第四章Lebesgue积分的知识要点与复习自测.docx

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第四章Lebesgue积分的知识要点与复习自测

第四章Lebesgue积分的知识要点与复习自测

一、非负简单函数与非负可测函数积分的知识要点：

◇体会非负简单函数、非负可测函数积分的定义，理解为什么它们的积分总是存在的，并且为什么它们的积分都可用下方图形的测度来表示；

◇能正确地区分非负简单函数积分存在与可积的差异；非负可测函数积分存在与可积的差异；

◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。

◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列积分的两个重要的极限定理（Levi定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数可积的重要性质—积分的绝对连续性。

◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法；

注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。

◇会用积分的几何意义简洁地证明：

非负可测函数的积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。

◇掌握并会证明有关非负可测函数积分的以下几个重要的结论：

①设为可测集上的非负可测函数，则于（称为非负可测函数积分值为零的特征）；

②设为可测集上的非负可测函数，则在上几乎处处有限（称为非负可测函数可积的有限性，注意积分存在不具有这个性质）；

③，为上几乎处处有限的非负可测函数，满足：

，，，，

则；

④（非负可测函数可积的积分绝对连续性）设为可测集上的非负可测函数，若，则，为可测集，总有

，

即，，使得，为可测集，当时，总有

。

⑤④的另一种表示：

若，可测集，且，则

。

◇将非负可测函数表示成单调递增非负可测函数列的极限的几种方法：

①对任意自然数，先将

，

再利用逆象集的保持集合的运算性得

，

作非负简单函数列

则，且（将非负可测函数表示成单调递增非负简单函数列的极限的方法）。

②对任意自然数，取——称为截断函数，则

，且。

（将非负可测函数表示成单调递增非负可测函数列的极限的截断函数法）

③若于，取，则

，且于。

④若在可测集上非负可测，记（显然，且收敛于），，其中为的特征函数，则

，且。

二、一般可测函数积分的知识要点：

◇掌握一般可测函数积分的定义，理解为什么并非可测集上的任何可测函数都有积分，并知道一般可测函数可积的含义，以及与积分存在的区别；

◇熟练掌握可积函数的常用性质【绝对可积性、有限性、唯一性、线性性、不等式性、集合的完全可加性、积分的绝对连续性】。

◇熟习积分绝对连续性的三种表现形式：

①，，使得，为可测集，当时，总有；

②，为可测集，总有；

③，为可测集，只要，总有，。

◇熟练掌握积分的控制收敛定理的两种形式：

几乎处处收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理：

依测度收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理：

以及在下的有界控制收敛定理。

并能利用控制收敛定理解决一些简单的问题（如：

求某些由积分定义的数列的极限，证明一般可测函数—积分的逐项积分性（P112第37题）等。

◇通过几乎处处收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理的证明仔细体会Fatou引理在讨论可测函数列积分与极限可交换性问题中的作用，进而明白并掌握合理利用Fatou引理讨论积分与极限可交换性问题的方法。

◇通过依测度收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理的证明仔细体会反证法和F.Riesz定理的联合试使用在讨论可测函数列积分与极限可交换性问题中的作用，进而明白并掌握合理利用反证法和F.Riesz定理讨论积分与极限可交换性问题的方法。

三、—积分与—积分的关系的知识要点：

◇掌握—正常积分与—积分的关系；在一定条件下的—反常积分与—积分的关系；并能利用这些关系来求某些函数的—积分的值（注意：

在求值时，往往需要先利用积分的惟一性将所求积分转化为某—可积函数的—积分，然后再利用关系），判断某些函数的—可积性。

◇理解函数—可积与函数连续的关系，并能利用这种关系判断某些函数—不可积。

四、Fubini定理的知识要点：

◇能正确理解并掌握Fubini定理的条件，正确叙述Fubini定理（包括非负可测函数的情形与一般可测函数的情形），并了解利用Fubini定理解决概率论中的一些简单的问题的方法（如：

卷积不等式，利用分布函数将重积分转化为单积分），并会用Fubini定理证明一些累次积分的可交换性。

五、几种常用的转换方法：

◇将可测子集上的积分转化为上的积分的方法：

设是上的可测函数，是可测集，存在，记

，则（将子集上的积分转化为上的积分的方法）；

◇将可测函数表示成一列可测函数列的极限的几种有效方法：

③设为可测集上的可测函数，

①记，，其中为的特征函数，则；注意也可记为。

一般地，任取，记，，其中为的特征函数，则。

注意也可记为。

②设是可测集上的可测函数，{}是的一列收敛于的可测子集，记（），其中为的特征函数，则

。

③设，都是可测集上的可测函数，，单调递增，为的一列可测子集，且，记

（），

其中为的特征函数，则仍有。

④设是可测集上的可测函数，{}是的一列收敛于的可测子集，且，记（），其中为的特征函数，则仍有。

⑤由可以推出于，进而推出于。

复习自测题：

1、据理说明下面所列的结论是否成立：

（1）设为可测集，为上的非负简单函数或非负可测函数，则为上的Lebesgue可积函数；

（2）设为可测集，为上的可测函数，则为上的Lebesgue可积函数；

（3）设为零测集，为上的可测函数，则为上的Lebesgue可积函数；

（3）设为可测集，且，为上的可测函数，则为上的Lebesgue可积函数；

（4）设为可测集，且，若为上的有界可测函数，则为上的Lebesgue可积函数；

（5）设为可测集，，为上的一列非负可测函数，则为上的Lebesgue可积函数；

（6）设为可测集，，为上的一列非负可测函数，且，则为上的Lebesgue可积函数；

（7）设为可测集，（）为上的一列非负可测函数，则和为上的Lebesgue可积函数；

（8）设为可测集，为上的非负可测函数，则在上几乎处处有限；

2、利用积分的绝对连续性解决下面的问题：

①设为可测集，，记，，则

（1），，；

（2）于。

②设为可测集，，则

（1）对任意，存在上的连续函数，使得，

；

提示：

注意恰当利用延拓形式的鲁金定理。

（2）存在上的一列连续函数，使得，

，进而。

③设为可测集，，记

，，，

其中，则

（1），在上单调递增且连续；

（2）；

（3）存在不相交的可测子集，使得

，。

提示：

（1）利用积分的绝对连续性以及集合的单调性；

（2）注意到极限的归结原则以及

，，

用Live定理可得，；

（3）对用连续函数的介值性得出，存在可测子集，使

，

再取注意到积分的集合可加性即可得出。

3、利用Live定理解决下面问题：

设是可测集，为上的非负可测函数，且于，记，证明：

（1），且；

（2），且，其中为的示性函数；

（3）。

4、利用Fatou引理解决下面的积分与极限的可交换性问题：

①设为可测集，为上的可测函数，若

于，且存在，使得，于，则，，进而

。

提示：

取用Fatou引理。

②设为可测集，，若

于，且，

则，进而。

提示：

取用Fatou引理。

③设为可测集，为上的可测函数，若

于，且存在，使得，

，于，，

则，，进而

。

提示：

取用Fatou引理。

5、利用几乎处处收敛意义下的Lebesgue控制收敛定理和F.Riesz定理以及反证法解决下面的积分与极限的可交换性问题：

①设为可测集，（），为上几乎处处有限的可测函数，若于，且存在，使得，于，则，，进而

。

②设为可测集，，若

于，且，

则，进而。

③设为可测集，（），为上几乎处处有限的可测函数，若于，且存在，使得，

，于，，

则，，进而

。

④设为可测集，（），为上几乎处处有限的可测函数，若于，且存在，使得，

于，，

则

（1）于，且；

（2），，进而

。

提示：

（1）注意到

和，

立即可得，。

对任意，注意到

和可得，

，即，

所以于。

（2）用反证法，并利用

（1），F.Riesz和③即可。

6、利用Lebesgue控制收敛定理或Live定理解决下面的极限问题：

证明：

（1）；；

。

（2）；。

7、利用L积分与R积分的关系计算下面的L积分：

（1）设为上的有理数全体，，求

；

（2）设为上的有理数全体，，

求；

（3）设为上的三分Cantor集，

，

求；

（4）设，，，

求。

8、用Fubini定理解决下面的问题：

设为可测集，为可测集，若为上的非负可测函数（或Lebesgue可积函数），则

。

9、（第3、4章的综合题）设，，为上的实函数，

（1）若对几乎所有的，都是在上的连续函数；对任取的，都是在上的可测函数，证明：

对于任何上的实值可测函数，也是上的可测函数。

（2）设还满足：

存在常数，使得，对任意，

，

若是上的可积函数，于，且

，

证明：

。

第9题的参考解答：

证明：

（1）由条件可得存在一个零测集，使得任取，是在上的连续函数。

由可测函数与简单函数的关系，存在上的一列简单函数{}，使得于，故存在零测集，使得任取，有。

由条件可得，对每个，为上的可测函数。

（因为，其中

，可测且两两不交，所以由

（2），在每个上，为可测函数）

任取，。

所以，由可测函数的极限性，是上的可测函数。

（2）反证：

设存在和，使得

（*）

由条件易知于。

又由条件知：

，

令，则由Fatou引理

由于，且是上的可积函数，故，从而与（*）矛盾。

故结论成立。

证毕。