立体几何导入符永平高中数学课堂研究.docx

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立体几何导入符永平高中数学课堂研究

创造式课堂资源来于学生经验的开发

——以学生数学小论文为高中“立体几何”导学

江苏省南通市教育科学研究中心符永平

在数学教学中培养学生的创新意识,是现代数学教育追求的最高境界，同时也是目前数学教学最难突破、最为纠结的课题。

充分利用学生在已有知识获得、技能训练、数学思想方法提炼中积累的数学活动经验（经验写成数学小论文），来唤醒学生对自己已有学习方式的反思和探索科学学习方法,淡化数学知识的神秘感，迎合学生好动、好胜、好奇的个性特征，真正为后续学习奠定坚实基础，树立必胜的学习信心，培养学生对数学的兴趣并产生美好情感，这正是对创造式课堂必须开发的资源所在。

实践中，我结合学生的数学小论文（学生发现式学习的经验）,在引导学生关注自己的学习方式，训练学生良好学习方式的养成等方面进行了大胆尝试，得到一线教师与专家们的肯定与鼓励。

现以自己在“江苏省中学教科研协进会暨师陶杯颁奖大会”上，被邀请去南京上的一节《立体几何初步》（苏教科版高中必修2）“章头课”为例来说明。

*课题“中学数学‘再创造'发现式系列课型研究”系江苏省“333高层次人才培养工程”196项科研资助项目（2010年10月由江苏省人才工作办公室公布，全省基础教育共2项）之一，项目编号为BRA2010046,主持人：

符永平.本项目,还获得江苏省首届基础教育教学成果一等奖.

教师：

同学们，我们今天开始学习必修2《立体几何初步》，只要打开本章的课本，首先映入我们眼帘的两页空间图形就让我们倍感：

（多媒体画面依次呈现）

（图1）

（图2）

（图3）

（图4）

空间是开放的，

又是神圣的

（图

1）；

空间是美丽的，

更是诱人的

（图

2）；

*

■

空间是神秘的，空间也装满了人类最美好的梦想和希望（图3）;

研究空间、向往空间这是每个现代人的义务和责任（图4）。

今天这节课（型），同学们也许很少上过，因为在一堂课上要感受全章65页内容的同时，还要培养自己学习这一章的信心和摸索适合自己学习立体几何的方式、方法，其重要性可想而知。

怎么能上好这堂课？

我想解决

（1）学什么？

（2）怎么学？

这两个问题。

现对一篇数学小论文的学习来尝试本堂课教学。

小论文作者徐笑，是我的学生，选学她的文章不仅因为她获数学竞赛一等奖和有多篇数学小论文发表，而是她学习轻松，特别是她的自学能力，即很会学习给师生们留下深刻印象。

她的学习方法也许不一定完全适合你，但我希望你们能从她的学习过程中受到启发！

以初中学生的数学思考有效衔接对高中数学的思考，这场景无论是初、高中教材的衔接，还是初、高中学生学习方式的衔接，都是数学创造式教学情境开发与学生数学学习经验积累的重要基础。

小论文的标题是《走向三维》，文章的开始是从问题“6根火柴首尾连接，能拼成四个等边三角形吗？

”开始的，请大家画画看。

师：

已有同画出来了（让同位配合用六支笔搭着给大家看），不少同学还在积极探索着，不要紧，我们的感受小论文里全写了，请看！

学小论文（教师读）：

记得初一的一道题6根火柴首尾连接，拼成四个三角形”在桌上拼得死去活来，更不知划破了多少纸……纸坏了平面破”了，6根火柴来到空间可就神气了……太美妙了，一辈子不能忘怀！

空间的开阔，给人以无限的遐想。

难怪，爸爸常说，思考问题仅仅局限点”或线性”思维的人往往总走不出人生的死胡同”。

中考才结束，当建筑设计师的妈妈提醒：

能自学立体几何那可了不得，学会学习的机会难得，应该试试。

我几乎是一气呵成把全章学完，虽有点囫囵吞枣之感，但总体觉得这教材很可读。

特别是教材上每一节或每个新问题的开始都以问题的形式呈现，这样就可以带着问题先思考、先探索、先体验（不急于看结果）。

页的问题，可以尽可能多观察、多想象。

同学们，我们在数学学习中要学会抓住这种美妙的感觉，才能更好

地感受数学中的“阳春白雪”。

请思考高一课本的这个问题（图5）生：

第一个是由长方形绕一边旋转而成，第二个……

师：

生成规律？

生：

这就是初中学过的点动成线，线动成面，面动成体的规律。

师：

很好！

事实上这个问题我们初中已学过，再看图6,大家发现什么?

•下确肚1鮎多酣碉£馳鮒凱腓花俑什

（图6）

（图5）

生：

这是初中的一道题。

师：

对，这是初一的。

学小论文：

其实，我们每位同学学习这一章都必须充满信心，因为在

师：

是的，如图7,也是初一书上的，又如三视图，图8是初中教材

上的，图9是高一教材上的，大家又能发现什么？

（图7）

（图9）

（图8）

生：

初中已学过

以原有的数学研究情结“连接”到新问题的探究上来，以原来的教材发现新的教材，以初中的学习经验来丰富更多的数学学习经验这是高中数学创造式课堂经常忽视的问题。

还有小学里就开始学习圆锥等体积和侧面积计算，还有一些

师：

请看图10,中间图形一定让大家感到很亲切，为什么?

（图10）

生：

初中把锥形侧面转化为平面问题见得太多了。

师：

图10第三个图，圆台侧面积计算，也能不死记公式？

生：

还是转化成平面图形，将大扇形面积减去小扇形面积就是圆台的侧面积。

师：

很好！

我们不仅已走进了立体几何，而且将转化等思想方法以也

能在新问题中灵活应用，相信大家一定能学好这一章。

自学时觉得本章比较费点心的就是“点、线、面之间的关系”。

学小论文：

点、线、面之间的关系有哪些组合形式呢？

可对比初中的如“正数、

零、负数”比较大小的方法，进行分类。

可一开始就想到以下问题，教材上

师：

我最欣赏的是该生主动发现了问题，你认为这些问题的发现依靠

的是什么?

第1个问题能回答吗？

生：

靠的是以往的经验，靠的是良好的学习习惯！

第1个问题，我认为一个点和一条线总是在一个平面里，它们还属于平面问题。

师：

对，发现问题习惯是良好的习惯中最重要的习惯，第2个问题？

生：

教室后门的边框线和前面黑板上边线（我让学生走到门边），虽是

线与线的关系，但它们不在同一平面内，所以要研究

师：

很好!

学小论文：

这些问题一想通，特别是线面问题都可以转化为平面中的线

与线的问题，确实有趣且学习时整章的本质就易把握了，线、面

师：

几种情况？

（原文中被我有意改成填空形式）

生：

线与线、线与面、面与面共三种师：

对，下面我们看表，并欣赏她制表的依据。

学小论文:

因为據与面、而与面吨需诀班在千打巧帑件下・所就我把“距肉，段计在平行冋疑中”虽儘垂直仅楚相衣的-种洁况.所M理把“夹內”问建和“平方”何遷并列蛾计・iA+f*就濮燮好加瞿堀如识洞的内布朕率*不齟让我覚得亢美的就见即彫部分K*囲角节上甘论的斥异面臣製.

师：

同学们，如果这种概念对比和联系比较强的表格是自己尝试构建

的，其学习效率是可想而知的，我们要不断摸索这种归纳小结的方法，作者觉得自己的构建有不完善的地方，希望大家在课后的学习中不断完善。

伟大的数学思想，永远是我们在数学教学中引导学生学会学习、学习“再创造”的根本所在，依据学生对数学思想的理解，以学生去呼唤学生大胆猜想，这是同龄人对同龄人的亲切感、可比性、非情意代沟（指学生与学生沟通速度快）的天然教学资源，易产生的同质同构、同步思维共振、共生同创的重要途径。

学小论文.

用对比的方法确实是发现问题、解决问题一种好方法，利用

师：

请看课本例题。

1

题1朮弧上正西面体两任一盍到四牛面的距寓込卅为定值.y?

厂

aU-\-

「F.

R

师：

由任一点、距离和定值等决定了本题的难度，可由这道初中几何

题能给你什么启发?

生：

这道平几题不难，方法很多，它的定值为等边三角形的高师：

方法确实很多，什么方法最好?

生：

面积法

师：

对，题1怎么解？

生：

因为有距离，四个面均为全等的等边三角形，所以用体积和相等

来解很简单。

师：

类比成功，很好！

再看图11，左图大家一看便知是勾股定理,

（图11）

右边的图的4条线段的关系请大胆猜想一下。

生：

L2=a2+b2+c2师：

很好，以后我们很容易证明这个关系。

再看题3。

题3I：

「…丨'■-I

直线互相平行.U*

能棗比到空问圈形嗎？

生：

不好类比，看正方体的一个角处的3条棱，虽然两棱都与一棱垂直，但这两棱不平行而是垂直，还如墙角与地板接触处……

师：

从空间发现了结论，很好！

所以，大胆类比时，还要注意判断命

学小论文:

题是否成立。

自学数学也许不同于其它学科自学，如例题学习，我以前只满足看懂或

如P34页例1，一开始觉得很简单，后来觉得依据找不到，再后来将垂听老师讲懂，现在觉得应该把它作为检测自己学习概念、定理效果的重要“武

限直于桌这次三考虑到一系也垂直于这人“面.

师：

这文字题首先要做什么?

生：

画图。

如图12-煮］茫//局粽—汩求订T;-抄丄爲

（图12）

师：

同学们，这是小徐学习例题的一种特殊学习方法，学习效率可想

而知，并且这种自主学习的要求很高，但我们可以来尝试。

从已知和求证发现，我们必须充分利用已知探索直线与平面垂直的性质，从欲证结论探索直线与平面垂直的判定。

下面我们根据作者所说的用三角板实验，希望大家有所发现。

生：

三角板一直角边在旋转过程中，另一直角边在平面上所留下来的每一条线肯定与旋转的直角边是垂直的。

由此可得到垂直于平面的直线必垂直于平面内的任意一条直线。

师：

这发现，通过三角板很形象，也很生动！

判定呢？

或我们希望有什么样的判定才能证到直线与平面垂直呢？

生：

如果一直线与平面内的任意一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。

师：

你怎么想到这个结论?

生：

一由刚才的实验，二由我们以前学过的性质定理和判定定理可知它们一般是互逆关系的命题。

师：

大家同意这种说法？

生：

同意!

师：

告诉大家，刚才大家的发现就是书上的两个非常重要的结论（定

理），太了不得了！

今天教材的编写的专家也来到我们的课堂，

相信他会为我们的发现而自豪！

证明时，怎样来表达平面内的无

数条直线？

生：

在平面内任意画一条直线。

师：

对，这就是辅助线（学生顺利证明，过程略去）相信大家同

样会有一种发现的快乐和对这种学法的震憾。

所以，发现式学习

的方法希望大家在平时学习中多尝试、多积累、多应用。

学小论文：

另外，对于例题的学习我们要重视问题的联想和拓展，这是

师：

请看书上例题，并回答题。

问题4冇一枢性为R半彳唱为1cm的圜住形铁行■用一段铁

•丝在蚣營上純绕i惓1』卜便鉄丝的刈△端点落在圖柱的电「狞线绅曲h则谍丝的慑哥氏図为笫少来屮｛粘确创1“门「一"^—弋■I■鼻—1*1

生：

最短问题我们可根据两点之间线段最短。

生：

可将圆柱的侧面转化成平面中矩形的一对角线来研究。

（图13）

师：

这里的线段在哪?

如图13

师：

我们在初中应用这种转化解决最多的问题还记得是什么?

生：

蚂蚁问题。

师：

很好！

我们想到一块去了。

如图14

（图14）

所以，我们在平时学习中要养成联想的好习惯，这样才能抓住问题本质，触类旁通，提高学习效率。

学生让学生“上当”…好奇心下的高考题又是怎么样的？

一堂课给学生留下了不少没解决的问题（如小论文里“这个问题大家课后可以继续研究”、让学生感叹的数学史等）……这不正是数学课堂需要的动人与真实的情境？

不正是数学课堂训练孩子们学会发现、学会

“创造”的责任追求？

引导学生的智慧唤醒学生的数学智慧这不失为课堂教学变革的一种有益尝试！

章头导学课或学生学习方式的训练课千万不能把眼睛再盯在：

学生对某知识还没有记住或浅层的理解上。

学小论文:

本章的特点概念和结论多，公理连同推论有7个，定理和一些重要结

论达到10个，要灵活应用这是主要学习目标，所以不仅是记住，更多的理解和结合图形去体验，如公理3“经过不在一条直线上的三点，有且只

有一个平面”，学习时不仅可类比初中的一个知识点，还要结合类似于写字台、笔筒、台灯上各选一个点，这三点在一个平面？

用纸（平面）多体验

iy

ram/rn

图15

师：

确实，我们从一开始就要重视打好基础，即使是一条线、一个角,都要规范、认真，否则在不知不觉中就很难轻松学下去。

学小论文：

再看看图（3），ZABC=度。

生：

因为两条对角线，45。

+45°=90o，就是90°!

生：

就是45。

。

师：

连接AC仁你能发现什么？

生：

三条正方形对角线构成等边三角形。

众生：

啊！

上当了，应是60。

。

师：

看图要仔细，才强调从平面到空间要改变视觉的定势，这再一次说明强调基础的必要性，千万别懂了一点就认为都懂了，大家要重视。

学小论文：

还有就是有点好奇心，立体几何的高考题是什么样子的？

真想看一眼。

师：

想不想？

生：

很想！

师：

好，

这是07年全国统一考试海南、宁夏第II卷第18题，如图，A、B、C、

D为空间四点。

在厶ABC中，AB=2,AC=BC=J2。

等边三角形ADB

从已知，你发现厶ABC是怎样的三角形?

生：

由勾股定理逆定理知△ABC为等腰直角三角形。

对，再看问题，（I）当平面ADB丄平面ABC时，求CD;（教者边演示实要求CD，即求一线段长，常用方法？

将CD构造在一直角三角形中。

直角三角形呢？

生：

作两个等边三角形AB边上的高……CD=2师：

真了不起！

我们能算高考题了，能取AB中点E,再连CE、DE?

生：

能，因为等腰三角形三线合一。

师：

好，我们成功将面与面的问题转化为线与线的问题，第二问因时

间关系，以后研究。

我们的教材上，有一段数学史，作者很感慨,请欣赏。

学生小论文:

如画、

穿越时空（四维），教材上的^祖咆原理"让我震撼，

如诗、

3夫叠棋咸立积，缘幕既等歩则积不容异

如歌.…

远远不止这些，因为祖国久远的灿

烂文化将会永远激励着我们前行.师：

确实，这图太美丽了，这诗太精确了，这歌太智慧了。

同学们，

这是一种呼唤，我们祖先（祖恒，是祖冲之的儿子），浇齐时代，

几百年前了，就有如此大的智慧，如果我们今天都不肯主动学习，还能对得起谁？

学习这一章信心和克服困难的勇气？

众生：

有！

师：

很感谢大家的配合，并让老师有幸感受大家很强的学习努力，为

此我送给大家几句话，作为本课的结束。

从“二维”到“三维”，从平面到空间，空间可生成距离美，空间可产生智慧的人际，空间可让我们共建人类物质和精神的幸福……平面几何，立体几何，几何人生，人生几何？

同学们，我们从珍惜《立体几何初步》开始！

（学生齐读）

“章头课”，顾名思义就是指学生学习每一章开始的课。

随着课程改革的不断推进，新教材每章开始的“章头图”教学资源和功能正开始为人们所重视。

如何从传统灌式教学训练下，把学生从被动接受的“容器式”学习变成真正意义上的学会自主学习，这是目前新课程背景下课堂革命最艰巨的任务，而改变学生学习方式又是最具的本质的问题，即引导学生学会学习。

符永平系列课型（例）研究

亚里士多德说“求知是人类的本性”。

求知的欲望,自由的思考,是创造的必要条件,也是走向创造的充分条件。

创造性教学,就是为学生创造思考的自由,激发学

生求知的欲望与兴趣的教学。

创造性教学的实施可由三个起点构建,首先是学生

学习的逻辑起点，其次是把握学生学习的现实起点，再次是把握学生知识生成的创新起点，使学生在这三个起点构建的“最近创造区”自由地挑战、自由地创造,学生不仅是学习的“再创造”者,还是在教师引领下实现课堂时空开放、教材与课堂超越，更是师生实现数学的知识增长、文化熏染、品格濡染与文化发展、心理成长、生命自由与生命自然生长的同构共生。

一堂课,一个人的创造尝试也

许很有限，但只要我们齐心努力,不断发现问题，一定会迈近成功！

否则,我们永远无法占领教学变革的最后这块前沿阵地——课堂，我们的创造性教学即便有一点火花也只能在美妙动听的口号声中消失。

课题“中学数学‘再创造'发现式系列课型研究”系江苏省“333高层次人才培养工程”196项科研资助项目（2010年10月由江苏省人才工作办公室公布，全省基础教育共2项）之一,项目编号为BRA2010046,主持人：

符永平.本项目，还获得江苏省首届基础教育教学成果一等奖.