尖子班汇总.docx
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尖子班汇总
质数、合数、分解质因数
例1．九个连续自然数中，最多有多少个质数？
例2．两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是多少？
例3．“哥德巴赫猜想”是说：
每个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。
问：
168是哪两个两位质数的和，并且其中一个的个位是1？
例4．540乘自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。
练习：
1．两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
2．一个整数a与1080的乘积是一个平方数，求a的最小值与这个平方数。
拓展：
一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数既是偶数又是质数。
去掉个位数字与千位数字后，得到一个两位数是质数，又知道这个四位数是72的倍数。
求这个四位数。
最大公因数与最小公倍数
例1、一张长方形的纸，长7分米5厘米、宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方体边长为整厘米数，有几种裁法？
如果使得裁的正方形面积最大，可以裁多少块？
例2、一个数除200余4；除300余6；除500余10。
求这个数最大是多少？
例3、甲、乙两数的乘积是3072，它们的最大公约数是16，求这两个数。
例4、两数的最大公约数是13，最小公倍数为78，求这两个数。
练习：
1、两个数的最大公约数是21，这两个数的和是105。
求这两个数是多少？
2、两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是多少？
拓展：
甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？
奇偶性质的应用
例1．算式1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100的得数奇数还是偶数？
例2．由1、2、3、4、5、6、7、8八个数字中两两相乘，可以好多个不同的乘积，问乘积中的偶数还是奇数多？
多多少？
例3．有7只茶杯，杯口全部朝上，小晶每次翻动其中的6只，那么他翻动多少次后，能使7只茶杯的口全部向下？
例4．已知a,b,c中，有一个数是1999，一个是2000，另一个是2001，试判断：
（a―b）×（b―2）×（c―3）的奇偶性。
练习：
1.用1,2，3,4，5这五个两两相乘，可以得到好多不同的乘积。
乘积的偶数多还是奇数多？
多多少？
2.有6只杯子，杯口全部朝下，每次翻动不同的5只，那么翻动多少次后，能使6只茶杯的口全部朝上？
拓展：
在一间房子里，有一百盏灯。
排成一行，从左到右依次编上号码1、2、3……100。
每个电灯安有一根拉线开关。
开始时电灯全关着。
有100个同学在门外排队，也从1、2、3……100编号码。
每个人进屋后拉自己号数的灯和自己号数倍数的灯，这样做完以后，求房子里亮着哪几个盏灯？
分数运算技巧——裂项相消
例1、
例2、
例3、
例4、
例5、
考题精选
1、
2、
3、
分数大小的比较
例1、将五个分数：
、
、
、
、
按从小到大的循序排列起来？
练一练；五个分数：
、
、
、
、
按从小到大的循序排列起来？
例2、比较分数
、
、
的大小？
练一练；比较分数
、
、
的大小？
例3、比较分数
和
的大小？
练一练：
比较
与
的大小？
例4、比较这三个分数的大小，
，
，
，并用“＜”号连起来？
例5、比较
和
的大小？
练一练；比较
和
的大小？
剩余定理
例1．五年级两个班的学生一起排队出操，如果9人一排，多出一人；如果10人一排，最后一排缺9人。
这两个班最少共有多少人？
例2．袋子里有一百多个小球，五个五个取出来剩余4个，六个六个取出来剩余3个，八个八个取出来剩余一个，问袋子里面有多少个球？
例3．把几百个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份7个余6个。
这堆苹果共有多少个？
例4．一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
练习：
1．有一个数在150至200之间,这个数除以4余3，除以5余2，除以6余1.这个数是多少?
2．有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？
拓展：
一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
在1000内符合这样条件的数有几个？
倒推还原
例1、有一个学生问张老师今年几岁，张老师笑着说：
“把我的年龄减去4后，被7除，加上6后乘以5，刚好是半百。
那么王老师今年多少岁？
例2、有一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩下5米，求这根铁丝原来长多少米？
例3、三堆苹果共48个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。
这时，三堆苹果数恰好都相等。
那么，三堆苹果原来各有多少个?
例4、兄弟三人分24个苹果，每人所得个数等于其三年前的年龄数，如果老三把所得苹果的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有苹果的一半平分给老二和老三，这时每人苹果数恰好相等。
求现在兄弟三人的年龄各是多少岁？
练一练：
1、书架上分上、中、下三层，一共放了192册书。
现从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的册数同样多的书放到上层，这时三层书架所放书的册数相同。
这个书架上、中、下三层原来各放书多少册?
2、有一些好看的彩色橡皮，第一次平均分成4份还多1块，拿走了3份又1块。
第二次平均分成4份还多1块，拿走了3份又1块。
剩下的分成4份又多1块。
这些橡皮至少有多少块？
拓展：
甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加1倍，然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍，然后丙又拿出部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍，最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍。
此时甲、乙、丙、丁手中都是32本书。
问：
甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？
平均数
例1：
甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。
三个小组各植多少棵？
例2：
小明前几天数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这是他第几次测验？
例3：
两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下，第二组有20人，平均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳多少下？
例4：
五个数排一排，平均数是9，如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？
练习1：
一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得多少分？
2：
小明前五次数学测验的平均成绩是88分。
为了使平均成绩达到92.5分，小明要连续考多少次满分？
拓展：
小强读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数比这五天中平均每天读的页数多3.2页，小强第五天读多少页？
速算与巧算
例1、
例2、
例3、
例4、
练习：
（1）
（2）
拓展
（1）
（2）
小数、分数估算策略
例1.求34个偶数的平均值是15.9（保留一位小数），如果保留两位小数，得数最小是多少？
例2.老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算它们的平均数（得数保留两位小数）小明算出的答案是12.43。
老师说：
“最后一位数字错了，其他数字都对。
”正确的答案是什么？
例3.
的整数部分是.
例4.
与
最接近的整数是几？
练习：
1.记
那么比A小的最大自然数是多少？
6.
的整数部分是.
拓展：
化简后整数部分是多少？
平方数
例1.求证：
11,111,1111……这串数中没有完全平方数
例2.用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
例3.试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
例4．非零自然数的平方按从小到大的顺序排成149162536496481100……问第353位数字是多少？
巩固练习
1．一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
2．前300个非0自然数中，去掉所有的“完全平方数”剩下的自然数的和是多少？
拓展：
甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：
先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
为了平均分配，甲应该补给乙多少元？
位置原则
例1：
有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。
求原来的两位数。
例2：
a,b,c是1~9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
例3.用2,8,7，三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
例4.一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。
练一练：
1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970.求原来的两位数。
2.从1~9中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330.这六个三位数中最小的能是几？
最大的能是几？
拓展：
将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。
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