=x2x+x2+a2+aln(x+x2+a222)+Cx2-a2dx=x22a22x-a-2lnx+x2-a2+Ca2-x2dx=x22a2x2a-x+2arcsina+C三角函数的有理式积分：sinx=2u1-u2x2du1+u2

3、，cosx=1+u2，u=tg2，dx=1+u2 1一些初等函数： 两个重要极限：ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=limsinx=1x0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045.2xxthx=shxex-e-x双曲正切:chx=ex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=ln(x+x2-1)arthx=11+x2ln1-x三角函数公式：诱导公式：和差角公式： 和差化积公式：sin()=sincoscossinsin+sin=2sin+cos()=coscos sinsin2cos-tg()=tgtgsin-sin=2cos+-1 t

4、gtg2sin2ctgcos+cos=2cos+-ctg()=ctg 12cos2ctgctgcos-cos=2sin+-2sin2倍角公式：sin2=2sincoscos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2ctg2-1ctg2=2ctg2tgtg2=1-tg2半角公式： sin3=3sin-4sin3cos3=4cos3-3cos3tg-tg3tg3=1-3tg2sintg2=-cos+coscos=2221-cos1-cossin1+cos1+cossin=ctg=1+cossin1+cos21-cossin1-cos2正弦定理：abc=2R 余弦定理：c2=a2+b2-

5、2abcosC sinAsinBsinC反三角函数性质：arcsinx=2-arccosxarctgx=2-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： (uv)(n)k(n-k)(k)=Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v+n(n-1)(n-2)n(n-1) (n-k+1)(n-k)(k)uv+ +uv+ +uv(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f()(b-a)f(b)-f(a)f()=F(b)-F(a)F()曲率： 当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=+y2dx,其中y=tg平均曲率：K=:从M

6、点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sM点的曲率：K=dylims0s=ds=(1+y2)3.直线：K=0;半径为a的圆：K=1a.定积分的近似计算：b矩形法：f(x)b-an(y0+y1+ +yn-1)ab梯形法：f(x)b-aan12(y0+yn)+y1+ +yn-1b抛物线法：f(x)b-a(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +a3nyn-1)定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=pA引力：F=km1m2r2,k为引力系数b函数的平均值：y=1b-af(x)dxab12b-af(t)dta空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d=M1M2=

7、(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB=cos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2 ab=abcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos=i c=ab=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222 az,c=absin.例：线速度：v=wr.bzaybycyazcz bz=abccos,为锐角时， ax 向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

8、，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3+=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2x=x0+mtx-x0y-y0z-z0 =t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z212+2+2=1abcx2y22+=z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z22+2-2=1abcx2y2z22-2+2=（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用全微分：dz=zzuuudx+dydu=dx+dy+dzxyxyz全微分的近似计算：zdz=fx(x,y)x+fy(x,

9、y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)=0=-2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)=0=-=-xFzyFzFF(x,y,u,v)=0(F,G)u隐函数方程组：J=GG(x,y,u,v)=0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)=-=-xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)=-=-yJ(y,

10、v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用： Fv=FuGGuvFvGvx=(t)x-xy-y0z-z0空间曲线y=(t)在点M(x0,y0,z0)0=(t)(t)(t0)00z=(t)在点M处的法平面方程：(t0)(x-x0)+(t0)(y-y0)+(t0)(z-z0)=0 FyFzFzFxFxF(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T=,GGGxGxyzGzG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03=Fx(x0,y0,z0)F

11、y(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：6 FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0fff函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l=cos+sinlxy其中为x轴到方向l的转角。f f函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+jxyf它与方向导数的关系是=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)=fy(x0,

12、y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：AC-B0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fD(x,y)xd(x+y+a)2222Fy=f3D(x,y)yd(x+y+a)2222Fz=-fa3D(x,y)xd(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标：x=rcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=F(r,z)rdrddz,y=rsin,z=z其中：F(r,z)=f(rcos,rsin,z)x=rsincos2球面坐标：y=rsinsin，dv=rdrsinddr=rsindrddz=rcos

13、2r(,)f(x,y,z)dxdydz=F(r,)r2sindrdd=ddF(r,)r2sindr重心：=1Mxdv,=1Mydv,=1Mzdv，其中M=dv转动惯量：Ix=(y2+z2)dv，Iy=(x2+z2)dv，Iz=(x2+y2)dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x=(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y=(t)Lx=tf(x,y)ds=f(t),(t)2(t)+2(t)dt()特殊情况：y=(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x=(t)设L的参数方程为，则：y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)(t)+Q(t)

14、,(t)(t)dtL两类曲线积分之间的关系：Pdx+Qdy=(Pcos+Qcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(DQPQP-)dxdy=Pdx+Qdy格林公式：(-)dxdy=Pdx+QdyxyxyLDLQP1当P=-y,Q=x-=2时，得到D的面积：A=dxdy=xdy-ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在QP时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0

15、)，应xyu(x,y)=(x0,y0)P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds=fx,y,z(x,y)+z(x,y)+z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdy=Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；DxyP(x,y,z)dydz=Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdx=Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系

16、：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)ds高斯公式：(PQR+)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义通量与散度：PQR 散度：div=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失.通量：A xyzn ds=Ands=(Pcos+Qcos+Rcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divA dv=Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RQPRQy-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-Py)dxdy=Pdx+Qdy+Rdzdydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写

17、成：=xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无RQPRQPy=zz=xx=y旋度：rotA ijk=xyzPQ向量场A R沿有向闭曲线Pdx+Qdy+Rdz=A tds常数项级数：+q+q2+ +qn-1=1-qn等比数列：11-q等差数列：1+2+3+ +n=(n+1)n2调和级数：1+1112+3+ +n是发散的级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数发散n=1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数发散nUn=1时，不确定3、定义法：sn=u1+u2+ +un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,u

18、n0)的审敛法莱布尼兹定理：unun+1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和su1,其余项rn的绝对值rnun+1。limu=0nn绝对收敛与条件收敛：(1)u1+u2+ +un+ ，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+ +un+如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(-1)n调和级数：n发散，而n1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp1时收敛幂级数：1x1时，收敛于1-x1+x+x2+x3+ +xn+ x1时，发散对于级数(3)a0+a1x+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时

19、发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定10时，R=a求收敛半径的方法：设limn+1=，其中an，an+1是(3)=0时，R=+nan=+时，R=0函数展开成幂级数： f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)+ +(x-x0)n+ 2!n!f(n+1)()余项：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0n(n+1)!f(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f(0)x+x+ +x+ 2!n!一些函数展开成幂级数：m(m-1)2m(m-1) (m-n+1)nx+ +x+ (

20、-1x1)2!n! 2n-1x3x5xsinx=x-+- +(-1)n-1+ (-x+)3!5!(2n-1)!(1+x)m=1+mx+欧拉公式：eix+e-ixcosx=2eix=cosx+isinx或 ix-ixsinx=e-e2三角级数：a0f(t)=A0+Ansin(nt+n)=+(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在-,上的积分0。傅立叶级数： a0f(x)=+(ancosnx+bnsinnx)，周期=22n

21、=11(n=0,1,2 )an=f(x)cosnxdx-其中b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )n-1121+2+2+ =8351112+2+2+ =224246正弦级数：an=0，bn=余弦级数：bn=0，an=11121+2+2+2+ =623411121-2+2-2+ =1223422f(x)sinnxdxn=1,2,3 f(x)=b0nsinnx是奇函数0f(x)cosnxdxn=0,1,2 f(x)=a0+ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数：a0nxnxf(x)=+(ancos+bnsin)，周期=2l2n=1lll1nxdx(n=0,1,2 )an

22、=f(x)cosl-ll其中lb=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )nll-l微分方程的相关概念：一阶微分方程：y=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：g(y)dy=f(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。dyy=f(x,y)=(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u=，则=u+x，u+=(u)，=分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)-ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：dy1+P(x)y=Q(x)dx-

23、P(x)dx当Q(x)=0时,为齐次方程，y=CeP(x)dx-P(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y=(Q(x)edx+C)edy2+P(x)y=Q(x)yn，(n0,1)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0=P(x,y)=Q(x,y) xyu(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：f(x)0时为齐次d2ydy+P(x)+Q(x)y=f(x) 2dxdxf(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y+py+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=exPm(x)型，为常数；f(x)=exPl(x)cosx+Pn(x)sinx型