函数的单调性和奇偶性例题和练习高中数学.docx
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函数的单调性和奇偶性例题和练习高中数学
函数的单调性和奇偶性
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数
在（0，+∞）上的单调性.
证明：
在（0，+∞）上任取x1、x2（x1≠x2），令△x=x2−x1＞0
则
∵x1＞0，x2＞0，∴
，
，
，
∴上式＜0，∴△y=f（x2）−f（x1）＜0
∴
在（0，+∞）上递减.
总结升华：
[1]证明函数单调性要求使用定义；
[2]如何比较两个量的大小？
（作差）
[3]如何判断一个式子的符号？
（对差适当变形）
举一反三：
【变式1】用定义证明函数
上是减函数.
思路点拨：
本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
证明：
设x1，x2是区间
上的任意实数，且x1＜x2，则
∵0＜x1＜x2≤1∴x1−x2＜0，0＜x1x2＜1
∵0＜x1x2＜1
故
，即f（x1）−f（x2）＞0
∴x1＜x2时有f（x1）＞f（x2）
上是减函数.
总结升华：
可以用同样的方法证明此函数在
上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2.判断下列函数的单调区间；
（1）y=x2−3|x|+2；
（2）
解：
（1）由图象对称性，画出草图
∴f（x）在
上递减，在
上递减，在
上递增.
（2）
∴图象为
∴f（x）在
上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
（1）y=|x+1|；
（2）
（3）
.
解：
（1）
画出函数图象，
∴函数的减区间为
，函数的增区间为（−1，+∞）；
（2）定义域为
，
其中u=2x−1为增函数，
在（−∞，0）与（0，+∞）为减函数，
则
上为减函数；
（3）定义域为（−∞，0）∪（0，+∞），
单调增区间为：
（−∞，0），单调减区间为（0，+∞）.
总结升华：
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；
[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析：
先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：
内外层函数同向变化
复合函数为增函数；内外层函数反向变化
复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用（比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值）
3.已知函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，比较f（a2−a+1）与
的大小.
解：
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，则
.
4.求下列函数值域：
（1）
；1）x∈[5，10]；2）x∈（−3，−2）∪（−2，1）；
（2）y=x2−2x+3； 1）x∈[−1，1]；2）x∈[−2，2].
思路点拨：
（1）可应用函数的单调性；
（2）数形结合.
解：
（1）
2个单位，再上移2个单位得到，如图
1）f（x）在[5，10]上单增，
；
2）
；
（2）画出草图
1）y∈[f
（1），f（−1）]即[2，6]；
2）
.
举一反三：
【变式1】已知函数
.
（1）判断函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，3]时，求函数f（x）的值域.
思路点拨：
这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.
，第二问即是利用单调性求函数值域.
解：
（1）
上单调递增，在
上单调递增；
（2）
故函数f（x）在[1，3]上单调递增
∴x=1时f（x）有最小值，f
（1）=−2
x=3时f（x）有最大值
∴x∈[1，3]时f（x）的值域为
.
5.已知二次函数f（x）=x2−（a−1）x+5在区间
上是增函数，求：
（1）实数a的取值范围；
（2）f
（2）的取值范围.
解：
（1）∵对称轴
是决定f（x）单调性的关键，联系图象可知
只需
；
（2）∵f
（2）=22−2（a−1）+5=−2a+11又∵a≤2，∴−2a≥−4
∴f
（2）=−2a+11≥−4+11=7
.
类型四、判断函数的奇偶性
6.判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）f（x）=x2−4|x|+3 （4）f（x）=|x+3|−|x−3| （5）
（6）
（7）
思路点拨：
根据函数的奇偶性的定义进行判断.
解：
（1）∵f（x）的定义域为
，不关于原点对称，因此f（x）为非奇非偶函数；
（2）∵x−1≥0，∴f（x）定义域
不关于原点对称，∴f（x）为非奇非偶函数；
（3）对任意x∈R，都有−x∈R，且f（−x）=x2−4|x|+3=f（x），则f（x）=x2−4|x|+3为偶函数；
（4）∵x∈R，f（−x）=|−x+3|−|−x−3|=|x−3|−|x+3|=−f（x），∴f（x）为奇函数；
（5）
，∴f（x）为奇函数；
（6）∵x∈R，f（x）=−x|x|+x∴f（−x）=−（−x）|−x|+（−x）=x|x|−x=−f（x），∴f（x）为奇函数；
（7）
，∴f（x）为奇函数.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
（1）
；
（2）f（x）=|x+1|−|x−1|； （3）f（x）=x2+x+1；
（4）
.
思路点拨：
利用函数奇偶性的定义进行判断.
解：
（1）
；
（2）f（−x）=|−x+1|−|−x−1|=−（|x+1|−|x−1|）=−f（x）∴f（x）为奇函数；
（3）f（−x）=（−x）2+（−x）+1=x2−x+1
∴f（−x）≠−f（x）且f（−x）≠f（x）∴f（x）为非奇非偶函数；
（4）任取x＞0则−x＜0，∴f（−x）=（−x）2+2（−x）−1=x2−2x−1=−（−x2+2x+1）=−f（x）
任取x＜0，则−x＞0f（−x）=−（−x）2+2（−x）+1=−x2−2x+1=−（x2+2x−1）=−f（x）
x=0时，f（0）=−f（0）∴x∈R时，f（−x）=−f（x）∴f（x）为奇函数.
举一反三：
【变式2】已知f（x），g（x）均为奇函数，且定义域相同，求证：
f（x）+g（x）为奇函数，f（x）·g（x）为偶函数.
证明：
设F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）·g（x）则
F（−x）=f（−x）+g（−x）=−f（x）−g（x）=−[f（x）+g（x）]=−F（x）
G（−x）=f（−x）·g（−x）=−f（x）·[−g（x）]=f（x）·g（x）=G（x）
∴f（x）+g（x）为奇函数，f（x）·g（x）为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用（求值，求解析式，与单调性结合）
7.已知f（x）=x5+ax3−bx−8，且f（−2）=10，求f
（2）.
解：
法一：
∵f（−2）=（−2）5+（−2）3a−（−2）b−8=−32−8a+2b−8=−40−8a+2b=10
∴8a−2b=−50∴f
（2）=25+23a−2b−8=8a−2b+24=−50+24=−26
法二：
令g（x）=f（x）+8易证g（x）为奇函数
∴g（−2）=−g
（2）∴f（−2）+8=−f
（2）−8
∴f
（2）=−f（−2）−16=−10−16=−26.
8.f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2−x，求当x≥0时，f（x）的解析式，并画出函数图象.
解：
∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，−y=（−x）2−（−x）
即y=−x2−x又f（0）=0，
，如图
9.设定义在[−3，3]上的偶函数f（x）在[0，3]上是单调递增，当f（a−1）＜f（a）时，求a的取值范围.
解：
∵f（a−1）＜f（a）∴f（|a−1|）＜f（|a|）
而|a−1|，|a|∈[0，3]
.
类型六、综合问题
10.定义在R上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间
的图象与f（x）的图象重合，
设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.
①f（b）−f（−a）＞g（a）−g（−b）； ②f（b）−f（−a）＜g（a）−g（−b）；
③f（a）−f（−b）＞g（b）−g（−a）； ④f（a）−f（−b）＜g（b）−g（−a）.
答案：
①③.
11.求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）
思路点拨：
（1）中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；
（2）由单调性求值域，此题也可换元解决；（3）单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.
解：
（1）
；
（2）
经观察知，
，
；
（3）令
.
12.已知函数f（x）=x2−2ax+a2−1.
（1）若函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[−1，1]时，求函数f（x）的最小值g（a），并画出最小值函数y=g（a）的图象.
解：
（1）∵f（x）=（x−a）2−1∴a≤0或a≥2
（2）1°当a＜−1时，如图1，g（a）=f（−1）=a2+2a
2°当−1≤a≤1时，如图2，g（a）=f（a）=−1
3°当a＞1时，如图3，g（a）=f
（1）=a2−2a
，如图
13.已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，f
（2）=1，且定义域上任意x、y都满足f（xy）=f（x）+f（y），解不等式：
f（x）+f（x−2）≤3.
解：
令x=2，y=2，∴f（2×2）=f
（2）+f
（2）=2∴f（4）=2
再令x=4，y=2，∴f（4×2）=f（4）+f
（2）=2+1=3∴f（8）=3
∴f（x）+f（x−2）≤3可转化为：
f[x（x−2）]≤f（8）
.
14.判断函数
上的单调性，并证明.
证明：
任取0＜x1＜x2，
∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0
（1）当
时
0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0
∴f（x1）−f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
上是减函数.
（2）当x1，x2∈（1，+∞）时，
上是增函数.
难点：
x1·x2−1的符号的确定，如何分段.
15.设a为实数，函数f（x）=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f（x）的奇偶性，并求f（x）的最小值.
解：
当a=0时，f（x）=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，f（x）=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.
（1）当x≥a时，
[1]
且
[2]
上单调递增，
上的最小值为f（a）=a2+1.
（2）当x＜a时，
[1]
上单调递减，
上的最小值为f（a）=a2+1
[2]
上的最小值为
综上：
.
学习成果测评
基础达标
一、选择题
1．下面说法正确的选项（）
A．函数的单调区间就是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．在区间
上为增函数的是（）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
为偶函数，则
的值是（）
A.
B.
C.
D.
4．若偶函数
在
上是增函数，则下列关系式中成立的是（）
A．
B．
C．
D．
5．如果奇函数
在区间
上是增函数且最大值为
，那么
在区间
上是（）
A．增函数且最小值是
B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是
D．减函数且最小值是
6．设
是定义在
上的一个函数，则函数
，在
上一定是（）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
7．下列函数中，在区间
上是增函数的是（）
A．
B．
C．
D．
8．函数f（x）是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，则（）
A.f（3）+f（4）＞0 B.f（−3）−f
（2）＜0 C.f（−2）+f（−5）＜0 D.f（4）−f（−1）＞0
二、填空题
1．设奇函数
的定义域为
，若当
时，
的图象
如右图，则不等式
的解是____________.
2．函数
的值域是____________.
3．已知
，则函数
的值域是____________.
4．若函数
是偶函数，则
的递减区间是____________.
5．函数
在R上为奇函数，且
，则当
，
____________.
三、解答题
1．判断一次函数
反比例函数
，二次函数
的单调性.
2．已知函数
的定义域为
，且同时满足下列条件：
（1）
是奇函数；
（2）
在定义域上
单调递减；（3）
求
的取值范围.
3．利用函数的单调性求函数
的值域；
4．已知函数
.
①当
时，求函数的最大值和最小值；
②求实数
的取值范围，使
在区间
上是单调函数.
能力提升
一、选择题
1．下列判断正确的是（）
A．函数
是奇函数 B．函数
是偶函数
C．函数
是非奇非偶函数 D．函数
既是奇函数又是偶函数
2．若函数
在
上是单调函数，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的值域为（）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
5．下列四个命题：
（1）函数
在
时是增函数，
也是增函数，所以
是增函数；
（2）若
函数
与
轴没有交点，则
且
；（3）
的递增区间
为
；（4）
和
表示相等函数.
其中正确命题的个数是（）
A．
B．
C．
D．
6．定义在R上的偶函数
，满足
，且在区间
上为递增，则（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．函数
的单调递减区间是____________________.
2．已知定义在
上的奇函数
，当
时，
，那么
时，
______.
3．若函数
在
上是奇函数，则
的解析式为________.
4．奇函数
在区间
上是增函数，在区间
上的最大值为8，最小值为−1，
则
__________.
5．若函数
在
上是减函数，则
的取值范围为__________.
三、解答题
1．判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
2．已知函数
的定义域为
，且对任意
，都有
，且当
时，
恒成立，证明：
（1）函数
是
上的减函数；
（2）函数
是奇函数.
3．设函数
与
的定义域是
且
，
是偶函数，
是奇函数，且
，求
和
的解析式.
4．设
为实数，函数
，
.
（1）讨论
的奇偶性；
（2）求
的最小值.
综合探究
1．已知函数
，
，则
的奇偶性依次
为（）
A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数
C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数
2．若
是偶函数，其定义域为
，且在
上是减函数，则
的
大小关系是（）
A．
＞
B．
＜
C．
D．
3．已知
，那么
＝_____.
4．若
在区间
上是增函数，则
的取值范围是________.
5．已知函数
的定义域是
，且满足
，
，如果对于
，都有
，
（1）求
；
（2）解不等式
.
6．当
时，求函数
的最小值.
7．已知
在区间
内有一最大值
，求
的值.
8．已知函数
的最大值不大于
，又当
，求
的值.
答案与解析
基础达标
一、选择题
1.C.
2.B.
3.B.奇次项系数为
4.D.
5.A.奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
6.A.
7.A.
在
上递减，
在
上递减，
在
上递减
8.D.
二、填空题
1.
.奇函数关于原点对称，补足左边的图象
2.
.
是
的增函数，当
时，
3.
.该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大
4.
.
5.
.
三、解答题
1．解：
当
，
在
是增函数，当
，
在
是减函数；
当
，
在
是减函数，
当
，
在
是增函数；
当
，
在
是减函数，在
是增函数，
当
，
在
是增函数，在
是减函数.
2．解：
，则
，
3．解：
，显然
是
的增函数，
，
4．解：
对称轴
∴
（2）对称轴
当
或
时，
在
上单调
∴
或
.
能力提升
一、选择题
1.C.选项A中的
而
有意义，非关于原点对称，选项B中的
而
有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；
2.C.对称轴
，则
，或
，得
，或
3.B.
，
是
的减函数，当
4.A.对称轴
5.A.
（1）反例
；
（2）不一定
，开口向下也可；（3）画出图象
可知，递增区间有
和
；（4）对应法则不同
6.A.
二、填空题
1．
.画出图象
2.
.设
，则
，
，
∵
∴
，
3.
.
∵
∴
即
4.
.
在区间
上也为递增函数，即
5.
.
.
三、解答题
1．解：
（1）定义域为
，则
，
∵
∴
为奇函数.
（2）∵
且
∴
既是奇函数又是偶函数.
2．证明：
（1）设
，则
，而
∴
∴函数
是
上的减函数;
（2）由
得
即
，而
∴
，即函数
是奇函数.
3．解：
∵
是偶函数，
是奇函数，∴
，且
而
，得
，
即
，
∴
，
.
4．解：
（1）当
时，
为偶函数，
当
时，
为非奇非偶函数；
（2）当
时，
当
时，
，
当
时，
不存在；
当
时，
当
时，
，
当
时，
.
综合探究
1.D.
，
画出
的图象可观察到它关于原点对称或当
时，
，
则
当
时，
，则
2.C.
，
3.
.
，
4.
.设
则
，而
，则
5.解：
（1）令
，则
（2）
，
则
.
6.解：
对称轴
当
，即
时，
是
的递增区间，
；
当
，即
时，
是
的递减区间，
；
当
，即
时，
.
7．解：
对称轴
，当
即
时，
是
的递减区间，
则
，得
或
，而
，即
；
当
即
时，
是
的递增区间，则
，
得
或
，而
，即
不存在；当
即
时，
则
，即
；∴
或
.
8．解：
，
对称轴
，当
时，
是
的递减区间，而
，
即
与
矛盾，即不存在；
当
时，对称轴
，而
，且
即
，而
，即
∴
.
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