高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 122第2课时.docx

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高中数学新学案同步必修1人教B版全国通用版第1章集合122第2课时

第2课时　补集及综合应用

学习目标

　1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．

知识点一　全集

1．定义：

在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．

2．记法：

全集通常记作U.

知识点二　补集

思考　实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？

答案　剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．

梳理　1.补集定义

文字语言

如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

2.运算性质

A∪∁UA＝U；

A∩∁UA＝∅；

∁U（∁UA）＝A.

1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．（　√　）

2．存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.（　×　）

3．设全集U＝R，A＝

，则∁UA＝

.（　×　）

4．设全集U＝

，A＝

，

则∁UA＝

.（　×　）

类型一　求补集

例1　

（1）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于（　　）

A．{x∈R|0

C．{x∈R|0

答案　C

解析　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，

A＝{x∈R|－2≤x≤0}，

∴∁UA＝{x∈R|0

（2）设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁UA，∁UB.

解　根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，

所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}．

（3）设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U（A∪B）．

解　根据三角形的分类可知，A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，

∁U（A∪B）＝{x|x是直角三角形}．

反思与感悟　求集合的补集，需关注两处：

一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．

跟踪训练1　

（1）设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝________.

答案　{3,4,5}

（2）已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁UA＝________.

答案　{x|－1＜x＜2}

（3）已知全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，集合A＝{（x，y）|xy>0}，则∁UA＝________.

答案　{（x，y）|xy≤0}

类型二　补集性质的应用

命题角度1　补集性质在集合运算中的应用

例2　已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.

解　∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，

∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．

而∁UB＝{－1,0,2}，

∴B＝∁U（∁UB）＝{－3,1,3,4,6}．

反思与感悟　从Venn图的角度讲，A与∁UA就是圈内和圈外的问题，由于（∁UA）∩A＝∅，

（∁UA）∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．

跟踪训练2　如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.

答案　{x|0≤x≤1或x＞2}

解析　A∩B＝{x|1

由图可得A*B＝∁（A∪B）（A∩B）＝{x|0≤x≤1或x＞2}．

命题角度2　补集思想的应用

例3　关于x的方程：

x2＋ax＋1＝0，①

x2＋2x－a＝0，②

x2＋2ax＋2＝0，③

若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围．

解　假设三个方程均无实根，则有

即

解得－

∴当a≤－

或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，

即a的取值范围为{a|a≤－

或a≥－1}．

反思与感悟　运用补集思想求参数取值范围的步骤

（1）把已知的条件否定，考虑反面问题.

（2）求解反面问题对应的参数的取值范围．

（3）求反面问题对应的参数的取值集合的补集．

跟踪训练3　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

解　假设集合A中含有2个元素，

即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，

则

解得a<

，且a≠0，

即当集合A中含有2个元素时，

实数a的取值范围是

.

在全集U＝R中，集合

的补集是

，

所以满足题意的实数a的取值范围是

.

类型三　集合的综合运算

例4　

（1）已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩（∁UB）等于（　　）

A．{3}B．{4}

C．{3,4}D．∅

答案　A

解析　∵∁U（A∪B）＝{4}，

∴A∪B＝{1,2,3}，

又∵B＝{1,2}，∴∁UB＝{3,4}，

{3}⊆B⊆{1,2,3}，∴A∩（∁UB）＝{3}．

（2）已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪（∁RB）＝R，则实数a的取值范围是________．

答案　{a|a≥2}

解析　∵∁RB＝{x|x<1或x>2}且A∪（∁RB）＝R，

∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.

反思与感悟　解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．

跟踪训练4　

（1）已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，（∁UA）∩（∁UB）＝{1,3,7}，A∩（∁UB）＝{4,9}，则B等于（　　）

A．{1,2,3,6,7}B．{2,5,6,8}

C．{2,4,6,9}D．{2,4,5,6,8,9}

答案　B

解析　根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图（如图所示），可得B＝{2,5,6,8}，故选B.

（2）已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解　如图所示．

∵A＝{x|－2

∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

∁UB＝{x|x<－3或2

A∩B＝{x|－2

∴（∁UA）∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，

A∩（∁UB）＝{x|2

1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（　　）

A．UB．{1,3,5}

C．{3,5,6}D．{2,4,6}

答案　C

2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A．{1,3,4}B．{3,4}

C．{3}D．{4}

答案　D

3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（　　）

A．{x|－2

C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}

答案　C

4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是（　　）

A．Z∪∁UNB．N∩∁UN

C．∁U（∁U∅）D．∁UQ

答案　A

5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩（∁UN）＝{2,4}，则N等于（　　）

A．{1,2,3}B．{1,3,5}

C．{1,4,5}D．{2,3,4}

答案　B

1．全集与补集的互相依存关系

（1）全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究的问题而异．

（2）补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．

（3）∁UA的数学意义包括两个方面：

首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．

2．补集思想

做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A求A.

课时对点练

一、选择题

1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（　　）

A．{1,2,4}B．{2,3,4}

C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}

答案　C

解析　因为∁UA＝{0,4}，所以（∁UA）∪B＝{0,2,4}．

2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于（　　）

A．{x|－2

C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}

答案　C

解析　∵M＝{x|－2≤x≤2}，

∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．

3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于（　　）

A．0或2B．0

C．1或2D．2

答案　D

解析　由题意，知

则a＝2.

4．图中的阴影部分表示的集合是（　　）

A．A∩（∁UB）B．B∩（∁UA）

C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）

答案　B

解析　阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．

因此，阴影部分所表示的集合为B∩（∁UA）．

5．已知S＝

，A＝

，B＝

，C＝

.下列式子不成立的是（　　）

A．B∩C＝

B．∁AB＝

C．∁SA＝

D．A＝B∪C

考点　交并补集的综合问题

题点　无限集合的交并补运算

答案　D

解析　平行四边形有邻边不相等也不垂直的，D错误．

6．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于（　　）

A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}

答案　B

解析　因为A＝{x∈N|x≤－

或x≥

}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<

}，故∁UA＝{2}．

二、填空题

7．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝______，（∁UA）∩（∁UB）＝________.

答案　{x|0

解析　A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U（A∪B）＝{x|00}，∁UB＝{x|x<1}，∴（∁UA）∩（∁UB）＝{x|0

8．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}，若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________________________________________________________________________．

答案　1或2

解析　A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×（－2）＝4，这两式不能同时成立，

∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×（－2）＝2，由这两式得m＝2.

经检验知，m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2.

9．设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且（∁UA）∪B＝R，则实数a的取值范围是________．

答案　{a|a≤1}

解析　∁UA＝{x|x≤1}，

∵（∁UA）∪B＝R，

∴{x|x>1}⊆B，

∴a≤1.

10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有________人．

答案　12

解析　设两项运动都喜欢的人数为x，喜爱篮球的记为集合A，喜爱乒乓球的记为集合B，画出Venn图得到方程

15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，

∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.

三、解答题

11．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，求实数m的值．

解　A＝{－1,2}，B∩（∁UA）＝∅等价于B⊆A.

当m＝0时，B＝∅⊆A；

当m≠0时，B＝

.

∴－

＝－1或－

＝2，即m＝1或m＝－

.

综上，m的值为0,1，－

.

12．设全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，集合M＝

，P＝{（x，y）|y≠x＋1}，求∁U（M∪P）．

解　集合M表示的是直线y＝x＋1上除去点（2,3）的所有点，集合P表示的是不在直线y＝x＋1上的所有点，显然M∪P表示的是平面内除去点（2,3）的所有点，

故∁U（M∪P）＝{（2,3）}．

四、探究与拓展

13．如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）

A．（∁IA∩B）∩CB．（∁IB∪A）∩C

C．（A∩B）∩（∁IC）D．（A∩∁IB）∩C

答案　D

解析　由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是（A∩∁IB）∩C.

14．设全集为R，A＝{x|3

（1）求∁R（A∪B）及（∁RA）∩B；

（2）若C＝{x|a－4≤x≤a＋4}，且A∩C＝A，求a的取值范围．

解　

（1）∵A∪B＝{x|3

∴∁R（A∪B）＝{x|x≤3或x≥10}．

又∵∁RA＝{x|x≤3或x≥7}，

∴（∁RA）∩B＝{x|7≤x<10}．

（2）∵A∩C＝A，∴A⊆C.

∴

即

解得3≤a≤7.

∴a的取值范围为{a|3≤a≤7}．