第二章整式的加减正章教案.docx

第二章整式的加减正章教案.docx

《第二章整式的加减正章教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章整式的加减正章教案.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第二章整式的加减正章教案

第一课时：

单项式

教学目标

1．知识与技能

（1）能用代数式表示实际问题中的数量关系．

（2）理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次数和系数．

2．过程与方法

经历列式表示实际问题中的数量关系，发展符号感，通过观察代数式的特点，发现、归纳单项式的概念，培养学生观察、分析、归纳的能力．

3．情感态度与价值观

通过列单项式表示实际问题中的数量关系，体会整式比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便．

教学重点和难点

1．重点：

单项式的有关概念．

2．难点：

负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数．

教学过程

一、课题导入

教师操作课件，展示章前图案以及字幕，学生观看并思考下列问题：

1．青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：

（1）列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？

3小时呢？

t小时呢？

（2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段所需要时间的2.1倍，如果通过冻土地段所需要t小时，能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？

（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要u小时，则这段铁路的全长可以怎样表示？

冻土地段与非冻土地段相差多少千米？

分析：

（1）根据速度、时间和路程之间的关系：

路程=速度×时间．列车在冻土地段2小时行驶的路程是100×2=200（千米），3小时行驶的路程为100×3=300（千米），t小时行驶的路程为100×t=100t（千米）．

（2）列车通过非冻土地段所需时间为2.1t小时，行驶的路程为120×2.1t（千米）；列车通过冻土地段的路程为100t，因此这段铁路的全长为120×2.1t+100t（千米）．

（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段要u小时，那么通过非冻土地段要（u-0.5）小时，冻土地段的路程为100u千米，非冻土地段的路程为120（u-0.5）千米，这段铁路的全长为[100u+120（u-0.5）]千米，冻土地段与非冻土地段相差为[100u-120（u-0.5）]千米．

思路点拨：

上述问题

（1）可由学生自己完成，问题

（2）、（3）先由学生思考、交流的基础上教师引导学生分析怎样列式．

上述的3个问题中的数量关系我们分别用含有字母的式子表示，通过本章学习，我们还可以将上述问题

（2）、（3）进行加减运算，化简．

2．下面，我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题．

用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点．

（1）边长为a的正方体的表面积为______，体积为_______．

（2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5倍，圆珠笔的单价是_______元．

（3）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为_______千米．

（4）数n的相反数是_______．

教师课堂巡视，关注中下程度的学生，及时引导，学生探究交流．

上面各问题的代数式分别是：

6a2，a3，2.5x，vt，-n．

观察上面各式中运算有什么共同特点？

上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，它们都是数字与字母的积，例如：

6a2表示6×a2，a3表示1×a3，2.5x表示2.5×x，vt表示1×v×t，-n表示-1×n．

像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．如：

-2，a，

，都是单项式，而

，1+x都不是单项．

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：

6a2的系数是6，a3的系数是1，-n的系数是-1，-

的系数是-

．

单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写成前面，当一个单项式的系数是1或-1时通常省略不写．

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如，2.5x中字母x的指数是1，2.5x是一次单项式；vt中字母v与t的指数和是2，vt是二次单项式，-ab2c中字母a、b、c的指数和是4，-ab2c是4次单项式．

二、例题

例1．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．

（1）每包书有12册，n包书有_______册．

（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是______．

（3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是_______．

（4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在售价为_____元．

（5）一个长方形的长为0.9，宽是a，这个长方形的面积是_________．

教师操作投影仪，展示例1，学生思考、交流．师生互动．

思路点拨：

（1）12n，它的系数是12，次数是1；

（2）根据三角形的面积公式，得

ah，它的系数是

，次数是2；

（3）根据长方体的体积公式=长×宽×高，得a2h，它的系数是1，次数是3；

（4）0.9a，它的系数是0.9，次数是1；

（5）0.9a，系数为0.9，次数为1．

教学时，以师生互动方式进行，由学生口述，教师板书．

强调：

单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是1，不是“没有”．

用字母表示数后，同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义．例如，在问题（4）、（5）中，所填的结果都是0.9a，一个是表示电视机的售价，一个是表示长方形的面积，你还能赋予0.9a一个含义吗？

让学生交流各自想法，加深对字母表示数的理解．

三、巩固练习

1．下列各式是不是单项式？

为什么？

（1）x-2y；

（2）-

；（5）-1．

2．判断下列各说法是否正确，错误的改正过来．

（1）单项式-xy2的系数是0，次数是2．

（2）单项式27a2的系数是2，次数是9．

（3）单项式-

的系数是-

，次数是n+1．

3．请你写出系数为-，含有x、y，次数为4的所有单项式．

教师操作投影仪，出示上述练习题，独立思考，然后进行交流．

4．课本第56页练习1、2题．

教师巡视，关注中下程度的学生，适时给予指导，学生独立完成后，相互交流．

思路点拨：

1．

（2）、（5）是单项式，

（1）、（3）、（4）都不是单项式，因为它们不是数字与字母的乘积．

2．

（1）、

（2）错误，订正：

-xy2的系数是-1，次数是3，27a2的系数是a7，次数是2，（3）正确．3．-

xy3，-

x2y2，-

x3y．4．略．

四、课堂小结

师生互动，共同学习小结本节课内容．

1．什么叫单项式？

举例说明．

2．单独的一个数或一个字母是单项式吗？

是单项式吗？

为什么？

3．什么叫单项式的系数？

什么叫单项式的次数？

举例说明．

第二课时：

多项式

教学目标

1．使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．

2．通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力．

3．培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整式的实际背景，进一步感受字母表示数的意义．

教学难点和重点

1．重点：

多项式以及有关概念．

2．难点：

准确确定多项式的次数和项．

教学过程

一、复习

1．什么叫单项式？

举例说明．

2．怎样确定一个单项式的系数和次数？

-

的系数、次数分别是多少？

3．列式表示下列问题：

（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为________．

（2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球需要z（元），买3个篮球，5个排球，2个足球共需________元．

（3）如图1，三角尺的面积为________．

（1）

（2）

（4）如图2是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是________平方米．

老师操作投影仪，展示上述问题，关注学生列式情况，学生小组交流、合作学习．

思路点拨：

（1）数x的2倍表示为2x，因此比x的2倍小3的数为2x-3；

（2）一个篮球x（元），3个篮球为3x元；一个排球y（元），5个排球要5y元；一个足球z（元），2个足球要2z元，因此一共需（3x+5x+2z）元；

（3）三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积，三角形的面积为

ab，圆面积为

r2，因此三角尺的面积为

ab-

r2；

（4）每个房间的建筑面积分别为x2平方米，2x平方米，6平方米，12平方米，因此这所住宅的建筑面积为（x2+2x+18）平方米．

上面列出的式子2x-3，3x+5y+2z，

ab-

r2，x2+2x+18，它们是单项式吗？

这些式子有什么共同特点？

与单项式有什么关系？

2x-3可看作2x与-3的和：

3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和；同样

ab-

r2看作

ab与-

r2的和，x2+2x+18可以x2、2x、18的和．

二、课题导入

请同学们阅读课本有关内容，并回答下列问题．

1．几个单项式的和叫做_________；

2．在多项式中，每个单项式叫做_________；

3．在多项式中，不含字母的项叫做_________；

4．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数．

5．多项式的次数与单项式的次数有什么区别？

6．请说出上面各多项式的次数和项．

思路点拨：

（1）多项式的各项应包括它前面的符号，比如，多项式6x2-

x-3中第二项是-

x，而不是

x，常数项是-3，不是3．多项式没有系数概念，但其每一项均有系数，每一项的系数应包括自己的符号．

（2）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，首先求出此多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数．

（3）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，如，多项式3x2y-

xy2+x2-xy-5中，最高次项为3x2y和-

xy2，二次项也有2项，x2和-xy，这个多项式为二次五项式．

单项式和多项式统称为整式，例如：

100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z等都是整式．

三、例题

例1．用多项式填空，并指出它们的项和次数．

（1）温度由t℃下降5℃后是_______℃．

（2）甲数x的

与乙数y的

的差可以表示为_________．

（3）如课本图2．1-3，圆环的面积为________．

（4）如课本图2．1-4，钢管的体积是________．

思路点拨：

（1）t-5，它的项为t和-5，次数是1；

（2）甲数x的

表示为

x，乙数y的

表示为

y，它们的差为

x-

y，它的项为

x和-

y，次数为1；（3）圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，因此圆环面积为

R2-

r2，它的项是

R2-

r2，次数是2（

是常数是R2的系数）．（4）钢管的体积等于大圆柱的体积减去小圆柱的体积，即

R2a-

r2a，它的项是

R2a和-

r2a，次数是3．

例2．一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？

如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时，则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？

教师操作投影仪，展示例2，并引导学生进行分析：

顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度

逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度

这里水流速度为2.5千米/时，如果，我们设船在静水中的速度为v千米/时，那么船在顺水行驶时的速度表示为（v+2.5）千米/时，船在逆水行驶时的速度为（v-2.5）千米/时．

当v=20时，则v+2.5=20+2.5=22.5，v-2.4=20-2.5=17.5；当v=35时，则v+2.5=35+2.5=37.5，v-2.5=35-2.5=32.5．因此，甲船顺水行驶的速度是22.5千米/时，逆水行驶的速度为17.5千米/时；乙船顺水行驶的速度是37.5千米/时，逆水行驶的速度为32.5千米/时．

思路点拨：

从例2可以看到：

用整式表示实际问题中的数量关系，然后再将整式中的字母所表示的不同数代入计算，从而可求出相应的值，这给问题的解决带来方便．代入时，要将整式中省略掉的乘号添上．例如，当x=-1时，整式2x23x+1的值为2×（-1）2-3×（-1）+1=2×1+3+1=6．

四、巩固练习

1．下列式子中，哪些是单项式？

哪些是多项式？

哪些是整式？

3x，2x-1，

，-ab，-5，

-1，3m-4n+m2n．

（3x，-ab，-5都是单项式；2x-1，

，3m-4n+m2n都是多项式；题目中除

-1以外都是整式）

思路点拨：

=

+

，是一次二次项，因为

不是单项式，所以

-1不是多项式，当然也不是整式．

2．判别正误：

（1）多项式-x2y+2x2-y的次数2．（）

（2）多项式-

-a+3a2的一次项系数是1．（）

（3）-x-y-z是三次三项式．（）

思路点拨：

要求学生说明错误原因，并加以改正．

（1）次数是3；

（2）一次项系数是-1，（3）是一次三项式．

3．课本第59页练习．

4．课本第61页第10题．

点拨：

观察图形易知每增加一个梯形，图形的周长就增加3a，因此梯形个数为5时，周长为17a，梯形个数为6时，周长为20a．因为梯形的长、下底之和为3a，所以n个梯形按课本所示拼在一起所得图形较长两边长之和为3a·n，另外两边之和为2a，所以n个梯形拼成的图形周长为3an+2a．

根据这个整式3an+2a，我们很容易计算出n为任意正整数时，图形的周长，例如当n=10时，周长为32a，当n=56时，周长为170a．用整式表示实际问题中的数量关系，它比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便．

教师引导，关注学生思路，指导学生合作交流，探索规律．

五、课堂小结

师生互动，共同小结本节课内容．

1．什么叫做多项式？

多项式是整式吗？

整式是多项式吗？

2．什么叫多项式的基？

什么叫做常数项？

举例说明？

3．什么叫做多项式的次数？

六、课堂作业

第三课时：

整式的加减

（1）

教学目标

（1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并同类项．

（2）能先合并同类项化简后求值．

（3）经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、分类、归纳等能力．

（4）掌握规范的解题步骤，养成良好的学习习惯，通过比较两种求代数式值的方法，体会合并同类项的作用．

教学难点和重点

1．重点：

掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．

2．难点：

多字母同类项的合并．

教学过程

一、课题导入

有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？

怎样化简呢？

我们来看本章引言中的问题

（2）．

在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需的时间就是2.1t小时，则这段铁路的全长是100t+120×2.1t，

即100t+252t

1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？

（1）运用有理数的运算律计算：

100×2+252×2=______；

100×（-2）+252×（-2）=________．

（2）根据

（1）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理．

思路点拨：

根据逆用乘法对加法的分配律可得：

100t+252t=________．

思路点拨：

逆用乘法对加法的分配律可得：

100×2+252×2=（100+252）×2=352×2

100×（-2）+252×（-2）=（100+252）×（-2）=352×（-2）

我们知道字母可以表示数，如果用t表示上述算术中的数2（或-2）就有，100t+252t=（100+252）×t=352t．

事实上，100t+252t与100×2+252×2和100×（-2）+252×（-2）有相同的结构，都是两个数分别与同一个数乘积的和，这里t表示同一个因数，因此根据分配律也应该有：

100t+252t=（100+252）t=352t

2．填空:

（1）100t-252t=（）t；

（2）3x2+2x2=（）x2；

（3）3ab24ab2=（）ab2．

上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？

思路点拨：

上述两个探究，教师组织学生分四人小组进行讨论，引导学生观察、类比，从而发现规律，鼓励学生用自己的语言表达．

对于上面的

（1）、

（2）、（3），利用分配律可得

100t-252t=（100-252）t=-152t

3x2+2x2=（3+2）x2=5x2

3ab2-4ab2=（3-4）ab2=-ab2

这就是说，上面的三个多项式都可以合并为一个单项式．

具备什么特点的多项式可以合并呢？

观察

（1）中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；

（2）中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；（3）中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．

像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．

3．思考：

下列各组是不是同类项：

（1）0.5x2y和0.2xy2；

（2）4abc和4ab；

（3）-5m2n3和2n3m2；（4）7xnyn+1和-3xnyn+1．

思路点拨：

根据同类项定义进行判断，同类项应所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，二者缺一不可，与其系数无关，与其字母顺序无关．

（1）题虽然所含字母相同，但相同字母的指数不同，

（2）题所含字母不同；（3）、（4）符合同类项定义，所以（3）、（4）是同类项，

（1）、

（2）不是同类项．

因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并．例如，

4x2+2x+7+3x-8x2-2（找出多项式中的同类项）

＝4x2-8x2+2x+3x+7-2（交换律）

＝（4x2-8x2）+（2x+3x）+（7-2）（结合律）

＝（4-8）x2+（2+3）x+（7-2）（分配律）

＝-4x2+5x+5

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？

学生交流后，教师归纳：

合并同类项法则：

在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．

若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0·ab2=0．

多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．

通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2．

二、例题

例1．合并下列各式的同类项：

（1）xy2-

xy2；

（2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2；（3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2．

教师操作投影仪，展示例1，引导学生先观察多项式中哪些项是同类项，初学时，按照上面的解题步骤，先根据交换律、结合律把同类项结合在一起，然后再合并．

解题过程按照课本、教学时，可采用学生口述，老师板书，同时让学生说明每一步骤的依据．

例2．

（1）求多项式2x2-5x+x24x-3x22的值，其中x=

．

（2）求多项式3a+abc-

c2-3a+

c2的值，其中a=-

，b=2，c=-3．

教师操作投影仪，展示例2，

（1）题先让学生直接代入求值，然后采用先化简后代入的方法，让学生通过比较两种方法，以使体会合并同类项的作用．

解：

（1）2x2-5x+x2+4x-3x2-2（仔细观察，标出同类项）

=（2+1-3）x2+（-5+4）x-2（系数相加，字母部分不变）

=-x-2（系数是“1”或“-1”时省略不写）

当x=

时，原式=-

-2=-

（2）3a+abc

-3a

=（3-3）a+abc+（-

+

）c2

=abc

当a=-

，b=2，c=-3时，原式=（-

）×2×（-3）=1

点评：

在求多项式的值时，一般先对多项式进行化简，然后再代入指定的数值进行计算，这样做比较简便，同时也减少计算失误．合并时，特殊注意系数是负数的情况，规范书写格式，代入字母给定的值时，必要时要正确使用括号，否则易发生错误．

例3．

（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm，第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？

（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？

思路点拨：

（1）水位上升量与水位下降量是具有相反意义的两个量．我们可以把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，那么，第一天水位的变化量为-2acm，第二天水位的变化量0.5acm，两天水位的总变化量为-2a+0.5a=（-2+0．5）a=-1.5a（cm），这表明这两天水位的总变化情况是下降了1.5acm；

（2）类似

（1）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，那么进货后这个商店共有大米5x-3x+4x=（5-3+4）x=6x（千克）．

三、巩固练习

四、课堂小结

1．什么叫同类项？

字母相同，次数也相同的项是同类项吗？

举例说明．

2．什么叫合并同类项？

怎样合并同类项？

合并同类项的依据是什么？

对于求多项式的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值．

五、课堂作业

第四课时：

整式的加减

（2）

教学目标

（1）能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．

（2）经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力．

（3）培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度．

教学难点和重点

1．重点：

去括号法则，准确应用法则将整式化简．

2．难点：

括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。

教学过程

一、课题导入

利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？

在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为

100t+120（t-0.5）千米①

冻土地段与非冻土地段相差

100t-120（t-0.5）千米②

上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？

思路点拨：

教师引导，启发学生类比数的运算，利用分配律．学生练习、交流后，教师归纳：

利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：

100t+120（t-0.5）=100t+120t+