研究生入学考试综合数学试题答案.docx
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研究生入学考试综合数学试题答案
2014年研究生入学考试综合数学试题答案
一、问题求解:
第1~15小题,每小题3分,共45分。
下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中,只有一项是符合试题要求的。
请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1.某部门在一次联欢活动中共设了26个奖,奖品均价为280元,其中一等奖单价为400元,其他奖品均价为270元,一等奖的个数为
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3 (E)2
【答案】E
【解析】设一等奖的个数为,则其他奖品个数为,由题可得:
,解得,所以答案选E。
【知识点】应用题-平均值问题
【难易度】★☆☆☆☆
2.某单位进行办公室装修,若甲、乙两个装修公司合作,需10周完成,工时费为100万元,甲公司单独做6周后由乙公司接着做18周完成,工时费为96万元。
甲公司每周的工时费为
(A)7.5万元 (B)7万元 (C)6.5万元 (D)6万元 (E)5.5万元
【答案】B
【解析】设甲公司每周工时费为万元,乙公司每周工时费为万元,根据题意可得方程组
解得。
【知识点】应用题-工程问题
【难易度】★★☆☆☆
3.如图1,已知AE=3AB,BF=2BC,若△ABC的面积是2,则△AEF的面积为
(A)14 (B)12
(C)10 (D)8 (E)6
【答案】B
【解析】利用等高三角形面积比等于底边比的性质:
故选B。
【知识点】平面几何
【难易度】★★★★☆
4.某公司投资一个项目。
已知上半年完成了预算的,下半年完成了剩余部分的,此时还有8千万元投资未完成,则该项目的预算为
(A)3亿元 (B)3.6亿元 (C)3.9亿元 (D)4.5亿元 (E)5.1亿元
【答案】B
【解析】设某公司的投资预算为亿元,则由题可知
,即,解得
所以答案选B。
【知识点】应用题
【难易度】★★★☆☆
5.如图2,圆A与圆B的半径均为1,则阴影部分的面积为
(A) (B)
(C) (D)
(E)
【答案】E
【解析】
故选E。
【知识点】平面几何
【难易度】★★★★☆
6.某容器中装满了浓度为90%的酒精,倒出1升后用水将容器注满,搅拌均匀后又倒出1升,再用水将容器注满,已知此时的酒精浓度为40%,则该容器的容积是
(A)2.5升 (B)3升 (C)3.5升 (D)4升 (E)4.5升
【答案】B
【解析】设容器的容积为,由题意得:
,解得:
,故选B。
【知识点】应用题-溶液
【难易度】★★★☆☆
7.已知为等差数列,且,则
(A)27 (B)45 (C)54 (D)81 (E)162
【答案】D
【解析】为等差数列,,已知,
所以,故选D。
【知识点】数列-等差数列的中项公式
【难易度】★★★☆☆
8.甲、乙两人上午8:
00分别自A,B出发相向而行,9:
00第一次相遇,之后速度均提高了1.5公里/小时,甲到B,乙到A后都立刻沿着原路返回。
若两人在10:
30第二次相遇,则A,B两地的距离为
(A)5.6公里 (B)7公里 (C)8公里 (D)9公里 (E)9.5
【答案】D
【解析】设两地相距S公里,甲的速度为,乙的速度为,由条件得
【知识点】应用题-行程问题
【难易度】★★☆☆☆
9.掷一枚均匀的硬币若干次,当正面向上次数大于反面向上次数时停止,则在4次之内停止的概率为( )
(A) (B) (C) (D) (E)
【答案】C
【解析】
只抛一次:
正面向上的概率为:
抛三次,向上面依次为反正正的概率为:
:
以上两种情况相加:
,故选C。
【知识点】概率求概率
【难易度】★★★☆☆
10.若几个质数(素数)的乘积为770,则它们的和为( )
(A)85 (B)84 (C)28 (D)26 (E)25
【答案】E
【解析】,选E。
【知识点】数-质因数分解
【难易度】★★★☆☆
11.已知直线是圆在点处的切线,则在轴上的截距为
(A) (B) (C) (D) (E)5
【答案】D
【解析】直线是圆在点处的切线
直线为
在轴上的截距为。
选D。
【知识点】解析几何-圆的切线方程
【难易度】★★☆☆☆
12.如图3,正方体的棱长为2,F是棱的中点,则的长为
(A)3 (B)5 (C)
(D) (E)
【答案】A
【解析】由题意可知∆是直角三角形
故选A。
【知识点】立体几何-直角三角形边长公式
【难易度】★★★☆☆
13.在某项活动中,将3男3女6名志愿者随机地分成甲、乙、丙三组,每组2人,则每组志愿者都是异性的概率为
(A) (B) (C) (D) (E)
【答案】E
【解析】
志愿者随机地分成甲、乙、丙三组,每组2人的分法有:
种
志愿者随机地分成甲、乙、丙三组,每组2人,每组志愿者都是异性的分法有6种(数出)
,故选E。
【知识点】种数求概率
【难易度】★★★☆☆
14.某工厂在半径为5cm的球形工艺品上镀一层装饰金属,厚度为0.01cm.已知装饰金属的原材料是棱长为20cm的正方体锭子,则加工10000个该工艺品需要的锭子数最少为(不考虑加工损耗,)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)20
【答案】C
【解析】
每个球形工艺品需要装饰材料的体积为:
10000个所需装饰材料的体积为:
每个正方体锭子的体积为:
所以共需的定做的个数为
,即需要4个正方体锭子
故选C。
【知识点】立体几何-球的体积、正方体的体积
【难易度】★★★★☆
15.某单位决定对4个部门的经理进行轮岗,要求每位经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职,则不同的轮岗方案有( )
(A)3种 (B)6种 (C)8种 (D)9种 (E)10种
【答案】D
【解析】该题属于4个数的错位排列,所以共有种。
故选D。
【知识点】排列组合-错排计数
【难易度】★★★☆☆
二、条件充分性判断:
第16-25小题,每小题3分,共30分。
要求判断每题给出的条件
(1)和
(2)能否充分支持题干所陈述的结论。
A、B、C、D、E五个选项为判断结果,请选择一项符合试题要求的判断,在答题卡上将所选字母涂黑。
A.条件
(1)充分,但条件
(2)不充分
B.条件
(2)充分,但条件
(1)不充分
C.条件
(1)和
(2)单独都不充分,但条件
(1)和
(2)联合起来充分
D.条件
(1)充分,条件
(2)也充分
E.条件
(1)和
(2)单独都不充分,条件
(1)和
(2)联合起来也不充分
16.已知曲线,则
(1)曲线过点(1,0)
(2)曲线过点(-1,0)
【答案】A
【解析】
由条件
(1)曲线过点(1,0),则有,则成立,
(1)为充分条件。
由条件
(2)曲线过点(-1,0),则有,推不出
故
(2)不充分。
【知识点】解析几何
【难易度】★☆☆☆☆
17.不等式的解集为空集。
(1)
(2)
【答案】B
【解析】
若的解集为空集,则恒成立,即函数的图像必定与x轴无交点,且最小值大于1,故,条件
(1)不是其子集,不充分,条件
(2)是其子集,充分,所以选B.
【知识点】不等式、二次函数图像-抛物线的性质
【难易度】★★★★☆
18.甲、乙、丙三人的年龄相同。
(1)甲、乙、丙三人的年龄成等差数列。
(2)甲、乙、丙三人的年龄成等比数列。
【答案】C
【解析】
(1)若当甲、乙、丙三人的年龄成等差数列时,很明显得不到三人年龄相同,故
(1)不充分。
(2)若当甲、乙、丙三人的年龄成等比数列时,很明显得不到三人年龄相同,故
(2)不充分。
条件
(1)、
(2)联合,则甲、乙、丙三人的年龄成等差数列又成等比数列,则甲=乙=丙,故
(1)
(2)联合充分,所以答案选C
【知识点】数列
【难易度】★★☆☆☆
19.设x是非零实数,则
(1)
(2)
【答案】A
【解析】
我们首先来看:
对于条件
(1),,因此
(1)充分,
对于条件
(2),,此时
因此,条件
(2)不充分
【知识点】式-立方和公式、完全平方公式
【难易度】★★★★☆
20.如图4,O是半圆的圆心,C是半圆上的一点,.则能确定OD的长。
(1)已知BC的长。
(2)已知AO的长。
【答案】A
【解析】
由于AB为圆的直径,因此在三角形ABC中,为直角
对于条件
(1),,条件
(1)充分
对于条件
(2),,但在已知AO的情况下,求不出BC的值,因此条件
(2)不充分
【知识点】平面几何-圆及三角形的性质
【难易度】★★★★☆
21.方程有实根。
(1)a,b,c是一个三角形的三边长。
(2)实数a,b,c成等差数列。
【答案】A
【解析】
方程的判别式
对于条件
(1),由三角形三边性质,有,即,方程有实根,所以
(1)充分
对于条件
(2),由等差数列性质,有,可举出反列,时,方程无实根,所以
(2)不充分
【知识点】方程-一元二次方程、等差数列
【难易度】★★★★☆
22.已知二次函数,则能确定a,b,c的值。
(1)曲线经过点(0,0)和点(1,1)
(2)曲线与直线相切
【答案】C
【解析】
对于条件
(1):
将点(0,0)、(1,1)代入函数,可得,得不到a、b的确切值,所以
(1)不充分。
对于条件
(2):
曲线与相切,即最小值为,无法求得a、b、c的确切值,所以
(2)不充分。
条件
(1)
(2)联合后:
,故条件
(1)
(2)联合起来充分,选C
【知识点】函数-一元二次函数的图像
【难易度】★★★★☆
23.已知袋中有红、黑、白三种颜色的球若干个,则红球最多。
(1)随机取出的一球是白球的概率为
(2)随机取出的两球中至少有一个黑球的概率小于
【答案】C
【解析】
设红球个数为m,黑球个数为n,白球个数为r
,可知红球和黑球占总数的,但无法确定红球的数量,因此条件
(1)不充分。
由条件
(2):
至少一黑球的概率小于,即没有黑球的概率大于,即红球和白球占球总量大于,,但无法确定红球的数量,因此条件
(2)不充分。
由条件
(1)
(2)联合后:
,说明红球数量最多。
选C
【知识点】与不等式结合求概率
【难易度】★★★★☆
24.已知是一个整数的集合,则能确定集合M.
(1)a,b,c,d,e的平均值为10
(2)a,b,c,d,e的方差为2
【答案】C
【解析】条件
(1)、
(2)单独均不充分
考虑
(1)
(2)联合
由
(1)得
由
(2)得
因此,得到方程组,解为8、9、10、11、12,因此选C
【知识点】统计-方差的定义
【难易度】★★★★☆
25.已知x,y为实数,则
(1)
(2)
【答案】A
【解析】
对于条件
(1):
对于条件
(2):
选A.
【知识点】不等式
【难易度】★★★☆☆