完整word版高中数学选修22第一章导数及其应用单元测试题可编辑修改word版.docx

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完整word版高中数学选修22第一章导数及其应用单元测试题可编辑修改word版

数学选修2-2第一章单元测试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图像如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

2.

[

在区间1，2]上，函数f（x）＝x2＋px＋q与g（x）＝2x

2

1

＋在同一

x2

[

点处取得相同的最小值，那么f（x）在1，2]上的最大值是（）

2

A.13

4

B.5

4

C．8D．4

3.点P在曲线y＝x3－x2

P处的切线的倾斜角为α，

]

则α的取值范围是（）A．[0，π

＋上移动，设点

3

[π

B．[0，π]∪3

，π）

224

C．

[

3π，π）D．[π

42

3

，π]

4

4．已知函数f（x）1x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x）＋9≥0恒成立，

＝

2

则实数m的取值范围是（）

A.m≥3

2

C．m≤3

2

B.m＞3

2

D．m＜3

2

5.函数f（x）＝cos2x－2cos2x的一个单调增区间是（）2

A.（

）

B.（

）

π2πππ

，，

3362

）

C.（，π

D.（

ππ）

03－6，6

6.

lim

设f（x）在x＝x0处可导，且

Δx→0

f（x0＋3Δx）－f（x0）＝1，则f′（x0）

Δx

等于（）

A．1B．0

C．3D.1

3

7.经过原点且与曲线y

A．x＋y＝0B．x＋25y＝0

x＋9

＝相切的切线方程为（）

x＋5

C．x＋y＝0或x＋25y＝0D．以上皆非

8.函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0

时，f（x）是（）

A．增函数B．减函数C．常数

D．既不是增函数也不是减函数

9．若a>2，则方程1x3－ax2＋1＝0在（0,2）上恰好有（）

3

A．0个根B．1个根

C．2个根D．3个根

10.一点沿直线运动，如果由始点起经过ts后距离为s＝1－5

＋2t2，那么速度为零的时刻是（）

A．1s末B．0s

C．4s末D．0,1,4s末

t4t3

43

2

11.设f（x）＝Error!

则∫f（x）dx等于（）

0

34

A.B.

45

5

C.D．不存在

6

12.若函数f（x）＝sinx

0

sinx1b

sinx2，则a，b

，且12

x

的大小关系是（）

＝，＝

x1x2

A．a>bB．a

C．a＝bD．a、b的大小不能确定

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

x

13．若f（x）＝1

3

3－f′

（1）x2＋x＋5，则f′

（1）＝.

14.已知函数f（x）满足f（x）＝f（π－x），且当x∈（ππ）时，f（x）＝x

－，

22

＋sinx，设a＝f

（1），b＝f

（2），c＝f（3），则a、b、c的大小关系是．

15.已知函数f（x）为一次函数，其图像经过点（2,4），且

1

∫f（x）dx＝3，则函数f（x）的解析式为．

0

16．（2010·江苏卷）函数y＝x2（x＞0）的图像在点（ak，ak2）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．

18．（12分）已知函数f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2）上单调递减．

（1）求a的值；

（2）若点A（x0，f（x0））在函数f（x）的图像上，求证：

点A关于直线x＝1

的对称点B也在函数f（x）的图像上．

19．（12分）设x＝－2与x＝4是函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

（1）求常数a，b；

（2）试判断x＝－2，x＝4是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由．

20．（12分）已知f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

21．（12分）（2010·重庆卷）已知函数f（x）＝ax3＋x2＋bx（其中常数a，b

∈R），g（x）＝f（x）＋f′（x）是奇函数．

（1）求f（x）的表达式；

（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1,2]上的最大值与最小值．

22．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax＋1）＋1－x

x≥0，其中a>0.

，

1＋x

（1）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

1.答案A

参考答案

解析设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f（x）在（a，x1），（x2，x3）上递增，在（x1，x2），（x3，b）上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．

2.答案D

3.答案B

4.答案A

解析因为函数f（x）1x4－2x3＋3m，

＝

2

所以f′（x）＝2x3－6x2.

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小

.

值点，所以函数的最小值为f（3）＝3m－27不等式f（x）＋9≥0恒成立，

2

即f（x）≥－9恒成立，所以3m279，解得m3.

5.答案A

－≥－≥

22

解析f（x）＝cos2x－cosx－1，

∴f′（x）＝－2sinx·cosx＋sinx＝sinx·（1－2cosx）．令f′（x）>0，结合选项，选A.

6.答案D

7.答案D

8.答案A

9.答案B

解析设f（x）

1x3－ax2＋1，则f′（x）＝x2－2ax＝x（x－2a），当x∈

＝

3

（0,2）时，f′（x）<0，f（x）在（0,2）上为减函数，又f（0）f

（2）＝1（8）＝

11

－4a<0，

－4a＋13

3

f（x）＝0在（0,2）上恰好有一个根，故选B.10.答案D

11.答案C

解析数形结合，如图．

212

∫f（x）dx＝∫x2dx＋∫（2－x）dx

001

＝Error!

10Error!

12

11

＝＋（4－2－2＋）

32

5

＝，故选C.

6

12.答案A

13.

，

解析f′（x）＝xcosx－sinx

x2

令g（x）＝xcosx－sinx，则g′（x）＝－xsinx＋cosx－cosx＝－xsinx.

∵0

＝0，故f′（x）<0，函数f（x）在（0,1）上是减函数，得a>b，故选A.

14.答案2

3

.

解析f′（x）＝x2－2f′

（1）x＋1，令x＝1，得f′

（1）＝2

3

15.答案c

解析f

（2）＝f（π－2），f（3）＝f（π－3），因为f′（x）＝1＋cosx≥0，

故f（x）在（

ππ）上是增函数，∵π

－2>1>π－3>0，∴f（π－2）>f

（1）>f（π

－，>π

222

－3），即c

15.答案f（x）＝2＋8

x

33

解析设函数f（x）＝ax＋b（a≠0），因为函数f（x）的图像过点（2,4），所以有b＝4－2a.

11

∴∫f（x）dx＝∫（ax＋4－2a）dx

00

1

＝1210

[ax＋（4－2a）x]Error!

＝a＋4－2a＝1.

22

＝.∴b＝.∴f（x）＝x＋.

∴a2828

3333

16.答案21

解析∵y′＝2x，∴过点（ak，a2k）处的切线方程为y－a2k＝2ak（x－

a），又该切线与x轴的交点为（a

0），所以a

1a，即数列{a}是

kk＋1,

k＋1＝kk

2

等比数列，首项a＝16，其公比q1a＝4，a＝1，∴a＋a＋a＝21.

1＝，∴35

2

135

17.解析抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，

1

2

3

所以，抛物线与x轴所围图形面积S＝∫（x－x2）dx＝Error!

10＝1－1

0

1

＝.6

又Error!

由此可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标x3＝

0，x＝1－kS

2

1

1-k

4，所以＝

∫

0

（x－x2－kx）dx＝Error!

1－0k1（1－k）3.

＝

6

1

又S＝，所以（1－k）3＝，∴k＝1－.

622

18.解析

（1）由函数f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2）单调递减，

∴x＝1时，取得极大值，∴f′

（1）＝0.

又f′（x）＝4x3－12x2＋2ax，

∴4－12＋2a＝0⇒a＝4.

（2）点A（x0，f（x0））关于直线x＝1的对称点B的坐标为（2－x0，

f（x0）），

f（2－x0）＝（2－x0）4－4（2－x0）3＋4（2－x0）2－1

＝（2－x0）2[（2－x0）－2]2－1

＝x40－4x30＋ax20－1＝f（x0），

∴A关于直线x＝1的对称点B也在函数f（x）的图像上．19.解析f′（x）＝3x2＋2ax＋b.

（1）由极值点的必要条件可知：

f′（－2）＝f′（4）＝0，即Error!

解得a＝－3，b＝－24.

或f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝3（x＋2）（x－4）

＝3x2－6x－24，

也可得a＝－3，b＝－24.

（2）由f′（x）＝3（x＋2）（x－4）．

当x＜－2时，f′（x）＞0，当－2＜x＜4时，f′（x）＜0.

∴x＝－2是极大值点，而当x＞4时，f′（x）＞0，

∴x＝4是极小值点．

20.解析a≠0（否则f（x）＝b与题设矛盾），

由f′（x）＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.

（1）当a＞0时，列表：

x

（－1,0）

0

（0,2）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

增

极大值b

减

由上表知，f（x）在[－1,0]上是增函数，

f（x）在[0,2]上是减函数．

则当x＝0时，f（x）有最大值，从而b＝3.

又f（－1）＝－7a＋3，f

（2）＝－16a＋3，

∵a＞0，∴f（－1）＞f

（2）．

从而f

（2）＝－16a＋3＝－29，得a＝2.

（2）当a＜0时，用类似的方法可判断当x＝0时f（x）有最小值．当x＝2时，f（x）有最大值．

从而f（0）＝b＝－29,f

（2）＝－16a－29＝3，得a＝－2.

综上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

21.解析

（1）由题意得f′（x）＝3ax2＋2x＋b.因此g（x）＝f（x）＋f′（x）

＝ax3＋（3a＋1）x2＋（b＋2）x＋b.因为函数g（x）是奇函数，所以g（－x）＝

－g（x），即对任意实数x，有a（－x）3＋（3a＋1）（－x）2＋（b＋2）（－x）＋b＝－

[ax3＋（3a＋1）x2＋（b＋2）x＋b]，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a

1b＝0，

x

因此f（x）的解析式为f（x）＝－1

3

3＋x2.

＝－，

3

（2）由

（1）知g（x）1x3＋2x，所以g′（x）＝－x2＋2.

＝－

3

令g′（x）＝0，解得x1＝－

2，x2＝

2，则当x<－

2或x>

2时，

g′（x）<0，从而g（x）在区间（－∞，－

2]，[

2，＋∞）上是减函数；

当－2

2时，g′（x）>0，从而g（x）在[－

2，2]上是增函数．

由前面讨论知，g（x）在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x＝1，

2，2时取得，而g

（1）

5g

（2）＝42g

（2）4g（x）在区间[1,2]

＝因此

＝，，.

333

上的最大值为g（

424

）

2＝，最小值为g

（2）＝.

33

22.分析解答本题，应先正确求出函数f（x）的导数f′（x），再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．

＝－

解析

（1）f′（x）a2＝

ax2＋a－2，

ax＋1

（1＋x）2

（ax＋1）（1＋x）2

∵f（x）在x＝1处取得极值，

∴f′

（1）＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.

（2）f′（x）＝

ax2＋a－2，

（ax＋1）（1＋x）2

∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0.

①当a≥2时，在区间[0，＋∞）上，f′（x）>0，

∴f（x）的单调增区间为[0，＋∞）．

②当0

由f′（x）>0，解得x>

由f′（x）<0，解得x<

2－a.

a

2－a.

a

∴f（x）的单调减区间为（0,

2－a），单调增区间为（

a

2－a，＋∞）．

a

（3）当a≥2时，由

（2）①知，f（x）的最小值为f（0）＝1；

当0

（2）②知，f（x）在x＝处取得最小值，且f（

）

综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞）．