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1、椭圆标准方程典型例题及练习题椭圆标准方程典型例题及练习题 椭圆标准方程典型例题 4525 例1已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3和3，过P 点作焦点所在轴 的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 解：设两焦点为F 1、F 2，且 PF 1= 452PF 2= 1+PF 2=25即a =53，3从椭圆定义知2a =PF 从 PF 1PF 2 知 PF 2 垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF 2F 1中， sin PF 1F 2= PF 2PF 1 = 1 2 ， 可求出 PF 1F 2= 6， 2c =PF 1cos 6 = 2510 b 2=a 2-c

2、2= ，从而3 x 23y 23x 2y 2 +=1+=1105所求椭圆方程为5或10 x 2y 2 +2=1(a b 0)2A 1PA 2=，F 2，P 是椭圆上一点，a b 例2 已知椭圆方程，长轴端点为A 1，A 2，焦点为F 1， F 1PF 2=求：F 1PF 2的面积（用a 、b 、表示） S = 1 ab sin C 2求面积 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用 解：如图，设P (x ，y )，由椭圆的对称性，不妨设P (x ，y )，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限由余弦定理知： F 1F 2=PF 1+PF 2-2PF PF 2cos =4c 21 2

3、22 2b 2 PF 1PF 2=2PF 1+PF 2=2a 1+cos 由椭圆定义知： ，则得 S F 1PF 2 112b 2 =PF 1PF 2sin =sin =b 2tan 22 21+cos 2 故 2 ()A -3，0()B ：x -3+y =64的内部与其相内切，P 例3 已知动圆过定点，且在定圆求动圆圆心P 的轨迹方程 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M 动点P 到两定点， 0)和定圆圆心B (3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A (-3， 即 +=PM +=BM =8 点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， x

4、2y 2 +=122 半长轴为4，半短轴长为b =4-3=的椭圆的方程：167 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法 11x 22P +y =1 例4 已知椭圆2，（1）求过点22且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； 1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A (2， （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足 求线段PQ 中点M 的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法 解：设弦两端点分别为M (x 1

5、，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则 k OP k OQ =- 12， x 12+2y 12=2，22 x 2+2y 2=2， x 1+x 2=2x ，y +y =2y ，12 得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0 由题意知x 1x 2，则上式两端同除以x 1-x 2，有 (x 1+x 2)2(y 1+y 2)y 1+y 2 x 1-x 2 =0 ， x +2y 将代入得 y 1-y 2 =0x 1-x 2 y 1-y 2111=-x =y = 2，故所求直线方程为： 2x +4y -3=0 2，2代入，得x

6、1-x 2（1）将 22 x +2y =2得将代入椭圆方程 6y 2-6y - 11 =0=36-46044，符合题意，2x +4y -3=0为所求 y 1-y 2 =2x -x 2 （2）将1代入得所求轨迹方程为： x +4y =0（椭圆内部分） y 1-y 2y -1 =22 x -x x -2x +2y -2x -2y =012（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分） 2 x 12+x 22 +y 12+y 2=22（4）由得 ： ， ， () 将平方并整理得 2 x 12+x 2=4x 2-2x 1x 2， ， 2 y 12+y 2=4y 2-2y 1y 2， 将代入得： 4x

7、2-2x 1x 2 +4y 2-2y 1y 2=24， () y 2 x +=1 11122 2x -x 1x 2+4y -2 -x 1x 2=2y 1y 2=-x 1x 2 222再将代入式得： ， 即 2 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 22 例5 已知椭圆4x +y =1及直线y =x +m （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ 2（2）若直线被椭圆截得的弦长为5，求直线的方程 222 y =x +m 4x +y =14x +(x +m )=1， 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 2 22 即5x +2mx +m -1=0=(2m )-45m

8、 -1=-16m +200，解得 2 ( 2 ) 2 - 5m 22 2m m 2-1 x 1+x 2=-x 1x 2= x x 55 （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1，2，由（1）得， m 2-122m 2 +1 -=-4 555解得m =0方程为y =x 根据弦长公式得 ： 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程 2 x 2y 2 +=1 例6 以椭圆123的焦点为焦点，过直线l ：

9、x -y +9=0上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短， 点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程 x 2y 2 +=1 0)，F 2(3，0) 解：如图所示，椭圆123的焦点为F 1(-3， 点F 1关于直线l ：x -y +9=0的对称点F 的坐标为（9，6），直线FF 2的方程为x +2y -3=0 x +2y -3=0MF 1+MF 2x -y +9=0得交点M 的坐标为（5，4） 解方程组此时最小 所求椭圆的长轴： 2a =MF 1+MF 2=FF 2=6，a =3，又c =3， 22 x y 2+=12222 b =a -c =3-3=364536因此，所求椭圆的方程为 () 例7

10、 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A (, -2) 和B (-23, 1) 两点的椭圆方程 22 mx +ny =1(m 0，n 0) 由A (3, -2) 和B (-23, 1) 两点在椭圆上可得 解：设所求椭圆方程为 22 22m (3) +n (-2) =1, 3m +4n =1, 11x y m =n =+=122m (-23) +n 1=1, 即12m +n =1, 所以15，5故所求的椭圆方程为155 例8 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点F 1作倾斜解为3的直线交椭圆于A ， B 两点，求弦AB 的长 分析：可以利用弦长公式 AB =+k 2x

11、 1-x 2=(1+k 2)(x 1+x 2) 2-4x 1x 2 求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求 解：(法1) 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 AB =+k 2x 1-x 2=(1+k 2)(x 1+x 2) 2-4x 1x 2 因为a =6，b =3，所以c =因为焦点在x 轴上， x 2y 2 +=1 所以椭圆方程为369，左焦点F (-33, 0) ，从而直线方程为y =3x +9 2 13x +x +368=0设x 1，x 2为方程两根，所以由直线方程与椭圆方程联立得： x 1+x 2=- 723 13， x 1x 2= 36848 AB =+k 2x

12、 1-x 2=(1+k 2)(x 1+x 2) 2-4x 1x 2= 13，k =， 从而13 (法2) 利用椭圆的定义及余弦定理求解 x 2y 2 +=1AF AF 2=12-m BF 2=12-n BF 1=m 1=n 369由题意可知椭圆方程为，设，则， 1F 2中，在AF AF 2=AF 1+F 1F 2-2AF 1F 1F 2cos 222 3，即 (12-m ) 2=m 2+363-2m 63 1 2； m = 所以 6648n =AB =m +n = 4+，所以4-同理在BF 13 1F 2中，用余弦定理得 (法3) 利用焦半径求解 先根据直线与椭圆联立的方程13x +x +36

13、8=0求出方程的两根x 1，x 2，它们分别是A ，B 的横坐标 再根据焦半径 2 AF 1=a +ex 1 ， BF 1=a +ex 2 ，从而求出 =AF 1+BF 1 x 2y 2 +=1ON O 2591的中点，例9 椭圆上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 则为坐标原点）的值为A 4 3B 2 C 8 D 2 说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即关距离 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 MF 1+MF 2=2a ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有 x 2y 2 C +=143例10 已知椭圆，试确定m

14、 的取值范围，使得对于直线l ：y =4x +m ，椭圆C 上有不同的两点 关于该直线对称 M (x 0, y 0) 点 解：设椭圆上A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于 1y =-x +n , 4221x +y =1, y =-x +n k =4，设直线AB 的方程为y 43l 的斜率l 由方程组4消去得 13x 2-8nx +16n 2-48=0 。 ( x 1+x 2= 8n x +x 4n 112n x 0=12=y 0=-x 0+n = 13于是213，413， 4n 12n 4n 13 , ) n =4+m n =-m 1

15、34 即点M 的坐标为1313点M 在直线y =4x +m 上，解得 将式代入式得13x +26mx +169m -48=0 2 2 220解得 2 2 - 例11 在面积为1的PMN 中，点的椭圆方程 tan M = 1 2，tan N =-2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 4x 2y 2 +=1153所求椭圆方程为 x 2y 2 +=1 P (4, 2) 例12 已知是直线l 被椭圆369所截得的线段的中点，求直线l 的方程 解：设所求直线方程为y -2=k (x -4) 代入椭圆方程，整理得 (4k 2+1) x 2-8k (4k -2) x +4(4k -2) 2-3

16、6=0 设直线与椭圆的交点为A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则x 1、x 2是的两根， x 1+x 2= 8k (4k -2) 4k 2+1 P (4, 2) 为AB 中点， 4= x 1+x 24k (4k -2) 1 =k =-24k 2+1，2所求直线方程为x +2y -8=0 x 2y 2 例13. 已知F 1、F 2是椭圆100641的两个焦点，P 是椭圆上任意一点 (1)若F 1PF 23，求F 1PF 2的面积； (2)求PF 1PF 2的最大值 解：(1)设PF 1m ，PF 2n (m 0，n 0)根据椭圆的定义得m n 20. 在F 1PF 2 22

17、22 中，由余弦定理得PF 1PF 22PF PF cos F PF F F ，即m n 2mn 2121212 325622222 12. m n mn 144，即(m n ) 3mn 144. 203mn 144，即mn 3. 又 11125633 S F 1PF 221PF 2sin F 1PF 22mn sin 3，S F 1PF 22323. (2)a 10，根据椭圆的定义得PF 1PF 220. PF 1PF 22PF 1PF 2， PF 1PF 22202 100，当且仅当PF 1PF 210时，等号成立PF 1PF 2PF 1PF 2 22 的最大值是100. 练习题 题型一

18、求椭圆的标准方程 例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的 3，则椭圆的标准方程为_； (2)(2019课标全国) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，2 F 2在x 轴上，离心率为过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且ABF 2的周长为16， 2那么椭圆C 的方程为_ 题型二 椭圆的几何性质 例2 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F 1PF 260. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关 x 2y 2 (2019安徽) 如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：22

19、 a b 1(a b 0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，F 1AF 260. (1)求椭圆C 的离心率； (2)已知AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值 题型三 直线与椭圆的位置关系 例3 (2019北京) 已知椭圆G ：y 21. 过点(m, 0) 作圆x 2y 21的切线l 交椭 4 圆G 于A ，B 两点 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； x 2 (2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值 2y 设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 221(0 b l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列 (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值