函数的单调性和奇偶性例题和练习高中数学.docx

1、函数的单调性和奇偶性例题和练习高中数学函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数在(0，+)上的单调性. 证明：在(0，+)上任取x1、x2(x1x2)， 令x=x2x10 则 x10，x20， 上式0，y=f(x2)f(x1)0 在(0，+)上递减.总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？(作差)3如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1x2，则 0x1x21 x1x20，0x

2、1x21 0x1x21 故，即f(x1)f(x2)0 x1x2时有f(x1)f(x2) 上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x23|x|+2； (2)解：(1)由图象对称性，画出草图f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2) 图象为 f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)画出函数图象， 函数的减区间为，函数的增区间为(1，+)；(2)定义域为， 其中u

3、=2x1为增函数，在(，0)与(0，+)为减函数， 则上为减函数；(3)定义域为(，0)(0，+)，单调增区间为：(，0)，单调减区间为(0，+).总结升华：1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+)上是减函数，比较f(a2a+1)与的大小. 解： 又f(x)

4、在(0，+)上是减函数，则.4. 求下列函数值域： (1)； 1)x5，10； 2)x(3，2)(2，1)；(2)y=x22x+3； 1)x1，1； 2)x2，2.思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在5，10上单增，； 2)；(2)画出草图 1)yf(1)，f(1)即2，6； 2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x1，3时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域

5、.解：(1)上单调递增，在上单调递增； (2)故函数f(x)在1，3上单调递增x=1时f(x)有最小值，f(1)=2x=3时f(x)有最大值x1，3时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2(a1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需； (2)f(2)=222(a1)+5=2a+11又a2，2a4f(2)=2a+114+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性： (1) (2)(3)f(x)=x24|x|+3 (4)f(x)=|x+3|x3| (5)(6) (7

6、)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)x10，f(x)定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意xR，都有xR，且f(x)=x24|x|+3=f(x)，则f(x)=x24|x|+3为偶函数 ；(4)xR，f(x)=|x+3|x3|=|x3|x+3|=f(x)，f(x)为奇函数；(5) ，f(x)为奇函数；(6)xR，f(x)=x|x|+x f(x)=(x)|x|+(x)=x|x|x=f(x)，f(x)为奇函数；(7)，f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)

7、f(x)=|x+1|x1|； (3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(x)=|x+1|x1|=(|x+1|x1|)=f(x) f(x)为奇函数；(3)f(x)=(x)2+(x)+1=x2x+1 f(x)f(x)且f(x)f(x) f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x0则x0，f(x)=(x)2+2(x)1=x22x1=(x2+2x+1)=f(x) 任取x0，则x0 f(x)=(x)2+2(x)+1=x22x+1=(x2+2x1)=f(x) x=0时，f(0)=f(0) xR时，f(x)=f(x) f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】

8、已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)则 F(x)=f(x)+g(x)=f(x)g(x)=f(x)+g(x)=F(x) G(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)=G(x) f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7.已知f(x)=x5+ax3bx8，且f(2)=10，求f(2). 解：法一：f(2)=(2)5+(2)3a(2)b8=328a+2b8=408a+2b=10

9、8a2b=50 f(2)=25+23a2b8=8a2b+24=50+24=26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数g(2)=g(2) f(2)+8=f(2)8f(2)=f(2)16=1016=26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2x，求当x0时，f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：奇函数图象关于原点对称， x0时，y=(x)2(x)即y=x2x又f(0)=0，如图9. 设定义在3，3上的偶函数f(x)在0，3上是单调递增，当f(a1)f(a)时，求a的取值范围. 解：f(a1)f(a) f(|a1|)f(|a|)而|a1|，|a|0，3.类型六、

10、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合， 设ab0，给出下列不等式，其中成立的是_.f(b)f(a)g(a)g(b)； f(b)f(a)g(a)g(b)；f(a)f(b)g(b)g(a)； f(a)f(b)g(b)g(a).答案：.11. 求下列函数的值域： (1) (2) (3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2

11、2ax+a21. (1)若函数f(x)在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x1，1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)f(x)=(xa)21 a0或a2(2)1当a1时，如图1，g(a)=f(1)=a2+2a 2当1a1时，如图2，g(a)=f(a)=1 3当a1时，如图3，g(a)=f(1)=a22a ，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x2)3. 解：令x=2，y=2，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4

12、)=2再令x=4，y=2，f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3f(x)+f(x2)3可转化为：fx(x2)f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明：任取0x1x2， 0x1x2，x1x20，x1x20 (1)当时 0x1x21，x1x210 f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2) 上是减函数. (2)当x1，x2(1，+)时， 上是增函数.难点：x1x21的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|xa|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a0时，

13、f(x)=x2+|xa|+1，为非奇非偶函数.(1)当xa时， 1 且 2上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当xa时， 1上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1 2上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1下面说法正确的选项( )A函数的单调区间就是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是( )A B C D3已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D. 4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )ABCD5如果奇函数在区间 上是增

14、函数且最大值为，那么在区间上是( )A增函数且最小值是 B增函数且最大值是C减函数且最大值是 D减函数且最小值是6设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数.7下列函数中，在区间上是增函数的是( )A B C D8函数f(x)是定义在6，6上的偶函数，且在6，0上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)0 B. f(3)f(2)0 C. f(2)+f(5)0 D. f(4)f(1)0二、填空题1设奇函数的定义域为，若当时， 的图象 如右图，则不等式的解是_.2函数的值域是_.3已知，则函数的值域是_.4若函数是偶函数，则的递减区

15、间是_.5函数在R上为奇函数，且，则当，_.三、解答题1判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上 单调递减；(3)求的取值范围.3利用函数的单调性求函数的值域；4已知函数. 当时，求函数的最大值和最小值； 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1下列判断正确的是( )A函数是奇函数 B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数 D函数既是奇函数又是偶函数2若函数在上是单调函数，则的取值范围是( ) A B CD3函数的值域为( )A B CD4已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A B C D5

16、下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若 函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间 为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A B C D6定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A B C D二、填空题1函数的单调递减区间是_.2已知定义在上的奇函数，当时，那么时，_.3若函数在上是奇函数，则的解析式为_.4奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为1， 则_.5若函数在上是减函数，则的取值范围为_.三、解答题1判断下列函数的奇偶性(1) (2)2已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的

17、减函数；(2)函数是奇函数. 3设函数与的定义域是且，是偶函数， 是奇函数，且，求和的解析式.4设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1已知函数，则的奇偶性依次 为( )A偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数2若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的 大小关系是( )A B C D3已知，那么_.4若在区间上是增函数，则的取值范围是_.5已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6当时，求函数的最小值.7已知在区间内有一最大值，求的值.8已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题 1

18、.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D. 5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A. 7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2. 是的增函数，当时，3. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4. 5.三、解答题1解：当，在是增函数，当，在是减函数； 当，在是减函数， 当，在是增函数； 当，在是减函数，在是增函数， 当，在是增函数，在是减函数.2解：，则， 3解：，显然是的增函数， 4解：对称轴 (2)对称轴当或时，在上单调 或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点

19、对称，选项B中的 而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当 4.A. 对称轴 5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象 可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1. 画出图象 2. . 设，则， ，3. . 即4. . 在区间上也为递增函数，即 5. . .三、解答题1解：(1)定义域为，则，为奇函数. (2)且既是奇函数又是偶函数.2证明：(1)设，则，而 函数是上的减函数; (2)由得 即，而 ，即函数是奇函数. 3解：是偶函数， 是奇函数，且 而，得， 即， ，.4解：(1)当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； (2)当时， 当时， 当时，不存在； 当时， 当时， 当时，.综合探究1.D. ， 画出的图象可观察到它关于原点对称或当时， 则 当时，则 2.C. ，3. ，4. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2) ， 则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7解：对称轴，当即时，是的递减区间， 则，得或，而，即； 当即时，是的递增区间，则， 得或，而，即不存在；当即时， 则，即；或 .8解：， 对称轴，当时，是的递减区间，而， 即与矛盾，即不存在； 当时，对称轴，而，且 即，而，即 .