第二章整式的加减正章教案.docx

1、第二章整式的加减正章教案第一课时： 单项式教学目标 1知识与技能 （1）能用代数式表示实际问题中的数量关系 （2）理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次数和系数 2过程与方法 经历列式表示实际问题中的数量关系，发展符号感，通过观察代数式的特点，发现、归纳单项式的概念，培养学生观察、分析、归纳的能力 3情感态度与价值观 通过列单项式表示实际问题中的数量关系，体会整式比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便 教学重点和难点 1重点：单项式的有关概念 2难点：负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数 教学过程 一、课题导入 教师操作课件，展示章前图案以及字幕，

2、学生观看并思考下列问题： 1青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题： （1）列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t小时呢？ （2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段所需要时间的2.1倍，如果通过冻土地段所需要t小时，能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？ （3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要u小时，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少千米？ 分析

3、：（1）根据速度、时间和路程之间的关系：路程=速度时间列车在冻土地段2小时行驶的路程是1002=200（千米），3小时行驶的路程为1003=300（千米），t小时行驶的路程为100t=100t（千米） （2）列车通过非冻土地段所需时间为2.1t小时，行驶的路程为1202.1t（千米）；列车通过冻土地段的路程为100t，因此这段铁路的全长为1202.1t+100t（千米） （3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段要u小时，那么通过非冻土地段要（u-0.5）小时，冻土地段的路程为100u千米，非冻土地段的路程为120（u-0.5）千米，这段铁路的全长为100u+120（u-0.5）千米，冻土地段

4、与非冻土地段相差为100u-120（u-0.5）千米 思路点拨：上述问题（1）可由学生自己完成，问题（2）、（3）先由学生思考、交流的基础上教师引导学生分析怎样列式 上述的3个问题中的数量关系我们分别用含有字母的式子表示，通过本章学习，我们还可以将上述问题（2）、（3）进行加减运算，化简 2下面，我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题 用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点 （1）边长为a的正方体的表面积为_，体积为_ （2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5倍，圆珠笔的单价是_元 （3）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为_千米 （4）数n的相反数

5、是_ 教师课堂巡视，关注中下程度的学生，及时引导，学生探究交流 上面各问题的代数式分别是：6a2，a3，2.5x，vt，-n 观察上面各式中运算有什么共同特点？ 上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，它们都是数字与字母的积，例如：6a2表示6a2，a3表示1a3，2.5x表示2.5x，vt表示1vt，-n表示-1n 像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式单独的一个数或一个字母也是单项式如：-2，a，都是单项式，而，1+x都不是单项 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：6a2的系数是6，a3的系数是1，-n的系数是-1，-的系数是- 单项式表示数字与字母相乘时

6、，通常把数字写成前面，当一个单项式的系数是1或-1时通常省略不写 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数例如，2.5x中字母x的指数是1，2.5x是一次单项式；vt中字母v与t的指数和是2，vt是二次单项式，-ab2c中字母a、b、c的指数和是4，-ab2c是4次单项式 二、例题 例1用单项式填空，并指出它们的系数和次数 （1）每包书有12册，n包书有_册 （2）底边长为a，高为h的三角形的面积是_ （3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是_ （4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在售价为_元 （5）一个长方形的长为0.9，宽是a，这个长方形的面积是

7、_ 教师操作投影仪，展示例1，学生思考、交流师生互动 思路点拨：（1）12n，它的系数是12，次数是1； （2）根据三角形的面积公式，得ah，它的系数是，次数是2； （3）根据长方体的体积公式=长宽高，得a2h，它的系数是1，次数是3； （4）0.9a，它的系数是0.9，次数是1； （5）0.9a，系数为0.9，次数为1 教学时，以师生互动方式进行，由学生口述，教师板书 强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是1，不是“没有” 用字母表示数后，同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义例如，在问题（4）、（5）中，所填的结果都是0.9a，一个是表示电

8、视机的售价，一个是表示长方形的面积，你还能赋予0. 9a一个含义吗？ 让学生交流各自想法，加深对字母表示数的理解 三、巩固练习 1下列各式是不是单项式？为什么？ （1）x-2y； （2）-； （5）-1 2判断下列各说法是否正确，错误的改正过来 （1）单项式-xy2的系数是0，次数是2 （2）单项式27a2的系数是2，次数是9 （3）单项式-的系数是-，次数是n+1 3请你写出系数为-，含有x、y，次数为4的所有单项式 教师操作投影仪，出示上述练习题，独立思考，然后进行交流 4课本第56页练习1、2题 教师巡视，关注中下程度的学生，适时给予指导，学生独立完成后，相互交流 思路点拨：1（2）、（

9、5）是单项式，（1）、（3）、（4）都不是单项式，因为它们不是数字与字母的乘积 2（1）、（2）错误，订正：-xy2的系数是-1，次数是3，27a2的系数是a7，次数是2，（3）正确3-xy3，-x2y2，-x3y 4略 四、课堂小结 师生互动，共同学习小结本节课内容 1什么叫单项式？举例说明 2单独的一个数或一个字母是单项式吗？是单项式吗？为什么？ 3什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？举例说明第二课时：多项式 教学目标 1使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数 2通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力 3培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整

10、式的实际背景，进一步感受字母表示数的意义 教学难点和重点 1重点：多项式以及有关概念 2难点：准确确定多项式的次数和项教学过程 一、复习 1什么叫单项式？举例说明 2怎样确定一个单项式的系数和次数？-的系数、次数分别是多少？ 3列式表示下列问题： （1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为_ （2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球需要z（元），买3个篮球，5个排球，2个足球共需_元（3）如图1，三角尺的面积为_ (1) (2) （4）如图2是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是_平方米 老师操作投影仪，展示上述问题，关注学生列式情况，学生小组交流、合作学习 思路点

11、拨：（1）数x的2倍表示为2x，因此比x的2倍小3的数为2x-3； （2）一个篮球x（元），3个篮球为3x元；一个排球y（元），5个排球要5y元；一个足球z（元），2个足球要2z元，因此一共需（3x+5x+2z）元； （3）三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积，三角形的面积为ab，圆面积为r2，因此三角尺的面积为ab-r2； （4）每个房间的建筑面积分别为x2平方米，2x平方米，6平方米，12平方米，因此这所住宅的建筑面积为（x2+2x+18）平方米 上面列出的式子2x-3，3x+5y+2z， ab-r2，x2+2x+18，它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？ 2x

12、-3可看作2x与-3的和：3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和；同样ab-r2看作ab与-r2的和，x2+2x+18可以x2、2x、18的和 二、课题导入 请同学们阅读课本有关内容，并回答下列问题 1几个单项式的和叫做_； 2在多项式中，每个单项式叫做_； 3在多项式中，不含字母的项叫做_； 4在多项式中，_，叫做这个多项式的次数 5多项式的次数与单项式的次数有什么区别？ 6请说出上面各多项式的次数和项 思路点拨：（1）多项式的各项应包括它前面的符号，比如，多项式6x2-x-3中第二项是-x，而不是x，常数项是-3，不是3多项式没有系数概念，但其每一项均有系数，每一项的系数应包括

13、自己的符号 （2）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，首先求出此多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数 （3）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，如，多项式3x2y-xy2+x2-xy-5中，最高次项为3x2y和-xy2，二次项也有2项，x2和-xy，这个多项式为二次五项式 单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z等都是整式 三、例题 例1用多项式填空，并指出它们的项和次数 （1）温度由t下降5后是_ （2）甲数x的与乙数y的的差可以表示为_ （3）如课本图21-3，圆环的面积为_ （4）如课本图2

14、1-4，钢管的体积是_ 思路点拨：（1）t-5，它的项为t和-5，次数是1；（2）甲数x的表示为x，乙数y的表示为y，它们的差为x-y，它的项为x和-y，次数为1；（3）圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，因此圆环面积为R2-r2，它的项是R2-r2，次数是2（是常数是R2的系数）（4）钢管的体积等于大圆柱的体积减去小圆柱的体积，即R2a-r2a，它的项是R2a和-r2a，次数是3 例2一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时，则它们在这条河流中的顺水行驶和

15、逆水行驶的速度各是多少？ 教师操作投影仪，展示例2，并引导学生进行分析： 顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度 这里水流速度为2.5千米/时，如果，我们设船在静水中的速度为v千米/时，那么船在顺水行驶时的速度表示为（v+2.5）千米/时，船在逆水行驶时的速度为（v-2.5）千米/时 当v=20时，则v+2.5=20+2.5=22.5，v-2.4=20-2.5=17.5；当v=35时，则v+2.5=35+2.5=37.5，v-2.5=35-2.5=32.5因此，甲船顺水行驶的速度是22.5千米/时，逆水行驶的速度为17.5千米/时；乙船顺

16、水行驶的速度是37.5千米/时，逆水行驶的速度为32.5千米/时 思路点拨：从例2可以看到：用整式表示实际问题中的数量关系，然后再将整式中的字母所表示的不同数代入计算，从而可求出相应的值，这给问题的解决带来方便代入时，要将整式中省略掉的乘号添上例如，当x=-1时，整式2x23x+1的值为2（-1）2-3（-1）+1=21+3+1=6 四、巩固练习 1下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 3x，2x-1，-ab，-5， -1，3m-4n+m2n （3x，-ab，-5都是单项式；2x-1，3m-4n+m2n都是多项式；题目中除-1以外都是整式） 思路点拨： =+，是一次二次项，因为

17、不是单项式，所以-1不是多项式，当然也不是整式 2判别正误： （1）多项式-x2y+2x2-y的次数2（ ） （2）多项式-a+3a2的一次项系数是1（ ） （3）-x-y-z是三次三项式（ ） 思路点拨：要求学生说明错误原因，并加以改正 （1）次数是3；（2）一次项系数是-1，（3）是一次三项式 3课本第59页练习 4课本第61页第10题 点拨：观察图形易知每增加一个梯形，图形的周长就增加3a，因此梯形个数为5时，周长为17a，梯形个数为6时，周长为20a因为梯形的长、下底之和为3a，所以n个梯形按课本所示拼在一起所得图形较长两边长之和为3an，另外两边之和为2a，所以n个梯形拼成的图形周长

18、为3an+2a 根据这个整式3an+2a，我们很容易计算出n为任意正整数时，图形的周长，例如当n=10时，周长为32a，当n=56时，周长为170a用整式表示实际问题中的数量关系，它比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便 教师引导，关注学生思路，指导学生合作交流，探索规律 五、课堂小结 师生互动，共同小结本节课内容 1什么叫做多项式？多项式是整式吗？整式是多项式吗？ 2什么叫多项式的基？什么叫做常数项？举例说明？ 3什么叫做多项式的次数？ 六、课堂作业第三课时：整式的加减(1) 教学目标 （1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并同类项 （2）

19、能先合并同类项化简后求值 （3）经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、分类、归纳等能力 （4）掌握规范的解题步骤，养成良好的学习习惯，通过比较两种求代数式值的方法，体会合并同类项的作用 教学难点和重点 1重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项2难点：多字母同类项的合并 教学过程 一、课题导入 有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？怎样化简呢？ 我们来看本章引言中的问题（2） 在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需的时间就是2.1t小时，则这段铁路的全长是100t+1202.1t， 即100t+252t 1类比数

20、的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？ （1）运用有理数的运算律计算： 1002+2522=_； 100（-2）+252（-2）=_ （2）根据（1）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理 思路点拨：根据逆用乘法对加法的分配律可得： 100t+252t=_ 思路点拨：逆用乘法对加法的分配律可得： 1002+2522=（100+252）2=3522 100（-2）+252（-2）=（100+252）（-2）=352（-2） 我们知道字母可以表示数，如果用t表示上述算术中的数2（或-2）就有，100t+252t=（100+252）t=352t 事实上，100t+252t与1002+25

21、22和100（-2）+252（-2）有相同的结构，都是两个数分别与同一个数乘积的和，这里t表示同一个因数，因此根据分配律也应该有：100t+252t=（100+252）t=352t 2填空: （1）100t-252t=（ ）t； （2）3x2+2x2=（ ）x2； （3）3ab24ab2=（ ）ab2 上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 思路点拨：上述两个探究，教师组织学生分四人小组进行讨论，引导学生观察、类比，从而发现规律，鼓励学生用自己的语言表达 对于上面的（1）、（2）、（3），利用分配律可得 100t-252t=（100-252）t=-152t 3x2+2x2=（3+2）x

22、2=5x2 3ab2-4ab2=（3-4）ab2=-ab2 这就是说，上面的三个多项式都可以合并为一个单项式 具备什么特点的多项式可以合并呢？ 观察（1）中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；（2）中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；（3）中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2 像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项 3思考：下列各组是不是同类项： （1）0.5x2y和0.2xy2； （2）4abc和4ab； （3）-5m2

23、n3和2n3m2； （4）7xnyn+1和-3xnyn+1 思路点拨：根据同类项定义进行判断，同类项应所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，二者缺一不可，与其系数无关，与其字母顺序无关（1）题虽然所含字母相同，但相同字母的指数不同，（2）题所含字母不同；（3）、（4）符合同类项定义，所以（3）、（4）是同类项，（1）、（2）不是同类项 因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并例如， 4x2+2x+7+3x-8x2-2 （找出多项式中的同类项） 4x2-8x2+2x+3x+7-2 （交换律） （4x2-8x2）+（2x+3x）+（7-2）

24、 （结合律） （4-8）x2+（2+3）x+（7-2） （分配律） -4x2+5x+5 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？ 学生交流后，教师归纳： 合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变 若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0ab2=0 多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如

25、-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2 二、例题 例1合并下列各式的同类项： （1）xy2-xy2； （2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2； （3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 教师操作投影仪，展示例1，引导学生先观察多项式中哪些项是同类项，初学时，按照上面的解题步骤，先根据交换律、结合律把同类项结合在一起，然后再合并 解题过程按照课本、教学时，可采用学生口述，老师板书，同时让学生说明每一步骤的依据 例2（1）求多项式2x2-5x+x24x-3x22的值，其中x= （2）求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值，其中a=-，b=2，c=-3 教师操作投影仪，展示例2，（

26、1）题先让学生直接代入求值，然后采用先化简后代入的方法，让学生通过比较两种方法，以使体会合并同类项的作用 解：（1）2x2-5x+x2+4x-3x2-2 （仔细观察，标出同类项） =（2+1-3）x2+（-5+4）x-2 （系数相加，字母部分不变） =-x-2 （系数是“1”或“-1”时省略不写） 当x=时，原式=-2=- （2）3a+abc-3a =（3-3）a+abc+（-+）c2 =abc 当a=-，b=2，c=-3时，原式=（-）2（-3）=1 点评：在求多项式的值时，一般先对多项式进行化简，然后再代入指定的数值进行计算，这样做比较简便，同时也减少计算失误合并时，特殊注意系数是负数的情

27、况，规范书写格式，代入字母给定的值时，必要时要正确使用括号，否则易发生错误 例3（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm，第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 思路点拨：（1）水位上升量与水位下降量是具有相反意义的两个量我们可以把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，那么，第一天水位的变化量为-2acm，第二天水位的变化量0.5acm，两天水位的总变化量为-2a+0.5a=（-2+05）a=-1.5a（c

28、m），这表明这两天水位的总变化情况是下降了1.5acm；（2）类似（1）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，那么进货后这个商店共有大米5x-3x+4x=（5-3+4）x=6x（千克） 三、巩固练习 四、课堂小结 1什么叫同类项？字母相同，次数也相同的项是同类项吗？举例说明 2什么叫合并同类项？怎样合并同类项？合并同类项的依据是什么？ 对于求多项式的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值 五、课堂作业第四课时：整式的加减(2) 教学目标 （1）能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简 （2）经历类比带有括号的有理数的

29、运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力 （3）培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度 教学难点和重点 1重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简 2难点：括号前面是“”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。 教学过程 一、课题导入 利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？ 在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为 100t+120（t-0.5）千米 冻土地段与非冻土地段相差 100t-120（t-0.5）千米 上面的式子、都带有括号，它们应如何化简？ 思路点拨：教师引导，启发学生类比数的运算，利用分配律学生练习、交流后，教师归纳： 利用分配律，可以去括号，合并同类项，得： 100t+120（t-0.5）=100t+120t+