椭圆标准方程典型例题及练习题.docx
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椭圆标准方程典型例题及练习题
椭圆标准方程典型例题及练习题
椭圆标准方程典型例题
4525
例1已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为3和3，过P点作焦点所在轴
的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：
设两焦点为F1、F2，且
PF1=
452PF2=
1+PF2=25．即a=5．3，3．从椭圆定义知2a=PF
从
PF1>PF2
知
PF2
垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt∆PF2F1中，
sin∠PF1F2=
PF2PF1
=
1
2
，
可求出
∠PF1F2=
π
6，
2c=PF1⋅cos
π
6
=
2510
b2=a2-c2=
，从而3．
x23y23x2y2
+=1+=1105∴所求椭圆方程为5或10．
x2y2
+2=1（a>b>0）2∠A1PA2=θ，F2，P是椭圆上一点，ab例2已知椭圆方程，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，
∠F1PF2=α．求：
∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）．
S∆=
1
absinC2求面积．
分析：
求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用
解：
如图，设P（x，y），由椭圆的对称性，不妨设P（x，y），由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：
F1F2=PF1+PF2-2PFPF2cosα=4c21
222
．①
2b2
PF1⋅PF2=2PF②－①1+PF2=2a1+cosα．由椭圆定义知：
②，则得
S∆F1PF2
1α12b2
=PF1⋅PF2sinα=sinα=b2tan22．21+cosα
2
故
2
（）A-3，0（）B：
x-3+y=64的内部与其相内切，P例3已知动圆过定点，且在定圆求动圆圆心P的轨迹方程．
分析：
关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：
如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
0）和定圆圆心B（3，0）距离之和恰好等于定圆半径，即定点A（-3，
即
+=PM+=BM=8
．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x2y2
+=122
半长轴为4，半短轴长为b=4-3=的椭圆的方程：
167．
说明：
本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
⎛11⎫x22P⎪+y=1
例4已知椭圆2，
（1）求过点⎝22⎭且被P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A（2，
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足
求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：
此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：
设弦两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点R（x，y），则
kOP⋅kOQ=-
12，
⎧x12+2y12=2，⎪22
⎪x2+2y2=2，⎨
⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，⎩12
①②③④
①－②得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0．
由题意知x1≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有
（x1+x2）2（y1+y2）y1+y2
x1-x2
=0
，
x+2y
将③④代入得
y1-y2
=0x1-x2
．⑤
y1-y2111=-x=y=
2，故所求直线方程为：
2x+4y-3=0．⑥2，2代入⑤，得x1-x2
（1）将
22
x+2y=2得将⑥代入椭圆方程
6y2-6y-
11
=0∆=36-4⨯6⨯>044，符合题意，2x+4y-3=0为所求．
y1-y2
=2x-x2
（2）将1代入⑤得所求轨迹方程为：
x+4y=0．（椭圆内部分）y1-y2y-1
=22
x-xx-2x+2y-2x-2y=0．12（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：
（椭圆内部分）
2
x12+x22
+y12+y2=22（4）由①＋②得：
，⑦，
（）
将③④平方并整理得
2
x12+x2=4x2-2x1x2，⑧，
2
y12+y2=4y2-2y1y2，⑨
将⑧⑨代入⑦得：
4x2-2x1x2
+4y2-2y1y2=24，⑩
（）
y2
x+=1
⎛1⎫1122
2x-x1x2+4y-2-x1x2⎪=2y1y2=-x1x2
⎝2⎭22再将代入⑩式得：
，即．
2
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
22
例5已知椭圆4x+y=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
2
（2）若直线被椭圆截得的弦长为5，求直线的方程．
222
y=x+m4x+y=14x+（x+m）=1，解：
（1）把直线方程代入椭圆方程得
2
22
即5x+2mx+m-1=0．∆=（2m）-4⨯5⨯m-1=-16m+20≥0，解得
2
（
2
）
2
-
5≤m≤22．
2mm2-1
x1+x2=-x1x2=
xx55．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1，2，由
（1）得，
m2-12⎛2m⎫2
+1⋅-=⎪-4⨯
555．解得m=0．方程为y=x．⎝⎭根据弦长公式得：
说明：
处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
2
x2y2
+=1
例6以椭圆123的焦点为焦点，过直线l：
x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，
点M应在何处？
并求出此时的椭圆方程．
x2y2
+=1
0），F2（3，0）．解：
如图所示，椭圆123的焦点为F1（-3，
点F1关于直线l：
x-y+9=0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为x+2y-3=0．
⎧x+2y-3=0⎨MF1+MF2x-y+9=0得交点M的坐标为（－5，4）
解方程组⎩．此时最小．
所求椭圆的长轴：
2a=MF1+MF2=FF2=6，∴a=3，又c=3，
22
xy2+=12222
b=a-c=3-3=364536∴．因此，所求椭圆的方程为．
（）
例7求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A（,-2）和B（-23,1）两点的椭圆方程．
22
mx+ny=1（m>0，n>0）．由A（3,-2）和B（-23,1）两点在椭圆上可得解：
设所求椭圆方程为
22
⎧22⎪m⋅（3）+n⋅（-2）=1,⎧3m+4n=1,11xy⎨⎨m=n=+=122⎪⎩m⋅（-23）+n⋅1=1,即⎩12m+n=1,所以15，5．故所求的椭圆方程为155．
π
例8已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为3的直线交椭圆于A，
B两点，求弦AB的长．
分析：
可以利用弦长公式
AB=+k2x1-x2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]
求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：
（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
AB=+k2x1-x2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]
．因为a=6，b=3，所以c=．因为焦点在x轴上，
x2y2
+=1
所以椭圆方程为369，左焦点F（-33,0），从而直线方程为y=3x+9．
2
13x+x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根，所以由直线方程与椭圆方程联立得：
x1+x2=-
723
13，
x1x2=
36⨯848
AB=+k2x1-x2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=
13，k=，从而13
（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解．
x2y2
+=1AFAF2=12-mBF2=12-nBF1=m1=n369由题意可知椭圆方程为，设，，则，．
1F2中，在∆AF
AF2=AF1+F1F2-2AF1F1F2cos
222
π
3，即
（12-m）2=m2+36⋅3-2⋅m⋅63⋅
1
2；
m=
所以
6648n=AB=m+n=
4+，所以4-．同理在∆BF13．1F2中，用余弦定理得
（法3）利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程13x+x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，B的横坐标．再根据焦半径
2
AF1=a+ex1
，
BF1=a+ex2
，从而求出
=AF1+BF1
．
x2y2
+=1ONO2591的中点，例9椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF则为坐标原点）的值为A．4
3B．2C．8D．2
说明：
（1）椭圆定义：
平面内与两定点的距离之和等于常数（大于
（2）椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即关距离
F1F2
）的点的轨迹叫做椭圆．
MF1+MF2=2a
，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有
x2y2
C+=143例10已知椭圆，试确定m的取值范围，使得对于直线l：
y=4x+m，椭圆C上有不同的两点
关于该直线对称．
M（x0,y0）点．
解：
设椭圆上A（x1,y1），B（x2,y2）两点关于直线l对称，直线AB与l交于
1⎧y=-x+n,⎪⎪4⎨221⎪x+y=1,y=-x+n
k=4，∴设直线AB的方程为⎪y43∵l的斜率l．由方程组⎩4消去得
13x2-8nx+16n2-48=0①。
∴
（
x1+x2=
8nx+x4n112n
x0=12=y0=-x0+n=
13．于是213，413，
4n12n4n13
）n=4⨯+mn=-m
134．②即点M的坐标为1313．∵点M在直线y=4x+m上，∴．解得
将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0③
2
2
220．解得
2
2
-
例11在面积为1的∆PMN中，点的椭圆方程．
tanM=
1
2，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P
4x2y2
+=1153∴所求椭圆方程为
x2y2
+=1
P（4,2）例12已知是直线l被椭圆369所截得的线段的中点，求直线l的方程．
解：
设所求直线方程为y-2=k（x-4）．代入椭圆方程，整理得
（4k2+1）x2-8k（4k-2）x+4（4k-2）2-36=0①
设直线与椭圆的交点为A（x1,y1），B（x2,y2），则x1、x2是①的两根，∴
x1+x2=
8k（4k-2）
4k2+1
∵P（4,2）为AB中点，∴
4=
x1+x24k（4k-2）1
=k=-24k2+1，2．∴所求直线方程为x+2y-8=0．
x2y2
例13.．已知F1、F2是椭圆100641的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
π
（1）若∠F1PF2＝3，求△F1PF2的面积；
（2）求PF1·PF2的最大值．
解：
（1）设PF1＝m，PF2＝n（m>0，n>0）．根据椭圆的定义得m＋n＝20.在△F1PF2
π2222
中，由余弦定理得PF1＋PF2－2PF·PF·cos∠FPF＝FF，即m＋n－2mn·2121212
325622222
12.∴m＋n－mn＝144，即（m＋n）－3mn＝144.∴20－3mn＝144，即mn＝3.又∵
11π125633
S△F1PF2＝21·PF2·sin∠F1PF2＝2mn·sin3，∴S△F1PF2＝2×323.
（2）∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2PF1·PF2，∴
⎛PF1＋PF2⎫2⎛20⎫2
⎪＝⎪＝100，当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2PF1·PF2≤
2⎝⎭⎝2⎭
的最大值是100.
练习题
题型一求椭圆的标准方程
例1
（1）若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的
3，则椭圆的标准方程为____________；
（2）（2019·课标全国）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，2
F2在x轴上，离心率为过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，
2那么椭圆C的方程为__________．
题型二椭圆的几何性质
例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
（1）求椭圆离心率的范围；
（2）求证：
△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
x2y2
（2019·安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：
2＋2＝
ab
1（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．
题型三直线与椭圆的位置关系
例3（2019·北京）已知椭圆G：
＋y2＝1.过点（m,0）作圆x2＋y2＝1的切线l交椭
4
圆G于A，B两点．
（1）求椭圆
G的焦点坐标和离心率；
x2
（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
2y
设F1、F2分别是椭圆E：
x221（0
b
l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
（1）求|AB|；
（2）若直线l的斜率为1，求b的值．
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