长方体和正方体的体积和表面积提升练习.docx
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长方体和正方体的体积和表面积提升练习
长方体和正方体的体积和表面积提升练习
立体图形之长方体与正方体
一、一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！
二、经过折叠可以组合成正方体:
三、经过折叠可以组合成长方体：
练习：
下列三个图形中，能拼成正方体的是（ ）
①
②
③
四、长方体或正方体的切割组合对棱长的影响
1.切割
将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）
面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。
长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍。
长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍。
长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍。
练习：
（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（ ）倍。
（2）正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（ ）倍．
（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（）。
（4）正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（ ）倍。
（5）一个正方体的棱长为4厘米，扩大为2倍后，其棱长和为（）厘米，表面积为（）平方厘米，比原来扩大了（）。
（6）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（）倍。
（7）大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（ ）；大正方体棱长之和是小正方体的（）
A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍
（8）把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（ ）。
A.等于大正方体的表面积B.等于大正方体表面积的2倍
C.等于大正方体表面积的3倍
（9）判断：
一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。
（）
正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长和也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。
（）
有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。
（）
棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。
（）
八、立体图形的切割：
（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）
Ø长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。
Ø正方体
无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
例如：
两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？
要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。
练习：
（1）把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（ ）㎡。
（2）用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（ ）平方厘米，最小是（ ）平方厘米。
（3）把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。
（4）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）平方厘米。
（5）棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（ ）。
（6）一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（ ）平方分米．
（7）一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？
（8）把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的底面积是多少平方分米？
（9）一根1.8m长的木材，锯成三个完全相同的正方体后，表面积比原来增加多少平方厘米？
（10）一个长方体长为1.5分米，宽为0.5分米，高位1分米，锯三刀之后可以锯成6个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是多少？
这时表面积之和比原来增加多少？
长方体与正方体的表面积和体积
九、从一个长方体中切出一个最大的正方体问题
应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。
例如：
在一个长是4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体中切出一个最大的正方体，该正方体的棱长和是多少？
剩余部分的表面积是多少？
十、立体图形的组合（组合只会使表面积减少，因此存在减少最多或最少的问题）
Ø长方体
将原来长方体的最大面组合在一起，其表面积比原来减少的最多。
将原来长方体的最小面组合在一起，其表面积比原来减少的最少。
而且两个组合将减少两个完全相同的面，三个组合减少四个完全相同的面，依次类推。
Ø正方体
无论沿那个面组合，都将减少两个正方形的面，减少的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。
练习：
（3）用27个体积是1立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（）
（4）把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方米。
这个正方体的表面积是多少平方米？
（5）一个长方体的长8厘米，宽6厘米，高5.5厘米。
将两个这样的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是多少？
体积是多少？
（8）有三个大小相等的正方体，将他们拼成长方体，表面积减少32平方厘米。
求所拼长方体的表面积。
（10）用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体一起包装，至少需要包装纸多少？
（12）用两个同样的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是多少平方厘米？
十一、小正方体拼成的大正方体表面涂漆问题
大正方体长、宽、高上有几个小正方体，则将长、宽、高上的正方体数相乘就是大正方体所含小正方体的总数；
在顶点位置的小正方体露在外面的面有3个；
在棱上（不包含顶点位置）的小正方体露在外面的面有2个；
在面上（不包含棱上）的小正方体露在外面得面有1个；
用总数—3个面的—2个面的—1个面得=没有露在外面的小正方体的个数。
例如：
在该正方体表面涂上漆，有三个面涂上漆的小正方体有几个？
有两个面图上漆的小正方体有几个？
有一个面涂上漆的小正方体有几个？
没有涂上漆的小正方体有几个？
图一中，长方体共有（）个小正方体；其中两个面露在外面的小正方体共有（）个；没有露在外面的小正方体共有（）个。
图二中三个图一次有（）、（）、（）小正方体组成。
第二个长方体中有三个面在外面的正方体有（）个，两个面在外面的正方体有（）个，一个面在外面的有（）个，没有露在外面的小正方体（）。
练习：
图1
图2
十二、小正方体拼成的大正方体在取走一部分后表面积的变化
挖去的小正方体在顶点位置，则大正方体的表面积不变，因为原来在顶点位置小正方体露在外面的面为3个，挖去后露出来的面也是3个，所以表面积不变。
挖去的小正方体在棱的位置，则大正方体的表面积增加，因为原来在棱上的小正方体露在外面的面有2个，挖去后会露出4个面，所以表面积会增大。
挖去的小正方体在面上，则大正方体的表面积也会增加，因为原来在面上的小正方体只有1个面露在外面，挖去后会露出5个面，所以表面积会增大。
十二、等积变形的题，常用锻造、熔铸等词
1、把一个棱长为6分米的正方体钢坯，锻造成一个长3分米、宽2分米的长方体钢条，这个钢条长多少米？
2、将一块长4.5分米，宽4分米，高2分米的长方体钢块，熔铸成一根横截面的边长是2分米的方钢，这根方钢的长是多少分米？
3、一个棱长是40厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个底面为200平方厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？
十三、用排水法解题（求不规则物体的体积转化成规则的物体的体积，即：
放入物体后水的体积—放入物体前水的体积=物体的体积），或利用放入水中物体的体积等于水面上升的那部分水的体积。
1、一个长方体容器长25厘米，宽18厘米，里面水深6厘米。
将一个西瓜放入其中（西瓜完全淹没），水上升了4厘米。
这个西瓜的体积是多少？
2、一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器，里面装有5.6升水，再将一个苹果浸没在水中，这时量得容器内的水深1.5分米。
这个苹果的体积是多少立方分米？
（玻璃的厚度忽略不计）
3、一个底面积是80平方厘米的鱼缸，放入20条小鱼后，水面上升了2厘米，这些小鱼平均每条的体积是多少？
4.石块全部浸入底面积是320平方厘米的长方体水箱中，水面上升2.5厘米，这个石块的体积是多少立方厘米？
5.一个长方体水箱上，从里面量长6分米，宽5分米。
先倒入82升水，再浸入一个棱长是2分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米，这个水箱的容积是多少立方分米？
6.一个棱长为人5分米的正方体容器内放有一个不规则铁块，现在把40升水倒入正方体内（水不外溢），这时测得水深2.2分米。
这个铁块的体积是多少立方分米？
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